材料力学习题答案

2.1 试求图各杆1-1、2-2、3-3 截面上的轴力，并作轴力图。

解：(a) F1140302050kN，F22302010kN，F3320kN

(b) F11F，F22FF0，F33F (c) F110，F224F，F334FF3F 轴力图如题2. 1 图( a) 、( b ) 、( c) 所示。

2.2 作用于图示零件上的拉力F=38kN，试问零件内最大拉应力发生在哪个截面上? 并求其值。

解 截面1-1 的面积为

A1502220560mm2

截面2-2 的面积为

A215155022840mm2

因为1-1截面和2-2 截面的轴力大小都为F，1-1截面面积比2-2 截面面积小，故最大拉应力在截面1-1上，其数值为：

maxFNF3810367.9MPa A1A1560

2.9 冷镦机的曲柄滑块机构如图所示。镦压工件时连杆接近水平位置，承受的镦压力F=1100kN。连杆截面是矩形截面，高度与宽度之比为1.4。材料为45钢，许用应力

hb58MPa，试确定截面尺寸h及b。

解 连杆内的轴力等于镦压力F，所以连杆内正应力为F。 AFFh将1.4，

Abhb根据强度条件，应有代入上式，解得

F1100103b0.1164m116.4mm

1.41.458106由1.4，得h162.9mm

所以，截面尺寸应为b116.4mm，h162.9mm。

2.12 在图示简易吊车中，BC为钢杆，AB为木杆。木杆AB的横截面面积

A1100cm2，许用应力17MPa；钢杆

hbBC的横截面面积A16cm2，许用拉应力

2160MPa。试求许可吊重F。

解 B铰链的受力图如图(b)所示，平衡条件为

FFx0， FNBCcos30FNAB0 （1） 0， FNBCsin30F0 （2）

y解（1）、（2）式，得

FNBC2F，FNAB3F (３)

(1) 按照钢杆的强度要求确定许可吊重

钢杆的强度条件为：2由上式和(３)式可得

FFNBC112A2160106610448000N48kN 222FNBC2 A2(2) 按木杆的强度要求确定许可吊重 木杆的强度条件为：1由上式和(３)式可得

FFNAB111A1710610010440415N40.4kN 333FNAB1 A1比较上述求得的两种许可吊重值，可以确定吊车的许可吊重为

F40.4kN。

2.14 某铣床工作台进给油缸如图(a)所示，缸内工作油压p2MPa，油缸内径D= 75mm，活塞杆直径d=18mm。已知活塞杆材料的许用应力50MPa，试校核活塞杆的强度。

解 活塞杆的受力图(b)所示，由平衡条件可得其承受的拉力为：

FNpD2d24

活塞杆的应力：

FNApD2d24pD2d2d221060.07520.01820.0182

d24 32700000Pa32.7MPa与许用应力50MPa比较可知，活塞杆可以安全工作。

2.18 变截面直杆的受力如图(a)所示。已知：

A18cm2，A24cm2，E200GPa。求杆的总伸长

l。

解 杆的轴力图如图(b)所示，各段的伸长分别为：

l1FN1l1Fl，l2N22 EA1EA2则总的伸长为

FN1l1FN2l2201030.2401030.2ll1l294EA1EA2200108102001094104 0.000075m0.075mm

2.20 设图(a)中CG 杆为刚体(即CG 杆的弯曲变形可以忽略)，BC杆为铜杆，DG 杆为钢杆，两杆的横截面面积分别为A1和A2，弹性模量分别为E1和E2。如要求CG杆

始终保持水平位置，试求x。

解 CG杆的受力图如图(b)所示，其平衡条件为

MFyc0， FxFN2l ①

0， FN1FN2F ②

FN1l1Fl，l2N22 E1A1E2A2由拉压胡克定律得二杆的轴向变形为：l1欲使CG 杆始终保持水平状态，必须l1l2，即

FN1l1FN2l2 ③ E1A1E2A2联立①、②、③式，解得：x

ll1E2A2。

l2E1A1l1E2A22.43 在图(a)所示结构中，假设AC梁为刚杆，杆1、2、3的横截面面积相等，材料相同。试求三杆的轴力。

解 杆ABC的受力图如图(b)所示，平衡条件为：

Fy0， FN1FN2FN3F ①

AM0， FN2a2FN3a0 ②

变形的几何关系如图(b)所示，变形协调方程为

l1l32l2 ③

利用胡克定律将③式变为

FN1lFN3l2FN2l ④ EAEAEA联立①、②、④式，解得

FN1511F，FN2F，FN3F 636

2.44 如图(a)所示刚杆AB悬挂于1、2 两杆上，杆1的横截面面积为60mm2，杆2为120mm2，且两杆材料相同。若F=6kN，试求两杆的轴力及支座A的反力。

