四川省成都市2017届高三数学三诊试卷 理
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.设集合A={0,1},B={x|(x+2)(x﹣1)<0,x∈Z},则A∪B=( ) A.{﹣2,﹣1,0,1} B.{﹣1,0,1} C.{0,1} D.{0}
2.已知复数z1=2+6i,z2=﹣2i,若z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,线段AB的中点C对应的复数为z,则|z|=( ) A.
B.5
C.2
D.2
3.在等比数列{an}中,a1=2,公比q=2,若am=a1a2a3a4(m∈N*),则m=( ) A.11 B.10 C.9
D.8
4.AQI是表示空气质量的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据,图中点A表示4月1日的AQI指数值为201,则下列叙述不正确的是( )
A.这12天中有6天空气质量为“优良” B.这12天中空气质量最好的是4月9日 C.这12天的AQI指数值的中位数是90 D.从4日到9日,空气质量越来越好 5.已知双曲线C:
﹣
=1(a>0,b>0),直线l:y=2x﹣2,若直线l平行于双曲线C
的一条渐近线且经过C的一个顶点,则双曲线C的焦点到渐近线的距离为( ) A.1
B.2
C.
D.4
6.高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1,执行图2所示的程序框图,若输入的ai(i=1,2,…,15)分别为这15名学生的考试成绩,则输出的结果为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
7.已知A={(x,y)|x2+y2≤π2},B是曲线y=sinx与x轴围成的封闭区域,若向区域A内随机投入一点M,则点M落入区域B的概率为( ) A.
B.
C.
D.
8.在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑,如图,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且AB=BC=CD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( )
A. B.﹣ C.
2
D.﹣
),若射线FA与抛物线C相交于
9.已知抛物线C:y=mx(m>0)的焦点为F,点A(0,﹣
点M,与其准线相交于点D,且|FM|:|MD|=1:2,则点M的纵坐标为( ) A.﹣ B.﹣
C.﹣ D.﹣
2
10.已知函数f(x)=2cos2x﹣2,给出下列命题: ①∃β∈R,f(x+β)为奇函数; ②∃α∈(0,
),f(x)=f(x+2α)对x∈R恒成立;
;
③∀x1,x2∈R,若|f(x1)﹣f(x2)|=2,则|x1﹣x2|的最小值为
④∀x1,x2∈R,若f(x1)=f(x2)=0,则x1﹣x2=kπ(k∈Z).其中的真命题有( ) A.①② B.③④ C.②③ D.①④
11.如图,某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角
- 2 -
形,若该三棱锥的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
A.27π B.48π C.64π D.81π
12.设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm﹣1=13,Sm=0,Sm+1=﹣15.其中m∈N且m≥2,则数列{A.
二、填空题(本小题共4小题,每小题5分,共20分) 13.(2x﹣
)6展开式中常数项为 (用数字作答). }的前n项和的最大值为( ) B.
C.
D.
*
14.若变量x,y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为 .
15.从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务,每天安排一人,每人只参加一天,若要求甲、乙两人至少选一人参加,且当甲、乙两人都参加时,他们参加社区服务的日期不相邻,那么不同的安排种数为 .(用数字作答)
16.如图,将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半圆的直径,上底CD的端点在半圆上,则所得梯形的最大面积为 .
三、解答题(本大题共5小题,共70分)
17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c﹣a=2bcosA. (1)求角B的大小; (2)若b=2
,求a+c的最大值.
18.如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,四边形BDEF是
矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,DE=2,M为线段BF上一点,且DM⊥平面ACE. (1)求BM的长;
(2)求二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大小.
19.几个月前,成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车,这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题,然而,这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题,比如乱停乱放,或将共享单车占为“私有”等.
为此,某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人,他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表: 年龄 受访人数 支持发展 共享单车人数 (1)由以上统计数据填写下面的2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为年龄与是否支持发展共享单车有关系;
支持 不支持 合计 年龄低于35岁 年龄不低于35岁 合计 [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) 5 4 6 5 15 12 9 9 10 7 5 3 (2)若对年龄在上存在极值,求a的取值范围,并判断极值的正负.
22.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2,在以极点为直角坐标原点O,极轴为x轴的正半轴建
- 4 -
立的平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).
(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
(2)在平面直角坐标系中,设曲线C经过伸缩变换φ:得到曲线C′,若M(x,
y)为曲线C′上任意一点,求点M到直线l的最小距离.
