(2021年整理)高中数学函数知识点完整总结(总结收藏版)

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高中数学函数知识点总结

1。 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性\"。 如：集合Ax|ylgx，By|ylgx，C(x,y)|ylgx，A、B、C 中元素各表示什么？

A表示函数y=lgx的定义域,B表示的是值域,C表示的却是函数上的点的轨迹

2 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合Ax|x22x30，Bx|ax1 若BA，则实数a的值构成的集合为 （答：1，0，）

显然，这里很容易解出A=｛-1,3}.而B最多只有一个元素.故B只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1，a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。

133. 注意下列性质：

（1）集合a1，a2，……，an的所有子集的个数是2n；

要知道它的来历:若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）.同样，对于元素a2, a3，……an,都有2种选择,所以，总共有2n种选择， 即集合A有2n个子集。

当然，我们也要注意到,这2n种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为2n1，非空真子集个数为2n2

（2）若ABABA，ABB；

（3)德摩根定律：

CUABCUACUB，CUABCUACUB

有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂

4. 你会用补集思想解决问题吗?（排除法、间接法） 如：已知关于x的不等式的取值范围。

（∵3M，∴a·35032aa·55052a5a1，9，25）3ax50的解集为M，若3M且5M，求实数a

x2a

∵5M，∴注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息,做题时不要错过; 如告诉你函数f(x)=ax+bx+c(a〉

2

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0) 在(,1)上单调递减,在(1,)上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1。或者,我说在上 ，也应该马上可以想到m，n实际上就是方程 的2个根 5、熟悉命题的几种形式、

可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”()，“且”()和“非”().

若pq为真，当且仅当p、q均为真

若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真 若p为真，当且仅当p为假

命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假. 6、熟悉充要条件的性质(高考经常考）

A{x|x满足条件p}，B{x|x满足条件q},

若 ；则p是q的充分非必要条件A_____B； 若 ；则p是q的必要非充分条件A_____B；

若 ；则p是q的充要条件A_____B；

若 ；则p是q的既非充分又非必要条件___________；

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射？

(一对一，多对一，允许B中有元素无原象。)

注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数m

有n个。

如：若A{1,2,3,4}，B{a,b,c}；问:A到B的映射有 个，B到A的映射有 个；

A到B的函数有 个，若A{1,2,3}，则A到B的一一映射有 个。

函数y(x)的图象与直线xa交点的个数为 个。

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数yx4xlgx32的定义域是 （答：0，22，33，4）

函数定义域求法：  分式中的分母不为零;  偶次方根下的数(或式）大于或等于零；

 

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指数式的底数大于零且不等于一；

对

数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。



正切函数ytanx xR,且xk,k 2 

余切函数ycotx xR,且xk,k 反三角函数的定义域

函数y＝arcsinx的定义域是 ［－1， 1］ ,值域是,函数y＝arccosx的定义域是 [－1,

1] ，值域是 ［0， π］ ，函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是.，函数y＝arcctgx

的定义域是 R ，值域是 （0， π） 。

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域. 10。 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定 义域是_____________. （答：a，a）

复合函数定义域的求法：已知yf(x)的定义域为m,n，求yfg(x)的定义域，可由

mg(x)n解出x的范围,即为yfg(x)的定义域。

例 若函数yf(x)的定义域为,2，则f(log2x)的定义域为 。

2分析：由函数yf(x)的定义域为,2可知:x2；所以yf(log2x)中有

221111log2x2. 2解：依题意知：

1log2x2 2 解之,得 2x4 ∴ f(log2x)的定义域为x|2x4

11、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 求函数y=2、配方法

1的值域 x（完整）高中数学函数知识点完整总结(总结收藏版)

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一.

例、求函数y=x2-2x+5，x［—1，2]的值域。

3、判别式法

对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

b型：直接用不等式性质k+x2bxb. y2型,先化简，再用均值不等式xmxnx11 例：y2121+xx+x2xmxnc.. y型 通常用判别式x2mxnx2mxnd. y型 xn 法一：用判别式a. y 法二：用换元法，把分母替换掉2x2x1（x+1）（x+1）+1 1 例：y（x+1）1211x1x1x1

4、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域. 例 求函数y=

3x4值域。

5x65、函数有界性法

直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

ex12sin12sin1例 求函数y=x,y,y的值域。

e11sin1cosex11yex0x1ye12sin11yy|sin|||1,1sin2y2sin1y2sin1y(1cos)1cos2sinycos1yy4y2sin(x)1y,即sin(x)1y4y21y4y2

