卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请将正确答案的序号填入对应题目后的括号内） 1．下列汽车标志图案，不是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
2．对于任意三角形的高，下列说法不正确的是( ) A．锐角三角形有三条高 B．直角三角形只有一条高 C．任意三角形都有三条高
D．钝角三角形有两条高在三角形的外部
3．一个三角形的两边的长分别为3和8，第三边的长为奇数，则第三边的长为( ) A．5或7 B．7 C．9 D．7或9
4．已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x为( ) A．
B．4
C．3
D．不能确定
5．点M（3，2）关于y轴对称的点的坐标为( ) A．（﹣3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3）
6．如图，∠B=∠D=90°，CB=CD，∠1=30°，则∠2=( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
7．现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以下结论： （1）△ABD≌△ACD；
（2）AD⊥BC；
（3）∠B=∠C；
（4）AD是△ABC的角平分线． 其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图所示，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，则∠B的度数是( )
A．40° B．35° C．25° D．20°
10．用正三角形、正四边形和正六四边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个．则第n个图案中正三角形的个数为( ) （用含n的代数式表示）．
A．2n+1 B．3n+2 C．4n+2 D．4n﹣2 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请把答案填写在相应题目后的横线上） 11．若A（x，3）关于y轴的对称点是B（﹣2，y），则x=__________，y=__________，点A关于x轴的对称点的坐标是__________．
12．如图：△ABE≌△ACD，AB=10cm，∠A=60°，∠B=30°，则AD=__________ cm，∠ADC=__________．
13．如图，已知线段AB、CD相交于点O，且∠A=∠B，只需补充一个条件__________，则有△AOC≌△BOD．
14．如图，△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为18．若AB=5，EF=6，则AC=__________．
15．如图，七星形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=__________．
16．如图，小亮从A点出发前10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了__________m．
17．将一长方形纸条按如图所示折叠，∠2=55°，则∠1=__________．
18．如图，线段AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点P恰好在AC上，且AC=10cm，则B点到P点的距离为__________．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
20．如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF． 求证：（1）△ABC≌△DEF； （2）BE=CF．
21．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H． （1）求证：△BCE≌△ACD； （2）求证：FH∥BD．
22．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上． （1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （2）作出△ABC关于y对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
23．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为40，BD=5，则E到BC边的距离为多少．
24．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
25．在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF． （1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．
2018-2019学年湖北省黄冈市五校联考八年级（上）期中
数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请将正确答案的序号填入对应题目后的括号内） 1．下列汽车标志图案，不是轴对称图形的是( )
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，故错误； B、不是轴对称图形，故正确； C、是轴对称图形，故错误； D、是轴对称图形，故错误． 故选B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．对于任意三角形的高，下列说法不正确的是( ) A．锐角三角形有三条高 B．直角三角形只有一条高 C．任意三角形都有三条高
D．钝角三角形有两条高在三角形的外部 【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形的高的概念，通过具体作高，发现：任意一个三角形都有三条高，其中锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条在内部，据此解答即可． 【解答】解：A、锐角三角形有三条高，说法正确，故本选项不符合题意； B、直角三角形有三条高，说法错误，故本选项符合题意； C、任意三角形都有三条高，说法正确，故本选项不符合题意；
D、钝角三角形有两条高在三角形的外部，说法正确，故本选项不符合题意； 故选B．
【点评】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，注意不同形状的三角形的高的位置．
3．一个三角形的两边的长分别为3和8，第三边的长为奇数，则第三边的长为( ) A．5或7 B．7 C．9 D．7或9 【考点】三角形三边关系．
【分析】首先根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再根据第三边又是奇数得到答案．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边大于8﹣3=5，而小于两边之和8+3=11． 又第三边应是奇数，则第三边等于7或9． 故选D． 【点评】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
4．已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x为( ) A．
B．4
C．3
D．不能确定
【考点】全等三角形的性质． 【分析】首先根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等可得：3x﹣2与5是对应边，或3x﹣2与7是对应边，计算发现，3x﹣2=5时，2x﹣1≠7，故3x﹣2与5不是对应边． 【解答】解：∵△ABC与△DEF全等， 当3x﹣2=5，2x﹣1=7， x=，
把x=代入2x﹣1中，
2x﹣1≠7，
∴3x﹣2与5不是对应边， 当3x﹣2=7时， x=3，
把x=3代入2x﹣1中， 2x﹣1=5， 故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握性质定理，要分情况讨论．
5．点M（3，2）关于y轴对称的点的坐标为( ) A．（﹣3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3） 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于y轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等回答即可． 【解答】解：点M（3，2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，2）． 故选：A． 【点评】本题主要考查的是关于坐标轴对称的点的坐标特点，关于y轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等；关于x轴对称点纵坐标互为相反数，横坐标相等．
6．如图，∠B=∠D=90°，CB=CD，∠1=30°，则∠2=( )
