Monte Carlo Counterfactual Regret Minimization

虚拟遗憾最小化算法是基于时间步长的一个迭代过程，玩家们采取的策略集定义为（${\sigma }_1^t$,${\sigma }_2^t$），对于每个动作和信息集计算遗憾值。然后通过遗憾值最小化计算一个新的策略集（${\sigma }_1^{t+1}$,${\sigma }_2^{t+1}$）。为了达到近似纳什均衡，CFR算法需要记住一个关键，接近纳什均衡的策略是一个平均策略${\bar{\sigma }}^T$；每次迭代后策略都会被更新，该算法对每个信息集上的每个行动保持表格式的累积遗憾，这决定了后续的策略。

采样虚拟遗憾

玩家i利用策略$\sigma$的虚拟价值定义为
$$v_i(\sigma ,I)=\sum _{z\in {\mathbb{Z}}_I}{\pi }_{-i}^{\sigma }(z[I]){\pi }^{\sigma }(z[I],z)u_i(z)$$
这个值代表了当到达信息集$I$时的期望效用。虚拟遗憾值是没有选择策略${\sigma }_{I\to a}^t$信息集$I$中的动作$a$而是遵循了另外的策略${\sigma }_i^t$。此时的遗憾值表示为
$$r^t(I,a)=v_i({\sigma }_{I\to a}^t,I)-v_i({\sigma }^t,I)$$
蒙特卡洛CFR（MCCFR）的主要思想是重新定义虚拟价值和遗憾值的无偏估计，MCCFR仅仅采样了博弈树的一部分并且通过遗憾最小化对树进行采样，此时应用虚拟价值的估计值而不是真实值。由于估计值是无偏的，所以估计值接近期望的真实值。只要采样的方式合理，就可以很容易达到近似的均衡。

定义 Q = { Q 1 , Q 2 , . . . } \mathcal Q = \{Q_1,Q_2,...\} Q={Q1​,Q2​,...}是$Z$的子集(${\cup }_{Q\in \mathcal{Q}}Q\in Z$) 。此时要注意$Q$并不是一个partition因为我们并不要求$Q_1\cap Q_2=\varphi$。我们称一个$Q_i$为终端历史的一个块（block），并且集合$\mathcal{Q}$是所有可能块的集合。在每一迭代轮次$t$中，MCCFR首先通过一些采样规则采样出一个块$Q_i$，并且每个块的抽样概率$q_i>0$。然后MCCFR计算每个信息集中的虚拟值和遗憾。使
$$q(z)=\sum _{j:z\in Q_j}{q}_j$$
表示某些轮次迭代采样的块包含$z$的概率。
采样时的虚拟值定义为：
$${\tilde{v}}_i(\sigma ,I\mid j)=\sum _{z\in Q_j\cap Z_I}\frac{1}{q(z)}{\pi }_{-i}^{\sigma }(z[I]){\pi }^{\sigma }(z[I],z)u_i(z)$$
此时我们需要保证$q(z)>=\delta >0$。这里$\delta$ 是采样z的最低概率。
当交集$Q_j\cap Z_I$为空，这个块没有包含$Z$的任意历史状态，所以此时的v值为0。

定理1 ${\tilde{v}}_i(\sigma ,I\mid j)$的期望值等于原始CFR的value（$v_i(\sigma ,I)$），证明见参考文献。
定理一表明：${\tilde{v}}_i(\sigma ,I\mid j)$是$v_i(\sigma ,I)$的无偏估计。因此采样虚拟遗憾值为
$${\tilde{r}}^t(I,a)={\tilde{v}}_i({\sigma }_{I\to a}^t,I)-{\tilde{v}}_i({\sigma }^t,I)$$
这与真实的遗憾值在期望上相匹配。

MCCFR的时间复杂度取决于所使用的抽样方案。例如，在CFR中，每次迭代的时间与游戏树的大小成线性关系。如果一个游戏在根处包含一个单一的机会节点，并且在每个结果下面有4个相同大小的树，那么一次机会抽样CFR迭代所花费的时间大约是CFR的四分之一。另一方面，每个MCCFR实例(包括CFR)都存储策略集，并且空间复杂度为$O(|C_1|+|C_2|)$。当存储空间受到限制，可以使用抽象技术来减少内存消耗。