又由sin(x)1知1解不等式，求出y，就是要求的答案6、函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y=

2x5log3x1（2≤x≤10）的值域

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角

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函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。

例 求函数y=x+x1的值域。

8 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法,往往会更加简单，一目了然,赏心悦目. 例：已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上，

(1)yx2的取值范围 (2)y-2x的取值范围 解:(1)令yx2k,则yk(x2),是一条过(-2,0)的直线. dR(d为圆心到直线的距离,R为半径) (2)令y-2xb,即y2xb0,也是直线d dR 例求函数y=

(x2)2+

(x8)2的值域.

解:原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A(2),B（-8）间的距离之和。 由上图可知：当点P在线段AB上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时, y=∣x—2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞） 例求函数y=

x26x13+

x24x5的值域

解：原函数可变形为：y=

(x3)2(02)2+

(x2)2(01)2

上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3，2)，B（-2，-1)的距离之和，

由图可知当点P为线段与x轴的交点时, =

(32)2(21)2=43,

故所求函数的值域为［43，+∞）。

ymin=∣AB∣

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注：求两距离之和时，要将函数 9 、不等式法

利用基本不等式a+b≥2ab,a+b+c≥33abc(a，b，c∈

R),求函数的最值，其题型特征解

析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例： 22(x0) xx

=x2111133x23xxxx (应用公式a+b+c33abc时，注意使3者的乘积变成常数）x2(3-2x)(0有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例 求函数y=

yx2的值域

x3

1x220y12x2x3x20时，1x21x2yx2x20时，y=00y12多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法.

12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

切记:做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯

我当年的错误,与到手的满分失之交臂 如：f 令tx1exx，求f(x). x1，则t0

2 ∴xt1

2 ∴f(t)et1t21

x21x0

∴f(x)ex21 13。 反函数存在的条件是什么? （一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

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(①反解x；②互换x、y；③注明定义域)

1x 如：求函数f(x)2xx1（答：f(x)x1x0的反函数

x0

x1 ） x0在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题:

（2004。全国理）函数y A．y=x2－2x+2(x<1) C．y=x2－2x (x<1)

x11(x1)的反函数是( B ）

B．y=x2－2x+2（x≥1） D．y=x2－2x (x≥1）

当然，心情好的同学,可以自己慢慢的计算，我想, 一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的.可惜,这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路：

原函数定义域为 x〉=1，那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D。现在看值域。原函数至于为y〉=1，则反函数定义域为x>=1, 答案为B。

我题目已经做完了， 好像没有动笔（除非你拿来写＊书）。思路能不能明白呢？ 14。 反函数的性质有哪些？ 反函数性质： 1、 反函数的定义域是原函数的值域 (可扩展为反函数中的x对应原函数中的y) 2、 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x） 3、 反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称 ①互为反函数的图象关于直线y＝x对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性;

③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf1(b)a f1f(a)f1(b)a，ff1(b)f(a)b

由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目,如

4（04. 上海春季高考）已知函数f(x)log3(2),则方程f1(x)4的解x__________.

x15 。 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负)

判断函数单调性的方法有三种： (1)定义法：

根据定义,设任意得x1，x2，找出f（x1），f(x2)之间的大小关系

f(x1)f(x2)f(x1)可以变形为求的正负号或者与1的关系

x1x2f(x2)(2）参照图象：

①若函数f(x）的图象关于点（a，b)对称，函数f（x）在关于点（a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）

②若函数f(x）的图象关于直线x＝a对称，则函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间里具有相反的单调性。（特例:偶函数)

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(3）利用单调函数的性质：

①函数f（x)与f(x）＋c(c是常数)是同向变化的 ②函数f(x)与cf（x）(c是常数），当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。

③如果函数f1(x)，f2(x）同向变化，则函数f1(x）＋f2(x）和它们同向变化；（函数相加） ④如果正值函数f1(x）,f2(x)同向变化，则函数f1（x)f2(x）和它们同向变化;如果负值函数f1（2）与f2(x）同向变化，则函数f1（x）f2（x)和它们反向变化;(函数相乘)

