高考总复习函数的奇偶性习题

高中数学高考总复习函数的奇偶性习题

(附参考答案)

一、选择题

1．(文)下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A．y＝x＋x3(x∈R) B．y＝3x(x∈R)

C．y＝－log2x(x>0，x∈R) 1

D．y＝－(x∈R，x≠0)

x[答案] A

[解析] 首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C，若x＝0在定义域内，则应有f(0)＝0，排除B；又函数在定义域内单调递增，排除D，故选A.

(理)下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A．f(x)＝sinx

B．f(x)＝－|x＋1| 2－x

D．f(x)＝ln

2＋x

1－

C．f(x)＝(ax＋ax)

2[答案] D

2－x1

[解析] y＝sinx与y＝ln为奇函数，而y＝(ax＋a－x)为偶函数，y＝－|x＋1|是非奇

22＋x非偶函数．y＝sinx在[－1,1]上为增函数．故选D.

2．(2010·安徽理，4)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝( )

A．－1 C．－2 [答案] A

[解析] f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1，故选A.

3．(2010·河北唐山)已知f(x)与g(x)分别是定义在R上奇函数与偶函数，若f(x)＋g(x)＝log2(x2＋x＋2)，则f(1)等于( )

1

A．－

2C．1 [答案] B

含详解答案

B．1 D．2

1B. 23D. 2

f1＋g1＝2

[解析] 由条件知，，

f－1＋g－1＝1

∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．

f1＋g1＝21

∴，∴f(1)＝.

2

g1－f1＝1

14．(文)(2010·北京崇文区)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－，当

fx1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝( )

A．4.5 C．0.5 [答案] D

11

[解析] ∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝f(x)，∴f(x)周期为4，∴f(6.5)

fxfx＋2＝f(6.5－8)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝1.5－2＝－0.5.

(理)(2010·山东日照)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋2)＝f(x)，若f(x)在[－1,0]上是减函数，则f(x)在[2,3]上是( )

A．增函数

B．减函数

D．先减后增的函数

B．－4.5 D．－0.5

C．先增后减的函数 [答案] A

[解析] 由f(x＋2)＝f(x)得出周期T＝2， ∵f(x)在[－1,0]上为减函数，

又f(x)为偶函数，∴f(x)在[0,1]上为增函数，从而f(x)在[2,3]上为增函数．

5．(2010·辽宁锦州)已知函数f(x)是定义在区间[－a，a](a>0)上的奇函数，且存在最大值与最小值．若g(x)＝f(x)＋2，则g(x)的最大值与最小值之和为( )

A．0 C．4 [答案] C

[解析] ∵f(x)是定义在[－a，a]上的奇函数，∴f(x)的最大值与最小值之和为0，又g(x)＝f(x)＋2是将f(x)的图象向上平移2个单位得到的，故g(x)的最大值与最小值比f(x)的最大

含详解答案

B．2 D．不能确定

值与最小值都大2，故其和为4.

2⊗x

6．定义两种运算：a⊗b＝a2－b2，a⊕b＝|a－b|，则函数f(x)＝( )

x⊕2－2A．是偶函数 B．是奇函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 [答案] B

[解析] f(x)＝，

|x－2|－2∵x2≤4，∴－2≤x≤2， 又∵x≠0，∴x∈[－2,0)∪(0,2]． 则f(x)＝

4－x2－x

， 4－x2

f(x)＋f(－x)＝0，故选B.

7．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，1

b＝f(log3)，c＝f(0.20.6)，则a、b、c的大小关系是( )

2

A．c[解析] 由题意知f(x)＝f(|x|)．

1

∵log47＝log27>1，|log3|＝log23>log27，0<0.20.6<1，

21

∴|log3|>|log47|>|0.20.6|.

2

又∵f(x)在(－∞，0]上是增函数，且f(x)为偶函数， ∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数． ∴b1＋fx

8．已知函数f(x)满足：f(1)＝2，f(x＋1)＝，则f(2011)等于( )

1－fxA．2

B．－3

B．b含详解答案

1

C．－

2[答案] C

1D. 3

11

[解析] 由条件知，f(2)＝－3，f(3)＝－，f(4)＝，f(5)＝f(1)＝2，故f(x＋4)＝f(x) (x

23∈N*)．

∴f(x)的周期为4， 1

故f(2011)＝f(3)＝－.