23.已知f(x)=|x﹣a|,a∈R.
(1)当a=1时,求不等式f(x)+|2x﹣5|≥6的解集;
(2)若函数g(x)=f(x)﹣|x﹣3|的值域为A,且⊆A,求a的取值范围.
2017年四川省成都市高考数学三诊试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.设集合A={0,1},B={x|(x+2)(x﹣1)<0,x∈Z},则A∪B=( ) A.{﹣2,﹣1,0,1} B.{﹣1,0,1} C.{0,1} D.{0} 【考点】1D:并集及其运算.
【分析】先求出集合B,由此利用并集的定义能求出A∪B的值. 【解答】解:∵集合A={0,1},
B={x|(x+2)(x﹣1)<0,x∈Z}={﹣1,0}, ∴A∪B={﹣1,0,1}. 故选:B.
2.已知复数z1=2+6i,z2=﹣2i,若z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,线段AB的中点C对应的复数为z,则|z|=( ) A.
B.5
C.2
D.2
【考点】A8:复数求模.
【分析】复数z1=2+6i,z2=﹣2i,若z1,z2在复平面内对应的点分别为A(2,6),B(0,﹣2),利用中点坐标公式可得:线段AB的中点C(1,2).进而得出.
【解答】解:复数z1=2+6i,z2=﹣2i,若z1,z2在复平面内对应的点分别为A(2,6),B(0,﹣2),
线段AB的中点C(1,2)对应的复数为z=1+2i,则|z|=故选:A.
3.在等比数列{an}中,a1=2,公比q=2,若am=a1a2a3a4(m∈N*),则m=( ) A.11 B.10 C.9
D.8
=
.
【考点】88:等比数列的通项公式.
【分析】把a1和q代入am=a1a2a3a4,求得am=a1q6,根据等比数列通项公式可得m.
- 6 -
【解答】解:am=a1a2a3a4=a1qqq=22=2=2∴m=11, 故选:A.
4234610m﹣1
,
4.AQI是表示空气质量的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据,图中点A表示4月1日的AQI指数值为201,则下列叙述不正确的是( )
A.这12天中有6天空气质量为“优良” B.这12天中空气质量最好的是4月9日 C.这12天的AQI指数值的中位数是90 D.从4日到9日,空气质量越来越好 【考点】B9:频率分布折线图、密度曲线. 【分析】对4个选项分别进行判断,可得结论.
【解答】解:这12天中,空气质量为“优良”的有95,85,77,67,72,92,故A正确; 这12天中空气质量最好的是4月9日,AQI指数值为67,故正确; 这12天的AQI指数值的中位数是
=90,故正确;
从4日到9日,空气质量越来越好,不正确,4月9日,AQI指数值为135, 故选D.
5.已知双曲线C:
﹣
=1(a>0,b>0),直线l:y=2x﹣2,若直线l平行于双
曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点,则双曲线C的焦点到渐近线的距离为( ) A.1
B.2
C.
D.4
【考点】KC:双曲线的简单性质.
【分析】根据题意,由双曲线的方程分析可得其焦点位置以及渐近线方程,结合题意分析有
=2,求出直线l与x轴交点坐标,即可得双曲线C的一个顶点坐标,即a的值,计算可得b的值,又由双曲线的焦点到渐近线的距离等于b,即可得答案. 【解答】解:根据题意,双曲线C的方程为上,
其渐近线方程y=±
x,
=2, ﹣
=1(a>0,b>0),其焦点在x轴
又由直线l平行于双曲线C的一条渐近线,则有直线l:y=2x﹣2与x轴交点坐标为(1,0), 即双曲线C的一个顶点坐标为(1,0),即a=1, 则b=2a=2,
故双曲线C的焦点到渐近线的距离为2; 故选:B.
6.高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1,执行图2所示的程序框图,若输入的ai(i=1,2,…,15)分别为这15名学生的考试成绩,则输出的结果为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【考点】EF:程序框图.
【分析】模拟执行算法流程图可知其统计的是成绩大于等于110的人数,由茎叶图知:成绩大于等于110的人数为9,从而得解.
【解答】解:由算法流程图可知,其统计的是成绩大于等于110的人数, 所以由茎叶图知:成绩大于等于110的人数为9,
- 8 -
因此输出结果为9. 故选:D.