解 杆1、2的受力图如图(b)

所示，这是个一次超静定问题，可利用的平衡方程只有一个。

MA0， FN11FN22F3 ①

变形协调方程为：

FN12120106Fl1FN1l1EA213N1 ② 64l2EA1FN2l26010FN22FN23解①、②式，得 FN13.6kN，FN27.2kN 由平衡条件：Fy0， FN1FN2FFRAy0 得：FRAy4.8kN。

2.58 图示凸缘联轴节传递的力偶矩为Me=200 N·m，凸缘之间用四只螺栓连接，螺栓内径d10mm，对称地分布在D080mm的圆周上。如螺栓的

剪切许用应力60MPa，试校核螺栓的剪切强度。

解 假设每只螺栓所承受的剪力相同，都为FS。四个螺栓所受剪力对联轴节轴线的力矩之和与联轴节所传递的力偶矩Me平衡，所以有：

Me4FSD0 2因此，每只螺栓所承受的剪力为：

FSMe2001250N1.25kN 2D0280103每只螺栓内的切应力为：

FS4FS4125015900000Pa15.9MPa60MPa Ad20.012所以，螺栓能安全工作。

2.59 一螺栓将拉杆与厚为8mm的两块盖板相连接。各零件材料相同，许用应力为80MPa，

60MPa，bs160MPa。若拉杆的厚度δ

=15mm，拉力F=120 kN，试设计螺栓直径d及拉杆宽度b。

解 (1) 按拉伸强度要求设计拉杆的宽度 拉杆的轴力FNF，其强度条件为：

FNFF AAb解上式，得

120103b0.1m100mm 1510380106F (2) 按剪切强度要求设计螺栓的直径

螺栓所承受的剪力为FSF4F 2A2d2F，应满足剪切强度条件为： 2解上式，得

2120103d0.0357m35.7mm

601062F(3) 按挤压强度要求设计螺栓的直径

① 拉杆挤压强度条件为：

bsFFbs Absd解上式，得

120103d0.05m50mm bs15103160106F② 盖板的挤压强度条件为：

bsF/2F/2Fbs Abs8103d16103d解上式，得

F120103d0.047m47mm 3361610bs161016010比较以上三种结果，取d=50mm，b=100mm。

3.1 作图示各杆的扭矩图。

解 图(a)，分别沿1-1、2-2 截面将杆截开，受力图如图(a1)所示。应用平衡条件可分别求得：

T12Me，T2Me

根据杆各段扭矩值，作出的扭矩图如图(a2)所示。

用同样的方法，可作题图(b)、(c)所示杆的扭矩图，如图(b1)、(c1)所示。

3.8 阶梯形圆轴直径分别为d1=40mm，d2=70mm，轴上装有三个皮带轮，如图(a)所示。已知由轮3输入的功率为P3=30kW，轮1输出的功率为P1=13kW，轴作匀速转动，转速n=200r/min，材料的剪切许用应力

60MPa，G=80GPa，许用扭转角2校核轴的强度和刚度。

解 首先作阶梯轴的扭矩图

Me19549/m。试

P131=9549621Nm n200P30Me395493=95491433Nm

n200阶梯轴的扭矩图如图(b)所示。 (1) 强度校核

AC段最大切应力为：

T1Me162149400000Pa49.4MPa60MPa 3Wt1Wt10.0416AC段的最大工作切应力小于许用切应力，满足强度要求。

CD段的扭矩与AC段的相同，但其直径比AC段的大，所以CD段也满足强度要求。

DB段上最大切应力为：

MT21433e321300000Pa21.3MPa60MPa 3Wt2Wt20.0716故DB段的最大工作切应力小于许用切应力，满足强度要求。 (2) 刚度校核

AC段的最大单位长度扭转角为：

T180GIP621801090.044321801.77/m2/m

DB段的单位长度扭转角为：

T180GIP14331800.435/m2/m 40.078010932综上所述可知，各段均满足强度、刚度要求。

3.11 实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。已知轴的转速n=100r/ min，传递的功率P=7.5kW，材料的许用切应力