A．30° B．40° C．50° D．60° 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△ADC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3． 【解答】解：∵∠B=90°，∠1=30°， ∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣30°=60°， 在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）， ∴∠2=∠3=60°． 故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
7．现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】三角形三边关系．
【分析】取四根木棒中的任意三根，共有4中取法，然后依据三角形三边关系定理将不合题意的方案舍去．
【解答】解：共有4种方案：
①取4cm，6cm，8cm；由于8﹣4＜6＜8+4，能构成三角形； ②取4cm，8cm，10cm；由于10﹣4＜8＜10+4，能构成三角形；
③取4cm，6cm，10cm；由于6=10﹣4，不能构成三角形，此种情况不成立； ④取6cm，8cm，10cm；由于10﹣6＜8＜10+6，能构成三角形． 所以有3种方案符合要求．故选C．
【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．
8．如图，△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以下结论： （1）△ABD≌△ACD； （2）AD⊥BC；
（3）∠B=∠C；
（4）AD是△ABC的角平分线． 其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】等腰三角形的性质． 【分析】由“三线合一”可知（2）（4）正确，由等边对等角可知（3）正确，且容易证明△ABD≌△ACD，可得出答案． 【解答】解： ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴（3）正确，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD， ∴（2）（4）正确， 在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴（1）正确， ∴正确的有4个， 故选D．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线相互重合是解题的关键．
9．如图所示，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，则∠B的度数是( )
A．40° B．35° C．25° D．20° 【考点】等腰三角形的性质．
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ADC的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角与内角的关系求出∠B的度数即可． 【解答】解：∵△ABC中，AC=AD，∠DAC=80°，
∴∠ADC==50°，
∵AD=BD，∠ADC=∠B+∠BAD=50°， ∴∠B=∠BAD=（故选C．
）°=25°．
【点评】此题比较简单，考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理．
10．用正三角形、正四边形和正六四边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个．则第n个图案中正三角形的个数为( ) （用含n的代数式表示）．
A．2n+1 B．3n+2 C．4n+2 D．4n﹣2 【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】由题意可知：每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，由此规律得出答案即可．
【解答】解：第一个图案正三角形个数为6=2+4； 第二个图案正三角形个数为2+4+4=2+2×4； 第三个图案正三角形个数为2+2×4+4=2+3×4； …；
第n个图案正三角形个数为2+（n﹣1）×4+4=2+4n=4n+2． 故选：C．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的数字运算规律，得出规律，解决问题．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请把答案填写在相应题目后的横线上）
11．若A（x，3）关于y轴的对称点是B（﹣2，y），则x=2，y=3，点A关于x轴的对称点的坐标是（2，﹣3）．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得x、y的值，再根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得点A关于x轴的对称点的坐标．
【解答】解：∵A（x，3）关于y轴的对称点是B（﹣2，y）， ∴x=2，y=3； ∴A（2，3），
∴点A关于x轴的对称点的坐标是（2，﹣3）， 故答案为：2，3，（2，﹣3）．
【点评】此题主要考查了关于x、y轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12．如图：△ABE≌△ACD，AB=10cm，∠A=60°，∠B=30°，则AD=5 cm，∠ADC=90°．
【考点】全等三角形的性质．
【分析】首先根据全等三角形的性质可得∠C=∠B=30°，AC=AB=10cm，再根据三角形内角
和计算出∠ADC的度数，再根据直角三角形的性质可得AD=AC=5cm． 【解答】解：∵△ABE≌△ACD， ∴∠C=∠B=30°，AC=AB=10cm， ∵∠A=60°，
∴∠ADC=180°﹣60°﹣30°=90°， ∴AD=AC=5cm，
故答案为：5，90°．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，以及三角形内角和定理和直角三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
13．如图，已知线段AB、CD相交于点O，且∠A=∠B，只需补充一个条件AC=BD，则有△AOC≌△BOD．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】补充条件：AC=BD，可利用AAS定理判定△AOC≌△BOD． 【解答】解：补充条件：AC=BD，
∵在△AOC和△DOB中∴△AOC≌△BOD（AAS）． 故答案为：AC=BD．
，
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．如图，△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为18．若AB=5，EF=6，则AC=7．
【考点】全等三角形的性质． 【专题】探究型．
【分析】直接根据全等三角形的对应边相等进行解答即可． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF，AB=5，EF=6， ∴BC=EF=6，
∴AC=18﹣AB﹣BC=18﹣5﹣6=7． 故答案为：7．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，即全等三角形的对应边相等．
15．如图，七星形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可． 【解答】解：由三角形的外角性质得，∠1=∠B+∠F+∠C+∠G， ∠2=∠A+∠D，
由三角形的内角和定理得，∠1+∠2+∠F=180°， 所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°． 故答案为：180°．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
16．如图，小亮从A点出发前10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了240m．
【考点】多边形内角与外角． 【专题】应用题．
【分析】由题意可知小亮所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．
【解答】解：∵小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形， ∴根据外角和定理可知正多边形的边数为n=360°÷15°=24， 则一共走了24×10=240米． 故答案为：240．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数可直接让360°除以一个外角度数即可．
17．将一长方形纸条按如图所示折叠，∠2=55°，则∠1=70°．
【考点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】从折叠图形的性质入手，结合平行线的性质求解．
【解答】解：由折叠图形的性质结合平行线同位角相等可知，2∠2+∠1=180°， ∵∠2=55°， ∴∠1=70°． 故答案为：70°．
