专题4.1 曲线运动 运动的合成与分解
1.掌握曲线运动的概念、特点及条件。 2.掌握运动的合成与分解法则。
知识点一 曲线运动 1．速度的方向
质点在某一点的速度方向，为沿曲线在这一点的切线方向。 2．运动的性质
做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。 3．曲线运动的条件
知识点二 运动的合成与分解 1．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。 2．合运动与分运动的关系
合运动与分运动是等效替代关系，且具有等时性和独立性。 3．合运动的性质判断
加速度加速度
或合外力
变化：非匀变速运动
不变：匀变速运动
或合外力
共线：直线运动方向与速度方向不共线：曲线运动
4．两个直线运动的合运动性质的判断
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 知识点三 小船渡河问题 1．船的实际运动
是水流的运动和船相对静水运动的合运动。 2．小船渡河时间
只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关。 3．三种速度
v船(船在静水中的速度)、v水(水的流速)、v合(船的实际速度)。 【特别提醒】小船渡河的两类问题、三种情景 渡河时 间最短 d当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝v船 匀速直线运动 匀变速曲线运动 匀加速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 渡河位 移最短 如果v船＞v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足 v船cos θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d 如果v船＜v水，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时， dv水渡河位移最短，等于v船 知识点四 绳(杆)端速度分解模型 1．模型特点
沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。 2．思路与方法
合速度→物体的实际运动速度v
其一：沿绳
分速度→其二：与绳
杆的速度v∥
杆垂直的速度v⊥
方法：v∥与v⊥的合成遵循平行四边形定则。
3．解题原则：根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见实例如下：
甲 乙
丙 丁
考点一 曲线运动的特点
【典例1】（2018年江苏卷）某弹射管每次弹出的小球速度相等．在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球．忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的（ ）
A. 时刻相同，地点相同 B. 时刻相同，地点不同 C. 时刻不同，地点相同 D. 时刻不同，地点不同 【答案】B
【解析】弹射管在竖直方向做自由落体运动，所以弹出小球在竖直方向运动的时间相等，因此两球应同时落地；由于两小球先后弹出，且弹出小球的初速度相同，所以小球在水平方向运动的时间不等，因小球在水平方向做匀速运动，所以水平位移相等，因此落点不相同，故B正确。
【方法技巧】合力、速度、轨迹之间的关系
做曲线运动的物体，其速度方向与运动轨迹相切，所受的合力方向与速度方向不在同一条直线上，合力改变物体的运动状态，据此可以判断：
(1)已知运动轨迹，可以判断合力的大致方向在轨迹的包围区间(凹侧)，如图所示。
(2)运动轨迹在速度方向与合力方向所夹的区间，根据受力方向和速度方向可以判断轨迹的大致弯曲方向。 (3)根据合力方向与速度方向的夹角，可以判断物体的速率变化情况。夹角为锐角时，速率变大；夹角为钝角时，速率变小；合力方向与速度方向垂直时，速率不变。
【变式1】（2018年天津卷）滑雪运动深受人民群众喜爱，某滑雪运动员（可视为质点）由坡道进入竖直面内的圆弧形滑道AB，从滑道的A点滑行到最低点B的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不变，则运动员沿AB下滑过程中（ ）
A. 所受合外力始终为零 B. 所受摩擦力大小不变 C. 合外力做功一定为零 D. 机械能始终保持不变 【答案】C
【解析】根据曲线运动的特点分析物体受力情况，根据牛顿第二定律求解出运动员与曲面间的正压力变化情况，从而分析运动员所受摩擦力变化；根据运动员的动能变化情况，结合动能定理分析合外力做功；根据运动过程中，是否只有重力做功来判断运动员的机械能是否守恒；因为运动员做曲线运动，所以合力一定不为零，A错误；运动员受力如图所示，重力垂直曲面的分力与曲面对运动员的支持力的合力充当向心力，故有
，运动过程中速率恒定，且在减小，所以曲面对运动员的支持力越来越大，根
据
可知摩擦力越来越大，B错误；运动员运动过程中速率不变，质量不变，即动能不变，动能变化量为零，
根据动能定理可知合力做功为零，C正确；因为克服摩擦力做功，机械能不守恒，D错误；
考点二 运动的合成与分解
【典例2】（2019·湖南雅礼中学模拟）某人骑自行车以4 m/s的速度向正东方向行驶，天气预报报告当时是正北风，风速为4 m/s，那么，骑车人感觉到的风向和风速为( )
A．西北风，风速为4 m/s B．西北风，风速为42 m/s
C．东北风，风速为4 m/s D．东北风，风速为42 m/s 【答案】D
【解析】以骑车人为参考系，人向正东方向骑行，感觉风刮向正西，风速大小为v1＝4 m/s，当时有正北风，人感觉到的风刮向为正南，风速为v2＝4 m/s，如图所示，可求得人感觉到的风向为东北风，风速为v＝42 m/s，D正确。
