高次不等式的解法

高次不等式的解法---穿根法

一．方法:先因式分解,再使用穿根法.

注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:

①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0 (2)

x2-4x+1 ≤1 3x2-7x+2 解:

(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x∣x>2或x<-4且x≠5}. (2)

变形为 (2x-1)(x-1) ≥0 (3x-1)(x-2) -5 -4 1 3 2 根据穿根法如图 不等式解集为 {xx<

1 1 或≤x≤1或x>2}.? 3 2 1 2 1 2 【例2】? 解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【分析】? 如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 解：(1)原不等式可化为 x(2x+5)(x-3)＞0 顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分． (2)原不等式等价于 (x+4)(x+5)2(x-2)3＞0

∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．

——仅供参考

【说明】? 的系数必为正；②对于．用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x．．．．．．．．．．．

偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

数轴标根法”又称“数轴穿根法” 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为 正数） 例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。 第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。 例如： 若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。 在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。 因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-12。 【典型例题】 例1、解不等式 (1)2x-x-15x＞0； (2)(x+4)(x+5)(2-x)＜0． 例2、解下列不等式： 2⑴ (x+1)(x-1)(x-2)(x-3)>0； ⑵ (x+2)(x+x+1)>0； 22⑶ (x+2)(x+1)<0； （4）(x+2)(x+1)0； 22

（5） (x-1)(x-5x-6)> 0 例3、解下列不等式：

2222

⑴(x-1)(x-1)(x-x-2)<0； ⑵(x+1)(x-2)(x-1)0；

22

⑶(x-1)(x-x-2)0；

2432x23x2例4、解不等式：0 2x7x12x29x11例5、解不等式：27

x2x1 ——仅供参考

x25x6例6、解不等式：20

x3x22x12x1 x33x223x例8、解不等式：23（不能十字相乘分解因式；无法分解因式）

xx1例7、解不等式：例9、解下列不等式。 ⑴x+2+

1182x>7+； ⑵1； x10x10 ⑷(x1)(x1)2(x2)3(x3)4(x4)5(x5)60。 【巩固练习】 1、解下列不等式： ⑴(x+1)2(x-1)(x-4)>0； ⑵(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0 ； ⑶(x+2)(x+1)2(x-1)3(3-x))0 ⑷(x2-1)(x-1)(x2-x-2)0； ⑸x+14x1 ⑻(x1)2(x2)(x3)(x4)0； 2：解不等式： 1、x32x0 23、x23x2x22x30 4x135、x2x6x320 6

——仅供参考

x3x2、2x1x31 、x22x1x20、xx39x20