=40MPa。试选择实心轴的直径d1和内外径比

值为0.5的空心轴的外径D2。

解 轴所传递的扭矩为

T9549P7.5=9549716Nm n100由实心圆轴的强度条件

maxT16T 3Wtd1可得实心圆轴的直径为：

d1316T3167160.045m45mm 64010空心圆轴的外径为：

D2316T167160.046m46mm 34641401010.53.13 桥式起重机如图所示。若传动轴传递的力偶矩Me=1.08kN·m，材料的许用应力=40MPa，G=80GPa，同时规定0.5/m。试设计轴的直径。

解 由圆轴扭转的强度条件

maxT16Me 3Wtd可确定轴的直径为：

d316Me3161.081030.0516m51.6mm

40106由圆轴扭转的刚度条件

T18032Me180 4GIPGd可确定轴的直径为

32Me1804321.08103180d40.063m63mm 92G80100.5比较两个直径值，取轴的直径d63mm。

3.14 传动轴的转速n=500r/min，主动轮1输入功率P1=368kW，从动轮2、3分别输出功率P2=147kW，P3=221kW。已知=70MPa，1/m，G=80GPa。

(1) 试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。 (2) 若AB和BC两段选用同一直径，试确定直径d。 (3) 主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?

解 首先计算外力偶矩

P3681=95497028Nm7030Nm n500P221Me395493=95494220Nm

n500Me19549应用以上外力偶矩数值，作轴的扭矩图如图(b)所示。 (1) 确定AB段的直径d1和BC段的直径d2 根据强度条件：ABTAB16Me1 Wtd13可确定轴AB段的直径为：

d1316Me131670300.080m80mm 67010TAB18032Me1180 4GIPGd1由刚度条件 可确定轴AB段的直径为：

d1432Me18043270301800.0846m84.6mm 92G80101比较由强度条件和刚度条件计算的AB段的直径值，取d185mm。 根据强度条件确定轴BC段的直径为：

d2316Me231642200.0675m67.5mm

70106根据刚度条件确定BC段的直径为：

d2432Me218043242201800.0745m74.5mm 92G80101比较由强度条件和刚度条件计算的AB段的直径值，取d275mm。

(2) 若AB和BC段选用同一直径，则轴的直径取d185mm。

(3) 主动轮放在两从动轮之间，可使最大扭矩取最小值，所以，这种安排较合理。

4.1 试求图(c)和(f)所示各梁中截面1-1、2-2、3-3上的剪力和弯矩，这些截面无限接近于截面C或截面D。设F 、q、a 均为已知。

解 (c) 截面1-1内力为：

13FS1Fqa2qa， M1Faqa2qa2

22截面2-2内力为：

11FS2Fqa2qa，M2MCFaqa2qa2

22(f) 截面1-1内力为：

1FS1qa， M1qa2

212，FaM2Faqa0 MF0CiR2C215由上式可得：FR2qa2qaqaqa

22截面2-2内力为：

3FS2FR2Fqa，M2MCFa2qa2。

2

4.4 设图(a)、(d)、(h)、(j)和(l)所示各梁的载荷F、q、Me和尺寸a。(1)列出梁的剪力方程和弯矩方程；(2)作剪力图和弯矩图；(3) 确定FSmax及Mmax。

解 (a) 受力如图(a)所示

(1) 列剪力方程和弯矩方程

用假想截面截开，取右段进行研究可得剪力方程和弯矩方程：

2F 0xa FSx0 ax2aF2xa 0xa Mx

Fa ax2a(2) 作剪力图、弯矩图

如题图(a2)所示。 (3) 梁的最大剪力和弯矩

FSMmaxmax2F Fa

(d) 受力如图(d) 所示

(1) 计算支反力FA和FB

由MAFi0可得： 2aFBMeFa0，FBF 由Fiy0可得：FA0 (2) 列剪力方程和弯矩方程 剪力方程为：

F0 0xa SxF ax2a 弯矩方程为：

Mx0 0xa F2ax ax2a (3) 作剪力图、弯矩图

如题图(d2)所示。 (4) 梁的最大剪力和弯矩

FSmaxF MmaxFa

(h) 受力如图(h)所示

(1) 计算支反力FC和FB 由MCFi0可得：

2aFB6FaFa0，FB52F 由Fiy0可得：

F9C6FFFB2F (2) 列剪力方程和弯矩方程 剪力方程为：

F 0xaF7SxF ax2a

252F 2ax3a弯矩方程为：

Fx 0xa MxF27x9a ax2a

52F3ax 2ax3a(3) 作剪力图、弯矩图

如题图(h2)所示。 (4) 梁的最大剪力和弯矩

F7SmaxF 2 Mmax52Fa受力如图(j)所示

(1) 计算支反力FC和FE 由MCFi0可得：

2FE3012.52013010.50由上式可得

FE40kN

由Fiy0可得：

FC2301204040kN

(2) 列剪力方程和弯矩方程

(j)