7.已知A={(x,y)|x+y≤π},B是曲线y=sinx与x轴围成的封闭区域,若向区域A内随机投入一点M,则点M落入区域B的概率为( ) A.
B.
C.
D.
2
2
2
【考点】CF:几何概型.
【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积,再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M的面积,代入几何概率的计算公式可求.
【解答】解:构成试验的全部区域为圆内的区域,面积为π,正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M,
根据图形的对称性得:面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|0π=4,
由几何概率的计算公式可得,随机往圆O内投一个点A,则点A落在区域M内的概率P=故选:D.
,
3
8.在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑,如图,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且AB=BC=CD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( )
A. B.﹣ C. D.﹣
【考点】LM:异面直线及其所成的角.
【分析】如图所示,分别取AB,AD,BC,BD的中点E,F,G,O,则EF∥BD,EG∥AC,FO⊥
OG,∠FEG为异面直线AC与BD所成角.
【解答】解:如图所示,分别取AB,AD,BC,BD的中点E,F,G,O,则EF∥BD,EG∥AC,FO⊥OG,
∴∠FEG为异面直线AC与BD所成角. 设AB=2a,则EG=EF=∴∠FEG=60°,
∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为故选:A.
,
a,FG=
=
a,
9.已知抛物线C:y2=mx(m>0)的焦点为F,点A(0,﹣
),若射线FA与抛物线C相
交于点M,与其准线相交于点D,且|FM|:|MD|=1:2,则点M的纵坐标为( ) A.﹣
B.﹣
C.﹣
D.﹣
【考点】K8:抛物线的简单性质.
【分析】作出M在准线上的射影,根据|KM|:|MD|确定|KD|:|KM|的值,进而列方程求得m,再求出M的坐标
【解答】解:依题意F点的坐标为(设M在准线上的射影为K, 由抛物线的定义知|MF|=|MK|, ∵|FM|:|MD|=1:2: 则|KD|:|KM|=kFD=kFD=
,
=
:1,
,0),
∴=,求得m=4
(x﹣1),
- 10 -
∴直线FM的方程为y=
与y=4x,联立方程组,解得x=3(舍去)或x=∴y=解y=﹣故M的坐标为(故选:D
2
2
,
,
或y=,﹣
(舍去), ),
10.已知函数f(x)=2cos2x﹣2,给出下列命题: ①∃β∈R,f(x+β)为奇函数; ②∃α∈(0,
),f(x)=f(x+2α)对x∈R恒成立;
;
2
③∀x1,x2∈R,若|f(x1)﹣f(x2)|=2,则|x1﹣x2|的最小值为
④∀x1,x2∈R,若f(x1)=f(x2)=0,则x1﹣x2=kπ(k∈Z).其中的真命题有( ) A.①② B.③④ C.②③ D.①④
【考点】H7:余弦函数的图象;GT:二倍角的余弦.
【分析】化简函数f(x),画出f(x)的图象,根据图象平移判断函数f(x+β)不是奇函数,判断①错误;
根据f(x)=f(x+2α)求出方程在α∈(0,由|f(x1)﹣f(x2)|=2时,|x1﹣x2|的最小值为当f(x1)=f(x2)=0时,x1﹣x2=kT=
2
)的解,判断②正确; =
,判断③正确;
,判断④错误.
【解答】解:由题意,f(x)=2cos2x﹣2=cos4x﹣1; 对于①,∵f(x)=cos4x﹣1的图象如图所示;
函数f(x+β)的图象是f(x)的图象向左或向右平移|β|个单位, 它不会是奇函数的,故①错误;
对于②,f(x)=f(x+2α),∴cos4x﹣1=cos(4x+8α)﹣1, ∴8α=2kπ,∴α=又α∈(0,
,k∈Z; ),∴取α=
或
时,
∴f(x)=f(x+2α)对x∈R恒成立,②正确; 对于③,|f(x1)﹣f(x2)|=|cos4x1﹣cos4x2|=2时, |x1﹣x2|的最小值为
=
=
,∴③正确;
对于④,当f(x1)=f(x2)=0时, x1﹣x2=kT=k•
=
(k∈Z),∴④错误;
综上,真命题是②③. 故选:C.
- 12 -
11.如图,某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形,若该三棱锥的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
A.27π B.48π C.64π D.81π 【考点】L!:由三视图求面积、体积.