结果采样

在结果采样MCCFR中，每个块包含一个终端历史。在每次迭代中，我们采样一个终端历史，并只更新该历史中的每个信息集。采样概率，$q_j$指定了终端历史的分布。我们要使用一个采样策略集${\sigma }^{\prime }$表示这个分布，以便$q(z)={\pi }^{{\sigma }^{\prime }}(z)$。注意，任何采样策略的选择都会在块抽样概率$q(z)$有一个特定的分布。
该算法对$z$按照策略${\sigma }^{\prime }$采样，并存储${\pi }^{{\sigma }^{\prime }}(z)$。然后将单个历史向前遍历，计算每个玩家达到该历史每个前缀的概率${\pi }_i^{\sigma }(h)$，向后计算每个玩家进行历史中剩余动作的概率${\pi }_i^{\sigma }(h,z)$。在向后遍历过程中，计算每个访问到的信息集的抽样反事实遗憾(并将其加到总遗憾中)。
当使用结果抽样时，有两种情况。要么$z[I]a$是$z$的前缀（在我们的抽样历史中，在$I$采取了行动a），要么$z[I]a$不是$z$的前缀(即在信息集$I$的时候，玩家没有采取动作a)。两种情况更新遗憾值的公式不同，具体如下所示：

外部采样

在外部抽样中，我们只对对手的行动和机会结点进行采样（在玩家以外的结点），对于对手结点和机会结点的纯策略，即从 I ∈ I C ∪ I N \ { i } I\in \mathcal I_C\cup \mathcal I_{N\backslash \{i\}} I∈IC​∪IN\{i}​到$A(I)$的每个确定性映射，都有一个block$Q_{\tau }\in \mathcal{Q}$。这个块的采样概率基于$f_c和{\sigma }_{-i}$的分布，所以 q τ = ∏ I ∈ I c σ c ( I , τ ( I ) ) ∏ I ∈ I N \ { i } σ − i ( I , τ ( I ) ) q_{\tau}=\prod_{I \in \mathcal{I}_{c}} \sigma_{c}(I, \tau(I)) \prod_{I \in \mathcal{I}_{N \backslash\{i\}}} \sigma_{-i}(I, \tau(I)) qτ​=I∈Ic​∏​σc​(I,τ(I))I∈IN\{i}​∏​σ−i​(I,τ(I))

if P(h) == i:
  # traverse all available actions, to illiminate influence of σ_i
  v[I] = {a: mccfr(h + [a], {**π_i, P(h): π_i[P(h)] * σ[t][I][a]}, i, t) for a in A[I]}
else:
  # sample one a from A[I]
  a = sample(A[I], σ[t][I])
  v[I][a] = mccfr(h + [a], {**π_i, P(h): π_i[P(h)] * σ[t][I][a]})

平均策略计算

当我们使用CFR算法时，能够接近均衡的策略实际上为${\bar{\sigma }}^T$。如果我们的目标是计算一个近似的平衡，那么当所有的迭代都完成之后得到的策略集就即为平均策略。
平均策略定义为$${\bar{\sigma }}_i^T(I,a)=\frac{{\sum }_{t=1}^T{\pi }_i^{{\sigma }^t}(I){\sigma }^t(I,a)}{{\sum }_{t=1}^T{\pi }_i^{{\sigma }^t}(I)},I\in {\mathcal{I}}_i$$CFR中，在每个信息集上仅为每个动作累积分子，当要计算平均策略时，维护的值可以被其他动作的策略值规范化。信息集$I$中动作$a$的平均策略增量为${\pi }_i^{{\sigma }^t}(I){\sigma }^t(I,a)$；在实验中，这个增量是由$h\in I$的更小的增量${\pi }_i^{{\sigma }^t}(h){\sigma }^t(I,a)$相加而成。也就是说，递归遍历是在游戏树而不是信息集树上。由于每次迭代都完成一幕，因此精确地计算了平均策略。
计算MCCFR中的平均策略通常不是很明确，因为每次迭代只访问了的一部分信息集。但是，平均策略的计算应该包含玩家T轮迭代中在那是如何行动的。

参考文献

[1]: MONTE CARLO SAMPLING AND REGRET MINIMIZATION FOR EQUILIBRIUM COMPUTATION AND DECISION-MAKING IN LARGE EXTENSIVE FORM GAMES
[2]: Monte Carlo Sampling for Regret Minimization in Extensive Games