2[点评] 严格推证如下： 1＋fx＋11

f(x＋2)＝＝－，

fx1－fx＋1

∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f(x)．即f(x)周期为4. 故f(4k＋x)＝f(x)，(x∈N*，k∈N*)，

2

9．设f(x)＝lg1－x＋a是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是( )



A．(－1,0)

B．(0,1)

D．(－∞，0)∪(1，＋∞)

C．(－∞，0) [答案] A

[解析] ∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，∴a＝－1. x＋1

∴f(x)＝lg，由f(x)<0得

1－xx＋10<<1，∴－12－x

10．(文)(09·全国Ⅱ)函数y＝log2的图象( )

2＋xA．关于原点对称 B．关于直线y＝－x对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称 [答案] A

2－x2－x2－x

[解析] 首先由>0得，－22＋x2＋x2＋x

含详解答案

2＋xlog2＝log21＝0.故f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故选A.

2－x

x

(理)函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的( )

sinx

[答案] C [解析] ∵y＝

x

是偶函数，排除A， sinx

2

>2，排除D， sin2π6

当x＝2时，y＝

ππ当x＝时，y＝＝>1，排除B，故选C.

6π3

sin6二、填空题

sinπx x<01111

－＋f的值为________． 11．(文)已知f(x)＝，则f66fx－1－1 x>0

[答案] －2

115－1－2 [解析] f＝f－1＝f666π5

－－2＝－， ＝sin62

1111ππ1

－＝sin－＝sin＝，∴原式＝－2. f6662

1

(理)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)

2＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________.

[答案] 0

1

[解析] ∵f(x)的图象关于直线x＝对称，

2

含详解答案

11∴f2＋x＝f2－x，对任意x∈R都成立， ∴f(x)＝f(1－x)，又f(x)为奇函数， ∴f(x)＝－f(－x)＝－f(1＋x) ＝f(－1－x)＝f(2＋x)，

∴周期T＝2 ∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝0 1

又f(1)与f(0)关于x＝对称

2∴f(1)＝0 ∴f(3)＝f(5)＝0 填0.

12．(2010·深圳中学)已知函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－fxπ，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式<0的解集是________．

gx

ππ

－，0∪，π [答案] 33

[解析] 依据偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f(x)、g(x)的图象，

fx<0fx>0fx

∵<0，∴，或，观察两函数的图象，其中一个在x轴上方，一个在

gxgx>0gx<0

ππ

x轴下方的，即满足要求，∴－33

13．(文)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝2对称，且当x∈(－2,2)时，f(x)＝－x2＋1.则f(－5)＝________.

[答案] 0

[解析] 由题意知f(－5)＝f(5)＝f(2＋3)＝f(2－3)＝f(－1)＝－(－1)2＋1＝0.

(理)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当－1≤x≤1时，f(x)＝a，当x≥1时，f(x)＝(x＋b)2，则f(－3)＋f(5)＝________.

[答案] 12

[解析] ∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，

含详解答案

∵－1≤x≤1时，f(x)＝a，∴a＝0. ∴f(1)＝(1＋b)2＝0，∴b＝－1.

∴当x≤－1时，－x≥1，f(－x)＝(－x－1)2＝(x＋1)2， ∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－(x＋1)2， －x＋1 x≤－1

∴f(x)＝0 －1≤x≤1

x－1 x≥1

22

∴f(－3)＋f(5)＝－(－3＋1)2＋(5－1)2＝12.

[点评] 求得b＝－1后，可直接由奇函数的性质得f(－3)＋f(5)＝－f(3)＋f(5)＝－(3－1)2

＋(5－1)2＝12.

2x

14．(文)(2010·山东枣庄模拟)若f(x)＝lg1＋x＋a(a∈R)是奇函数，则a＝________.



[答案] －1

2x

[解析] ∵f(x)＝lg1＋x＋a是奇函数，





∴f(－x)＋f(x)＝0恒成立，

－2x2x＋a

＋a 即lg1＋x＋lg1－x2x＋a2x＋a

＝lg＝0.