【分析】作出几何体的直观图,确定外接球的球心位置,利用勾股定理求出外接球半径即可得出表面积.
【解答】解:由三视图可知该几何体为三棱锥,棱锥的高VA=4,棱锥底面ABC是边长为6的等边三角形, 作出直观图如图所示:
∵△ABC是边长为6的等边三角形,∴外接球的球心D在底面ABC的投影为△ABC的中心O, 过D作DE⊥VA于E,则E为VA的中点, 连结OA,DA,则DE=OA=∴r=
2
=2
=4,
,AE=VA=2,DA为外接球的半径r,
∴外接球的表面积S=4πr=64π. 故选C.
12.设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm﹣1=13,Sm=0,Sm+1=﹣15.其中m∈N且m≥2,则数列{A.
B.
}的前n项和的最大值为( )
C.
D.
*
【考点】85:等差数列的前n项和.
【分析】根据求出首项和公差,得到数列的通项公式,再判断数列的前7项为正数,再根据裂项求和即可得到答案.
【解答】解:∵Sm﹣1=13,Sm=0,Sm+1=﹣15,
∴am=Sm﹣Sm﹣1=0﹣13=﹣13,am+1=Sm+1﹣Sm=﹣15﹣0=﹣15, 又∵数列{an}为等差数列,
∴公差d=am+1﹣am=﹣15﹣(﹣13)=﹣2,
∴,
解得a1=13
∴an=a1+(n﹣1)d=13﹣2(n﹣1)=15﹣2n, 当an≥0时,即n≤7.5, 当an+1≤0时,即n≥6.5, ∴数列的前7项为正数, ∴
)
∴数列{
+…+1﹣故选:D
- 14 -
==(﹣
}的前n项和的最大值为
)=
(1﹣
)=
.
(﹣+﹣+﹣
二、填空题(本小题共4小题,每小题5分,共20分) 13.(2x﹣
)6展开式中常数项为 60 (用数字作答).
【考点】DA:二项式定理.
【分析】用二项展开式的通项公式得展开式的第r+1项,令x的指数为0得展开式的常数项. 【
解
答
】
解
:(
2x
﹣
)
6
展开式的通项为
=
令
故展开式中的常数项故答案为60
得r=4
.
14.若变量x,y满足约束条件【考点】7C:简单线性规划.
则z=3x﹣y的最小值为 ﹣3 .
【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案. 【解答】解:由约束条件
作出可行域如图,
A(0,3),
化目标函数z=3x﹣y为y=3x﹣z,
由图可知,当直线y=3x﹣z过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最小值为﹣3. 故答案为:﹣3.
15.从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务,每天安排一人,每人只参加一天,若要求甲、乙两人至少选一人参加,且当甲、乙两人都参加时,他们参加社区服务的日期不相邻,那么不同的安排种数为 5040 .(用数字作答) 【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.
【分析】根据题意,分2种情况讨论,①只有甲乙其中一人参加,②甲乙两人都参加,由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目,由加法原理计算可得答案. 【解答】解:根据题意,分2种情况讨论,
若只有甲乙其中一人参加,有C2•C6•A5=3600种情况; 若甲乙两人都参加,有C2•A6•A4=1440种情况, 则不同的安排种数为3600+1440=5040种, 故答案为:5040.
16.如图,将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半圆的直径,上底CD的端点在半圆上,则所得梯形的最大面积为
.
2
3
21
4
5
【考点】7F:基本不等式.
【分析】连接OD,过C,D分别作DE⊥AB于E,CF⊥AB,垂足分别为E,F.设∠AOD=θ
梯形ABCD的面积S=
平方换元利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出..
【解答】解:连接OD,过C,D分别作DE⊥AB于E,CF⊥AB,垂足分别为E,F. 设∠AOD=θ
OE=2cosθ,DE=2sinθ.
- 16 -
.OE=2cosθ,DE=2sinθ.可得CD=2OE=4cosθ,
=4sinθ(1+cosθ),
.
可得CD=2OE=4cosθ, ∴梯形ABCD的面积S==4sinθ(1+cosθ),
S=16sinθ(1+2cosθ+cosθ)=16(1﹣cosθ)(1+2cosθ+cosθ) 令cosθ=t∈(0,1).