剪力方程为：

30x 0x1 10 1x2  FS10 2x3 304x 3x4弯矩方程为：

15x2 0x1 10x25 1x2 Mx1510x 2x3 154x2 3x4(3) 作剪力图、弯矩图

如题图(j2)所示。 (4) 梁的最大剪力和弯矩

FSmax30kN M15kNmmax

(l) 受力如图(l)所示

(1) 列剪力方程和弯矩方程

用假想截面截开，取左段进行研究可得剪力方程和弯矩方程：

qx 0xa FSxqa ax2a12qx 0xa 2Mx

3qaxqa2 ax2a2 (2) 作剪力图、弯矩图

如题图(l2)所示。

(3) 梁的最大剪力和弯矩

FSmaxqa 12 Mmaxqa2

5.4 矩形截面悬臂梁如图所示，已知l4m，，q10kN/m，10MPa。b2h3试确定此梁横截面的尺寸。

解 显而易见，梁的最大弯矩发生在固定端截面上

Mmax12ql212104280kNm 梁的强度条件为：M80103W1 6bh2将b2h3代入上式得

18801033231880103h2101060.416m416mm

b2h324163277mm。

5.12 ⊥形截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图(a)所示。若材料的拉伸许用应力t40MPa，压缩许用应力

c160MPa，截面对形心轴zc的惯

性矩Izc10 180cm4，h19.64cm，试计

算该梁的许可载荷F。

M10.8F，M20.6F。解 梁的弯矩图如图(b)所示，弯矩的两个极值分别为：

根据弯曲正应力的强度条件

maxMmaxymax IzC由A截面的强度要求确定许可载荷 由抗拉强度要求得：

6840101018010CF52800N52.8kN 20.8h10.89.6410tIz由抗压强度要求得：

FCIz0.8h2C160106101801081322000N132.2kN 20.815.410由C 截面的强度要求确定许可载荷 由抗拉强度要求得：

FtIz0.6h2C401061018010844100N44.1kN 20.615.410显然C截面的压应力小于A截面同侧的拉应力，不必进行计算。许用载荷为

F44.1kN。

5.16 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图(a)所示。许用拉应力t40MPa，许用压应力c160MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变，但将T形横截面倒置，即翼缘在下成为⊥形，是否合理? 何故?

解 截面的几何性质

yc2031020321.515.8cm

2203121Izc32032035.82203320321.515.86012cm4

1212（组合面积的形心：ycyAii1kkiAi1，平行轴定理：IzIzcAd2）

i作梁的弯矩图如图(b)所示。 根据弯曲正应力的强度条件

maxMmaxymax IzCB截面上的最大拉应力和最大压应力为：

32Mmaxymax20102315.810t23.95106Pa24.0MPat40MPa 8IzC601210Mmaxymax2010315.81026c52.5610Pa52.6MPac160MPa 8IzC601210C截面上的最大拉应力和最大压应力为：

Mmaxymax1010315.81026t26.2810Pa26.3MPat40MPa 8IzC60121032Mmaxymax10102315.810c11.98106Pa12.0MPac160MPa8IzC601210 由此可知， 最大应力小于许用应力，安全。

若截面倒置呈⊥形，则B截面的最大拉应力将增大为：

Mmaxymax2010315.8102t52.56106Pa52.6MPat40MPa 8IzC601210显然，这样抗拉强度不够，因而截面倒置使用不合理。

5.18 试计算在均布载荷作用下，圆截面简支梁内的最大正应力和最大切应力，

并指出它们发生于何处。 解 求支反力FA和FB

FAFB1ql5kN 2剪力和弯矩分别为：

FSxFAqx510xkN，0x1

1MxFAxqx25x5x2kNm，0x1

2画出的简支梁的剪力图和弯矩图如图(b)、(c)所示。

由剪力和弯矩公式可得：

Mmax1.25kNm，FSmax5kN

最大正应力

maxMmax321.25103101860000Pa101.9MPa W0.053最大正应力发生在跨中点处圆截面竖向直径的上、下端点上， 如图(a)所示。

最大切应力 [注：书P152：maxmax4Fs（5-12）] 3R24FSmax451033395000Pa3.4MPa 3R230.0252最大切应力发生在A、B 截面的中性轴上。