⑤函数f(x）与

1f(x)在f(x）的同号区间里反向变化。

⑥若函数u＝φ(x)，x[α,β]与函数y＝F（u），u∈[φ（α），φ（β)］或u∈［φ（β），φ(α）]同向变化，则在［α,β]上复合函数y＝F[φ(x)］是递增的；若函数u＝φ（x）,x［α,β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α),φ（β)］或u∈[φ(β)，φ(α)］反向变化,则在［α，β］上复合函数y＝F［φ(x)］是递减的。(同增异减）

－1

⑦若函数y＝f(x）是严格单调的，则其反函数x＝f(y）也是严格单调的，而且，它们的增减性相同.

f(g) g（x） f[g（x)+gff(x)*g(x） 都 （x）］ （x） 是正数 增 增 减 减 增 减 增 减 增 减 减 增 2如：求ylog1x22x的单调2增 / / 减 增 / / 减

（设ux22x，由u0则0

且log1u，ux11，如图：

2 u O 1 2 x

当x(0，1]时，u，又log1u，∴y

2 当x[1，2)时，u，又log1u，∴y

2∴……）

16。 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢？

如：已知a0，函数f(x)x3ax在1，上是单调增函数，则a的最大

（完整）高中数学函数知识点完整总结(总结收藏版)

值是（ ) A。 0

（令f'(x)3x2a3x

aax0 33 则xa或x3a 3a1，即a3 3 由已知f(x)在[1，)上为增函数，则 ∴a的最大值为3）

17。 函数f（x)具有奇偶性的必要（非充分)条件是什么？ (f(x)定义域关于原点对称）

若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称 若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。

a·2xa2为奇函数，则实数a 如：若f(x)2x1 （∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)0

a·20a20，∴a1） 即2012x， 又如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x(0，1)时，f(x)x41求f(x)在1，1上的解析式。

2x （令x1，0，则x0，1，f(x)x

412x2x 又f(x)为奇函数，∴f(x)x4114x2x 4x1又f(0)0，∴f(x)x24x1x(1，0)x0x0，1）

判断函数奇偶性的方法

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定义域法

一个函数是奇(偶）函数，其定义域必关于原点对称,它是函数为奇（偶)函数的必要条件。若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.

一、 二、

奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,计算f(x)，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性。

这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x)1 偶函数 f(-x)f(x)1 奇函数f(-x)

三、

复合函数奇偶性

g（x) f[g(x)] f(x）+g（x) f（x）＊g(x） 偶 奇 奇 偶

f(g) 奇 奇 偶 偶 奇 偶 奇 偶 奇 偶 偶 偶 奇 非奇非偶 非奇非偶 偶 18. 你熟悉周期函数的定义吗?

（若存在实数T（T0），在定义

函数，T是一个周期。）

如：若fxaf(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期）

我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况:告诉你f(x)+f（x+t）=0,我们要马上反应过来,这时说f(x)f(xt)0这个函数周期2t。 推导:f(xt)f(x2t)0f(x)f(x2t)，

同时可能也会遇到这种样子:f(x)=f(2a-x),或者说f（a—x)=f(a+x）。其实这都是说同样一个意思：函数f（x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如,f（x)=f(2a-x),或者说f(a—x）=f（a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。

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又如：若f(x)图象有两条对称轴xa，xb即f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)f(x)f(2ax)f(2ax)f(2bx)f(x)f(2bx)令t2ax,则2bxt2b2a,f(t)f(t2b2a)即f(x)f(x2b2a)所以,函数f(x)以2|ba|为周期(因不知道a,b的大小关系,为保守起见,我加了一个绝对值

如：

19。 你掌握常用的图象变换了吗?

f(x)与f(x)的图象关于y轴对称 联想点（x,y）,(—x,y） f(x)与f(x)的图象关于x轴对称 联想点(x,y）,(x，-y)

f(x)与f(x)的图象关于原点对称 联想点（x，y），(—x，—y） f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称 联想点（x，y），(y，x） f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称 联想点（x,y）,(2a-x,y) f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称 联想点(x,y)，（2a-x，0) 将yf(x)图象左移a(a0)个单位右移a(a0)个单位yf(xa)

yf(xa)上移b(b0)个单位yf(xa)b 下移b(b0)个单位yf(xa)b（这是书上的方法，虽然我从来不用, 但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a）怎么由y=f（x）得到，可以直接令y—b=0，x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹了.） 注意如下“翻折”变换：

f(x)|f(x)|把x轴下方的图像翻到上面f(x)f(|x|)把y轴右方的图像翻到上面

如：f(x)log2x1

作出ylog2x1及ylog2x1的图象

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y y=log2x O 1 x

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k<0) y (k>0) y=b O’(a,b) O x x=a

（1）一次函数：ykxbk0 （2）反比例函数：y的双曲线.