则S2=16(1﹣t2)(1+2t+t2)=f(t). 则f′(t)=﹣32(t+1)2(3t﹣1). 可知:当且仅当t=
时,f(t)取得最大值:
.
2
2
2
2
2
因此S的最大值为:.
三、解答题(本大题共5小题,共70分)
17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c﹣a=2bcosA. (1)求角B的大小; (2)若b=2
,求a+c的最大值.
【考点】HT:三角形中的几何计算.
【分析】(1)根据正弦定理与两角和的正弦公式,化简等式2bcosA=2c﹣a,可得(2cosB﹣1)sinA=0,结合sinA>0得到cosB,从而解出B;
(2)由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB的式子,解出12=a2+c2﹣ac.再利用基本不等式得出结论. 【解答】解:(1)∵2c﹣a=2bcosA,
∴根据正弦定理,得2sinC﹣sinA=2sinBcosA,
∵A+B=π﹣C,可得sinC=sin(A+B)=sinBcosA+cosBsinA, ∴代入上式,得2sinBcosA=2sinBcosA+2cosBsinA﹣sinA, 化简得(2cosB﹣1)sinA=0
∵A是三角形的内角可得sinA>0,∴2cosB﹣1=0,解得cosB=
,
∵B∈(0,π),∴B=
2
2
2
;
2
2
(2)由余弦定理b=a+c﹣2accosB,得12=a+c﹣ac. ∴(a+c)2﹣3ac=12,∴12≥(a+c)2﹣∴a+c≤4
,
.
ac,(当且仅当a=c=2
时)
∴a+c的最大值为4
18.如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,四边形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,DE=2,M为线段BF上一点,且DM⊥平面ACE. (1)求BM的长;
(2)求二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大小.
【考点】MT:二面角的平面角及求法;LZ:平面与平面垂直的性质. 【分析】(1)建立坐标系,设BM=h,求出
和
的坐标,令
=0解出h;
(2)求出平面ADM和平面BDM的法向量,计算法向量的夹角即可得出二面角的夹角. 【解答】解:(1)设AC∩BD=O,取EF中点N,连接NO, ∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD, ∵四边形BDEF是矩形,∴ON⊥BD,
∵平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,ON⊂平面BDEF, ∴ON⊥平面ABCD,
以O为原点,以OC,OB,ON为坐标轴建立空间坐标系如图所示: ∵底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°, ∴OB=OD=1,OA=OC=
,
∵四边形BDEF是矩形,DE=2, ∴A(﹣
,0,0),B(0,1,0),C(
,0,0),E(0,﹣1,2),D(0,﹣1,0),
设BM=h,则M(0,1,h),
- 18 -
∴=(0,2,h),=(,﹣1,2), ,
∵DM⊥平面ACE,∴∴﹣2+2h=0,解得h=1, ∴BM=1. (2)
=(
,﹣1,0),
=(0,2,1),
,
设平面ADM的法向量为=(x,y,z),则
∴
又AC⊥平面BDM,∴∴cos<
>=
,令x=得=(,3,﹣6),
=(1,0,0)是平面BDM的一个法向量,
=
=
,
∴二面角A﹣DM﹣B的余弦值为.
19.几个月前,成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车,这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题,然而,这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题,比如乱停乱放,或将共享单车占为“私有”等.