【点评】此题考查折叠的性质及平行线的性质，结合图形灵活解决问题． 18．如图，线段AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点P恰好在AC上，且AC=10cm，则B点到P点的距离为5cm．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】连接BP，利用线段垂直平分线的性质可得到AP=BP=PC，根据AC=10cm即可解答．
【解答】解：连接BP，
∵PF是线段BC的垂直平分线，PH是线段AB的垂直平分线， ∴AP=BP=PC， ∵AC=10cm，
∴AP=BP=PC=AC=×10=5cm． 故答案为：5cm．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，根据题意作出辅助线，利用线段垂直平分线的性质求解是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数． 【考点】多边形内角与外角．
【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数． 【解答】解：设这个多边形的边数是n， 依题意得（n﹣2）×180°=3×360°﹣180°， （n﹣2）=6﹣1， n=7．
∴这个多边形的边数是7．
【点评】任何多边形的外角和都是360度，不随边数的变化而变化．
20．如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF． 求证：（1）△ABC≌△DEF； （2）BE=CF．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）欲证两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而AC∥DF可以得出∠ACB=∠F，条件找到，全等可证．
（2）根据全等三角形对应边相等可得BC=EF，都减去一段EC即可得证． 【解答】证明：（1）∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠F，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF，
∴BC﹣CE=EF﹣CE， 即BE=CF． 【点评】本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形的对应边相等；要牢固掌握并灵活运用这些知识．
21．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H．
（1）求证：△BCE≌△ACD； （2）求证：FH∥BD．
【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）先根据△ABC和△CDE都是等边三角形得出BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，再由SAS定理即可得出△BCE≌△ACD；
（2）由（1）知△BCE≌△ACD，可知∠CBF=∠CAH，BC=AC，再由ASA定理可知
△BCF≌△ACH，可得出CF=CH，根据∠FCH=60°，可知△CHF为等边三角形，进而可得出结论．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， ∴在△BCE和△ACD中，
∵，
∴△BCE≌△ACD （SAS）．
（2）由（1）知△BCE≌△ACD， 则∠CBF=∠CAH，BC=AC
又∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上， ∴∠ACH=180°﹣∠ACB﹣∠HCD=60°=∠BCF， 在△BCF和△ACH中， ∵
，
∴△BCF≌△ACH （ASA）， ∴CF=CH，
又∵∠FCH=60°，
∴△CHF为等边三角形 ∴∠FHC=∠HCD=60°， ∴FH∥BD． 【点评】本题考查的是等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．
22．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上． （1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （2）作出△ABC关于y对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
【考点】作图-轴对称变换． 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标即可； （2）根据关于y轴对称的点的坐标特点画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标即可． 【解答】解：（1）如图所示，点C1的坐标（3，﹣2）；
（2）如图2所示，点C2的坐标 （﹣3，2）．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
23．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线． （1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为40，BD=5，则E到BC边的距离为多少．
【考点】三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质． 【分析】（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；
（2）过E作BC边的垂线即可得：E到BC边的距离为EF的长，然后过A作BC边的垂线AG，再根据三角形中位线定理求解即可． 【解答】解：（1）∵∠BED是△ABE的外角， ∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+40°=55°；
（2）过E作BC边的垂线，F为垂足，则EF为所求的E到BC边的距离， 过A作BC边的垂线AG，
∴AD为△ABC的中线，BD=5， ∴BC=2BD=2×5=10， ∵△ABC的面积为40，
∴BC•AG=40，即×10•AG=40，解得AG=8， ∵EF⊥BC于F， ∴EF∥AG，
∵E为AD的中点，
∴EF是△AGD的中位线， ∴EF=AG=×8=4．
∴E到BC边的距离为4．
【点评】本题考查了三角形外角的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式，涉及面较广，但难度适中．添加适当的辅助线是解题的关键．
24．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】探究型． 【分析】（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；
（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性质可得出OE=2DE，同理可得出DE=2EF即可得出结论． 【解答】解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA， ∴DE=CE，OE=OE， ∴Rt△ODE≌Rt△OCE， ∴OD=OC，
∴△DOC是等腰三角形， ∵OE是∠AOB的平分线， ∴OE是CD的垂直平分线；
（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°， ∴∠AOE=∠BOE=30°， ∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°， ∴∠EDF=30°， ∴DE=2EF， ∴OE=4EF．
【点评】本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键． 25．在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF． （1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】几何图形问题；证明题；数形结合． 【分析】（1）由AB=CB，∠ABC=90°，AE=CF，即可利用HL证得Rt△ABE≌Rt△CBF； （2）由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案． 【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°， ∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠CAB=∠ACB=45°，
又∵∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣30°=15°， 由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°．
【点评】此题考查了直角三角形全等的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
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