（k为斜率，b为直线与y轴的交点)

kkk0推广为ybk0是中心O'(a，b) xxa2b4acb22 （3）二次函数yaxbxca0ax图象为抛物线

2a4ab4acb2b， 顶点坐标为，对称轴x

4a2a2a 开口方向：a0，向上，函数ymin4acb2

4a a0，向下，ymax根的关系：x x1x2b2a4acb2

4a

bc,x1x2,|x1x2|aa|a|二次函数的几种表达形式：f(x)ax2bxc(一般式)f(x)a(xm)n(顶点式，（m，n）为顶点f(x)a(xx1)(xx2)(x1,x2是方程的2个根）f(x)a(xx1)(xx2)h(函数经过点（x1,h)(x2,h)2

应用：①“三个二次\"（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系--二次方程

ax2bxc0，0时，两根x1、x2为二次函数yax2bxc的图象与x轴 的两个交点，也是二次不等式ax2bxc0(0)解集的端点值。

②求闭区间[m，n]上的最值。

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b） fmaxf(m),fminf(n)2ab 区间在对称轴右边（m） fmaxf(n),fminf(m)

区间在对称轴左边（n

2a区间在对称轴2边 （nb2am） fmin4acb24a,fmaxmax(f(m),f(n))也可以比较m,n和对称轴的关系， 距离越远，值越大(只讨论a0的情况） ③求区间定（动)，对称轴动（定）的最值问题. ④一元二次方程根的分布问题。

0 如：二次方程ax2bxc0的两根都大于kbk 2a

f(k)0 y (a>0) O k x1 x2 x

一根大于k，一根小于kf(k)0

0在区间（m，n）内有2根mb2anf(m)0f(n)0在区间（m，n）内有1根f(m)f(n)0（4）指数函数：yaxa0，a1

（5）对数函数ylogaxa0，a1 由图象记性质！ (注意底数的限定！）

y y=ax(a>1) (01) 1 O 1 x (0（完整）高中数学函数知识点完整总结(总结收藏版)

成立的条件)

y k

O k x

20。 你在基本运算上常出现错误吗？ 指数运算：a01(a0)，ap amn1(a0) apanm(a0)，amn1nam(a0)

对数运算：loga(MN)logaMlogaNM0，N0 logaM1logaMlogaN，loganMlogaM Nn 对数恒等式：alogaxx

对数换底公式：logab

logcbnlogambnlogablogcam1logaxlogxa

21。 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法)

如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。 （先令xy0f(0)0再令yx，……）

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。 （先令xytf(t)(t)f(t·t) ∴f(t)f(t)f(t)f(t) ∴f(t)f(t)……）

（3）证明单调性：f(x2)fx2x1x2……



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（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了 1、 代y=x， 2、 令x=0或1来求出f（0)或f(1) 3、 求奇偶性，令y=-x;求单调性：令x+y=x1

几类常见的抽象函数 1. 正比例函数型的抽象函数

f（x）＝kx（k≠0）-—-—-------—-——f（x±y）＝f（x）±f（y) 2. 幂函数型的抽象函数

f(x）＝xa-—————---——————-f(xy）＝ f（x)f(y)；f（

3.

xf(x)）＝

f(y)y指数函数型的抽象函数

f（x)＝ax——--——-—------————— f(x＋y）＝f（x）f(y）;f（x－y)＝

f(x) f(y)4.

对数函数型的抽象函数

f（x）＝logax（a〉0且a≠1）———-—f（x·y）＝f(x）＋f（y）;f（

5.

x）＝ f（x)－f（y） y三角函数型的抽象函数

f(x)＝tgx—--------——--—-————--——--- f（x＋y）＝

f(x)f(y)

1f(x)f(y)f(x）＝cotx——--—-———-——-—--—--—--—— f(x＋y)＝

f(x)f(y)1

f(x)f(y)例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时,f（x)〉0，f(－1）＝ －2求f（x)在区间［－2,1］上的值域.

分析:先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2)＝f［（x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1）＋f（x1）)；再根据区间求其值域.

例2已知函数f（x)对任意实数x、y均有f(x＋y）＋2＝f（x)＋f(y），且当x〉0时,f（x)〉2,f(3)＝ 5，求不等式 f(a2－2a－2）〈3的解。 分析：先证明函数f（x）在R上是增函数(仿例1）；再求出f(1)＝3;最后脱去函数符号.