1＋xx－12x＋a2x＋a

∴1＋xx－1＝1， 

∴(a2＋4a＋3)x2－(a2－1)＝0， ∵上式对定义内的任意x都成立，

2a＋4a＋3＝0∴，∴a＝－1.

2

a－1＝0

[点评] ①可以先将真数通分，再利用f(－x)＝－f(x)恒成立求解，运算过程稍简单些． a＋2x＋a②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．f(x)＝lg为奇函1＋x

含详解答案

数，显然x＝－1不在f(x)的定义域内，故x＝1也不在f(x)的定义域内，令x＝－得a＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力．

a

＝1，a＋2

a

(理)(2010·吉林长春质检)已知函数f(x)＝lg－1＋2＋x为奇函数，则使不等式f(x)<－1



成立的x的取值范围是________．

[答案]

18

a－1＋a

[解析] ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0恒成立，∴lg－1＋＋lg 2－x2＋x

－1＋a－1＋a＝lg＝0， 2－x2＋x－1＋a－1＋a∴＝1， 2－x2＋x

∵a≠0，∴2＝0，∴a＝4，

x－42－x－1＋4

∴f(x)＝lg＝lg，

2＋xx＋22－x

由f(x)<－1得，lg<－1，

2＋x

2－x12－x∴0<<，由>0得，－22＋x102＋x2－x11818由<得，x<－2或x>，∴11112＋x10三、解答题

15．(2010·杭州外国语学校)已知f(x)＝x2＋bx＋c为偶函数，曲线y＝f(x)过点(2,5)，g(x)＝(x＋a)f(x)．

(1)若曲线y＝g(x)有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；

(2)若当x＝－1时函数y＝g(x)取得极值，且方程g(x)＋b＝0有三个不同的实数解，求实数b的取值范围．

[解析] (1)由f(x)为偶函数知b＝0， 又f(2)＝5，得c＝1，∴f(x)＝x2＋1.

4－a

含详解答案

∴g(x)＝(x＋a)(x2＋1)＝x3＋ax2＋x＋a， 因为曲线y＝g(x)有斜率为0的切线， 所以g′(x)＝3x2＋2ax＋1＝0有实数解． ∴Δ＝4a2－12≥0，解得a≥3或a≤－3. (2)由题意得g′(－1)＝0，得a＝2. ∴g(x)＝x3＋2x2＋x＋2，

g′(x)＝3x2＋4x＋1＝(3x＋1)(x＋1)． 1

令g′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝－.

3

11

∵当x∈(－∞，－1)时，g′(x)>0，当x∈(－1，－)时，g′(x)<0，当x∈(－，＋∞)

33时，g′(x)>0，

1

∴g(x)在x＝－1处取得极大值，在x＝－处取得极小值．

3

15050

又∵g(－1)＝2，g(－)＝，且方程g(x)＋b＝0即g(x)＝－b有三个不同的实数解，∴

32727<－b<2，

50

解得－216．(2010·揭阳模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.

(1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．

[分析] 由f(x＋2)＝－f(x)可得f(x＋4)与f(x)关系，由f(x)为奇函数及在(0,2]上解析式可求f(x)在[－2,0]上的解析式，进而可得f(x)在[2,4]上的解析式．

[解析] (1)∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数．

(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得 f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，

含详解答案

又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2， ∴f(x)＝x2＋2x.

又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]， ∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(x)＝f(x－4) ＝x2－6x＋8.

从而求得x∈[2,4]时， f(x)＝x2－6x＋8.

(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝0. 17．(文)已知函数f(x)＝1－(1)求a的值； (2)求函数f(x)的值域；

(3)当x∈(0,1]时，tf(x)≥2x－2恒成立，求实数t的取值范围．

[解析] (1)∵f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f(－x)＝－f(x)恒成立，∴f(0)＝0. 即1－

4

＝0，

2×a0＋a

4

(a>0且a≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数． 2a＋a

x

解得a＝2.

2x－11＋y

x

(2)∵y＝x，∴2＝，

2＋11－y1＋y

由2>0知>0，

1－y

x

∴－1含详解答案