为此,某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人,他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表: 年龄 受访人数 支持发展 共享单车人数 [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) 5 4 6 5 15 12 9 9 10 7 5 3
(1)由以上统计数据填写下面的2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为年龄与是否支持发展共享单车有关系;
支持 不支持 合计 年龄低于35岁 年龄不低于35岁 合计 (2)若对年龄在上存在极值,求a的取值范围,并判断极值的正负. 【考点】6D:利用导数研究函数的极值;6B:利用导数研究函数的单调性. 【分析】(1)由题意可知a≤﹣xlnx﹣
x2在,若g(x)在上存在极值,则
或
求得a的取值范围. 【解答】解:(1)f(x)≤即a≤﹣xlnx﹣(2)g(x)=求导g′(x)=
x2在;
=
,分类讨论,分别构造辅助函数,根据导数与函数的关系,即可
x﹣1,即lnx+﹣1≤x﹣1,
++
﹣
﹣=
,x∈,
,
设h(x)=2x﹣xlnx﹣2a,h′(x)=2﹣(1+lnx)=1﹣lnx, 由h′(x)=0,解得:x=e,
当1≤x<e时,h′(x)>0,当e<x≤e,h′(x)<0, 且h(1)=2﹣2a,h(e)=e﹣2a,h(e2)=﹣2a, 显然h(1)>h(e), 若g(x)在上存在极值, 则
或
,
2
2
当,即1<a<时,
则必定存在x1,x2∈,使得h(x1)=h(x2)=0,且1<x1<x1<e2,
- 20 -
当x变化时,h(x),g′(x),g(x)的变化如表,
x h(x) g′(x) g(x) 当1<a<
(1,x1) ﹣ ﹣ ↓ x1 0 0 极小值 (x1,x2) + + ↓ x2 0 0 极小值 (x1,e) ﹣ ﹣ ↓ 2时,g(x)在上的极值为g(x1),g(x2),且g(x1)<g(x2),
由g(x1)=+﹣=,
设φ(x)=xlnx﹣x+a,其中1<a<则φ′(x)=lnx>0,
,1≤x<e,
∴φ(x)在(1,e)上单调递增,φ(x)=φ(1)=a﹣1>0, 当且仅当x=1时,取等号; ∵1<x1<e,g(x1)>0, 当1<a<
,g(x)在上的极值g(x2)>g(x1)>0,
当
2
,即0<a≤1时,
则必定存在x3∈(1,e),使得h(x3)=0,
易知g(x)在(1,x3)上单调递增,在(x3,e2]上单调递减, 此时,g(x)在上的极大值时g(x3),即g(x3)>g(e2)=当0<a≤1时,g(x)在上存在极值,且极值都为正数, 综上可知:当0<a<
22.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2,在以极点为直角坐标原点O,极轴为x轴的正半轴建
时,g(x)在上存在极值,且极值都为正数,
>0,
立的平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).
(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
(2)在平面直角坐标系中,设曲线C经过伸缩变换φ:得到曲线C′,
若M(x,y)为曲线C′上任意一点,求点M到直线l的最小距离. 【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;QH:参数方程化成普通方程.
【分析】(1)曲线C的极坐标方程为ρ=2,利用互化公式化为直角坐标方程.直线l的参数
方程为(t为参数),相减消去参数t化为普通方程.
(2)曲线C经过伸缩变换φ:,即,代入曲线C
的方程可得:4(x′)+(y′)=4,即得到曲线C′:点d=
,即可得出最小值.
M
到
直
线
l
=
22
=1.设M(cosθ,2sinθ),的
距
离
【解答】解:(1)曲线C的极坐标方程为ρ=2,化为直角坐标方程:x2+y2=4.
直线l的参数方程为(t为参数),消去参数t化为普通方程:
y=x+3.
(2)曲线C经过伸缩变换φ:,即,代入曲线C
的方程可得:4(x′)2+(y′)2=4,即得到曲线C′:=1.
若M(x,y)为曲线C′上任意一点,设M(cosθ,2sinθ),点M到直线l的距离d=
≥
=
=
,当且仅当sin(θ﹣φ)=1时取等
- 22 -
号.
因此最小距离为:
23.已知f(x)=|x﹣a|,a∈R.
(1)当a=1时,求不等式f(x)+|2x﹣5|≥6的解集;
(2)若函数g(x)=f(x)﹣|x﹣3|的值域为A,且⊆A,求a的取值范围. 【考点】R4:绝对值三角不等式;R5:绝对值不等式的解法.
【分析】(1)将a=1代入f(x),通过讨论x的范围求出各个区间上的x的范围,取并集即可; (2)通过讨论a的范围,得到关于a的不等式组,解出即可. 【解答】解:(1)a=1时,|x﹣1|+|2x﹣5|≥6, x≤1时:1﹣x﹣2x+5≥6,解得:x≤0,∴x≤0, 1<x<2.5时:x﹣1﹣2x+5≥6,解得:x≤﹣1,不成立; x≥2.5时:x﹣1+2x﹣5≥6,解得:x≥4,∴x≥4, 故不等式的解集是{x|x≥4或x≤0}; (2)g(x)=|x﹣a|﹣|x﹣3|,
.
a≥3时:g(x)=,
∴3﹣a≤g(x)≤a﹣3, ∵⊆A,∴
,解得a≥5;
a<3时,a﹣3≤g(x)≤3﹣a, ∴
综上:a≤1或a≥5.
,解得:a≤1;
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