例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f(y),且f(－1）＝1，f(27）＝9，当0≤x＜1时,f（x）∈［0，1]。 （1） 判断f（x）的奇偶性; （2） 判断f（x)在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明;

（3）

若a≥0且f（a＋1）≤39，求a的取值范围。

分析:(1)令y＝－1； （2）利用f(x1）＝f(

x1x·x2）＝f（1）f（x2)； x2x2（完整）高中数学函数知识点完整总结(总结收藏版)

（3）0≤a≤2.

例4设函数f（x）的定义域是(－∞,＋∞)，满足条件：存在x1≠x2,使得f（x1）≠f（x2)；对任何x和y,f(x＋y）＝f(x)f（y）成立.求: （1） f（0）； （2） 对任意值x，判断f(x）值的符号。

分析：(1）令x= y＝0；（2)令y＝x≠0.

例5是否存在函数f(x）,使下列三个条件：①f(x)〉0，x∈N；②f（a＋b）＝ f（a)f（b)，a、b∈N;③f(2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式,若不存在，说明理由.

分析：先猜出f（x）＝2x;再用数学归纳法证明。

例6设f（x)是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y)＝f（x）＋f(y），f（3）＝1，求： （1） f（1）； （2） 若f(x)＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。 分析：(1)利用3＝1×3；

(2）利用函数的单调性和已知关系式。

例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x)。如果f(ab)＝f（a)＋f(b），那么g(a＋b）＝g(a）·g（b)是否正确，试说明理由。

分析：设f（a）＝m，f（b）＝n,则g(m)＝a，g（n)＝b，

进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f ［g（m）g（n)]….

例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：

①

x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝

f(x1)f(x2)1;

f(x2)f(x1)② ③ （1）

f（a）＝ －1（a＞0，a是定义域中的一个数）； 当0＜x＜2a时，f（x)＜0。

试问：

f(x)的奇偶性如何?说明理由；

（2） 在（0,4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由. 分析：（1)利用f ［－（x1－x2）]＝ －f ［（x1－x2）]，判定f（x）是奇函数; （3） 先证明f（x)在(0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.

对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数。因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型,从而更好地解决抽象函数问题. 例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy)＝f(x）＋f（y), （1） 求证：f(1）＝f（－1）＝0； （2） 求证：f（x）为偶函数；

（3）

若f（x）在（0,＋∞）上是增函数，解不等式f（x)＋f（x－

1）≤0. 2分析：函数模型为：f（x）＝loga｜x｜（a＞0） （1） 先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1; （2） 令y＝ －1； （3） 由f（x）为偶函数，则f(x)＝f（｜x|）。

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例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1,求证： （1） 当x＞0时，0＜f（x)＜1; （2） f（x)在x∈R上是减函数. 分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x； （3） 受指数函数单调性的启发： 由f（x＋y)＝f（x)f（y）可得f（x－y）＝

f(x)， f(y)进而由x1＜x2，有

f(x1)＝f(x1－x2）＞1.

f(x2)练习题：

1.已知：f（x＋y)＝f（x)＋f(y）对任意实数x、y都成立，则（ ) (A)f（0）＝0 （B）f（0）＝1 （C）f(0）＝0或1 （D）以上都不对 2. 若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是( ） （A）f（1)＝0 （B）f（（C）f（

1）＝ f（x） xxn）＝ f（x)－f（y) （D）f（x）＝nf（x）（n∈N） y3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0)≠0，f（x＋y)＝f（x)f（y），且当x＜0时,f（x）＞1,则当x＞0时，f（x）的取值范围是( ） （A）（1，＋∞） (B）（－∞,1） (C）（0，1） （D）（－1，＋∞）

4.函数f(x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有

f（x1－x2）＝

f(x1)f(x2),则f（x)为（ ）

1f(x1)f(x2)(A）奇函数非偶函数 (B）偶函数非奇函数 (C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数

5。已知不恒为零的函数f（x)对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，则函数f(x）是（ )

(A）奇函数非偶函数 (B）偶函数非奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数

参考答案：

1．A 2．B 3 ．C 4．A 5．B 23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式 R 和扇形面积公式吗？ 11 1弧度 （l·R，S扇l·R·R2） (和三角形的面

22 O R 积公式很相似， 可以比较记忆.要知道圆锥展开图面积的求法）