【变式2】（2019·山西大学附中模拟）由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道。当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨103 m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s，此时卫道运行。已知同步卫星的环绕速度约为3.1×
星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图所示。发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为( )
A．西偏北方向，1.9×103 m/s B．东偏南方向，1.9×103 m/s C．西偏北方向，2.7×103 m/s D．东偏南方向，2.7×103 m/s 【答案】B
22103 m/s，【解析】根据余弦定理，发动机给卫星的附加速度大小为v＝v1＋v2－2v1v2cos 30°，代入数据得v＝1.9×
方向如图，为东偏南方向，选项B正确。
考点三 小船渡河问题
【典例3】 (2019·山东烟台一中质检)一艘小船在静水中的速度是3 m/s，一条河宽60 m，河水流速为4 m/s，下列说法正确的是( )
A．小船在这条河中运动的最大速度是5 m/s B．小船在这条河中运动的最小速度是3 m/s C．小船渡过这条河的最短时间是20 s D．小船渡过这条河的最小位移是60 m 【答案】C
【解析】当船头指向与水流速度同向时，小船速度最大，为7 m/s，当船头指向与水流速度反向时，小船速度最
d60
小，为1 m/s，故A、B项错误；当船头指向与河岸垂直时，渡河时间最短，t＝v静＝3 s＝20 s，故C项正确；因为船在静水中的速度小于水流速度，可知合速度的方向不可能垂直于河岸，则小船不能垂直到达对岸，最小位移大于60 m，故D项错误。
【方法技巧】小船渡河问题必须明确的四个要点
(1)正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头所指方向的运动，是分运动，船的运动也就是船的实际运动，是合运动，与船头所指方向一般情况下不共线。
(2)按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头所指方向分解。 (3)渡河时间只与船垂直河岸的分速度有关，与水流速度无关。
(4)求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小情况，用三角形定则求极限的方法处理。
【变式3】（2019·广东汕头金山中学模拟）一小船在匀速流动的河水中以船身始终垂直于河岸方向过河，已知河宽d＝64 m，河水的流速大小为3 m/s，小船初速度为0，过河过程中小船先以1 m/s的加速度匀加速运动，到达
2
两河岸垂直连线的中点后再以1 m/s的加速度匀减速运动，则( )
2
A．小船过河的平均速度大小为4 m/s B．小船过河过程中垂直于河岸方向的最大速度为8 m/s C．小船过河的时间为16 s D．小船到达河对岸时的位移大小为112 m 【答案】BC
12
【解析】设小船到达两河岸垂直连线的中点所用时间为t，在垂直于河岸方向上，有d＝2×2at，其中d＝64 m，a＝1 m/s2，解得t＝8 s，则小船的渡河时间为T＝2t＝16 s，垂直于河岸方向的最大速度v⊥max＝at＝8 m/s，选项B、C正确；小船过河的过程中，沿河岸方向的位移x＝v水·2t＝48 m，实际位移s＝x2＋d2＝80 m，选项D错误；小船ss
过河的平均速度v＝T＝2t＝5 m/s，A错误。
考点四 绳(杆)端速度分解模型
【典例4】(2019·四川成都二中模拟)质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动．当小车与滑轮间的细绳和水平方向的夹角为θ2时(如图所示)，下列判断正确的是( )
A．P的速度大小为v
B．P的速度大小为vcos θ2
C．绳的拉力等于mgsin θ1 D．绳的拉力小于mgsin θ1 【答案】B
【解析】物体P的速度大小与小车沿绳方向的分速度大小相等，由几何知识知P的速度大小v1＝vcos θ2，A错
误，B正确；小车向右做匀速直线运动，θ2减小，则P做加速运动，绳的拉力大小大于mgsin θ1，C、D错误。
【方法技巧】绳(杆)关联问题的解题技巧
(1)解题关键：找出合速度与分速度的关系是求解关联问题的关键。 (2)基本思路
①先确定合速度的方向(物体实际运动方向)。
②分析合运动所产生的实际效果：一方面使绳(杆)伸缩；另一方面使绳(杆)转动。
③确定两个分速度的方向：沿绳(杆)方向的分速度和垂直于绳(杆)方向的分速度，而沿绳(杆)方向的分速度大小相同。
【变式4】 (2019·福建莆田一中模拟)如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动。当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( )
A．v1＝v2 B．v1＝v2cos θ
C．v1＝v2tan θ D．v1＝v2sin θ 【答案】C
【解析】将A、B两点的速度分解为沿AB方向与垂直于AB方向的分速度，沿AB方向的速度分别为v1∥和v2∥，由于AB不可伸长，两点沿AB方向的速度分量应相同，则有v1∥＝v1cos θ，v2∥＝v2sin θ，由v1∥＝v2∥，得v1＝v2tan θ，选项C正确。
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