5.19 试计算图(a)所示工字钢截面梁内的最大正应力和最大切应力。

解 利用平衡条件求出工字梁的约束反力

FB2021025hN， 4FA1020525kN

并标示在图(b)中，作剪力图和弯矩图，分别如图(c)、(d)所示。No.16工字钢截面的几何性质可查附录三型钢表获得。

Iz1130cm4， Wz141cm3，

IzS13.8cm，d6mm(腹板宽度)

式中，IzS是截面对中性轴的惯性矩与半截面的静矩之比。

最大正应力和最大切应力：

maxMmax20103141800000Pa141.8MPa Wz141106*3FSmaxSz1510max18100000Pa18.1MPa 32bIz61013.810**FSmaxSzFSSzmax：书P151，在中性轴处，切应力最大） bIzbIzmax（注：max

6.10 用叠加法求图(a)、(c)所示各梁截面A的挠度和截面B的转角。EI为已知常数。

解 (a) 图(a)的受力可分解为如图(a1)的受力。

查附录二可得（注：P188：ll/2）

Fl3 wA1，

24EIMel/2Fl3 wA2 2EI8EIMelFl2Fl2 B1A，B2

8EIEIEI2由叠加原理有

Fl3Fl3Fl3 wAwA1wA2 8EI24EI6EI BBB12Fl2Fl29Fl2， 8EIEI8EI(c) 如图(c)、(c1)、(c2)所示。

由图(c)、(c1)可见 wAwAwA

1 2因wAwA，查附录二得wA 2 15ql4 384EI15ql4  所以，wAwA 12768EI由图(c)、(c2)可见 BBB，BB

1 2 2而B 12ql31ql3（这个的根据），所以BB 1。 384EI2384EI这个的根据为补充例题：

1）由梁整体平衡分析

设左端的支反力为FA，右端的支反力为FB，可得

FAql4 FBql42）弯矩方程

qlqM1xxx2 0xl422 Mxql4lxq2lx2 l2xl23）列挠曲线近似微分方程并积分

当0xl12时

d2y1dx2M(x1)EI1qlEI4xq2x2 1dy11ql2q3dxxxC1 1EI86y1EIql3q124x24x4C1xD1 当l2xl时

d2y2dx2M(x2)1EIql4lxq2lx2 2EIdy2ql2qdxEIlx6EIlx3C2 28y2ql24EIlx3q24EIlx4C2lxD2 1） 2） 3） （4）（（（ 4）由边界条件确定积分常数

位移边界条件

x10,x2l,y1(0)0 y2(l)0

光滑连续条件

lllx1x2,1()2()

222lllx1x2,y1()y2()

222代入求解，得

D1D20

ql3C1C2

192EIdy11ql2q3ql3 xxdx1EI86192EI1ql2q3ql31x xxEI86192EIql3l当x时，1。

192EI26. 39 图(a)所示结构中，AB梁为16号工字钢；拉杆BC的截面为圆形，d=10mm。两者均为Q235钢，E=200GPa。试求梁及拉杆内的最大正应力。

解 这是一次超静定问题。解除拉杆对梁的约束，代之以轴力FN，如题6.39 图(b)所示。变形协调条件是梁在均布载荷q和轴力FN的作用下，梁在B点的挠度等于拉杆的伸长，即

wBl

查附录二并应用叠加原理得

ql4FNl3FNl ① 8EI3EIEA 查附录三型钢表得16号工字钢的I1130cm4，W141cm3

把已知数据代入①式得

FN44FN51010344 98988200101130103200101130102001090.0124 解上式得 FN14.5kN

最大弯矩在固定端处（注：用数学方法，求驻点和端点处的函数值比较可得）

Mmaxql2Fl101034214.5103422000Nm22kNm 杆内最大正应力： maxFN14.5103185000000Pa185MPa

A0.01241212梁内最大正应力：max

Mmax22103156000000Pa156MPa 6W14110

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