一．选择题（共12小题） 1．数2020的相反数是（ ） A．
B．﹣
C．2020
D．﹣2020
2．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近，实现了人类首次在月球背面软着陆．数字177.6用科学记数法表示为（ ） A．0.1776×103
B．1.776×102
C．1.776×103
D．17.76×102
4．如图，AB∥CD，∠C＝80°，∠CAD＝60°，则∠BAD的度数等于（ ）
A．60°
B．50°
C．45°
D．40°
5．为调查某校1500名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行调查，并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图．根据统计图提供的信息，可估算出该校喜爱体育节目的学生共有（ ）
A．1200名
B．450名
C．400名
D．300名
6．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知双曲线y＝上有一点A，过A作AB垂直x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积为（ ）
A．1 8．化简A．x﹣2
+
B．2 的结果是（ ）
B．
C．
D．
C．4
D．8
9．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到相应的△ADE，若点D恰在线段BC的延长线上，则下列选项中错误的是（ ）
A．∠BAD＝∠CAE B．∠ACB＝120°
C．∠ABC＝45°
D．∠CDE＝90°
10．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A．k＞且k≠2
B．k≥且k≠2
C．k＞且k≠2
D．k≥且k≠2
11．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角45°的传送带AB，调整为坡度i＝1：4
的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是
米，那么新传送带AC的长是（ ）
A．8米
B．4米
C．6米
D．3米
12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanA＝．点P是斜边AB上一个动点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题）
13．分解因式：2x2+4x+2＝ ．
14．如图，添加一个条件： ，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）
15．某中学足球队的18名队员的年龄情况如下表：
年龄（岁） 人数
14 3
15 6
16 4
17 4
18 1
则这些队员年龄的众数和中位数分别是 ．
16．如图，已知菱形ABCD的面积为6cm2，BD的长为4cm，则AC的长为 cm．
17．将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则平移后所得新抛物线的表达式为 ．
18．在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°．M为BC的中点，则PM的最小值为 ．
三．解答题（共9小题） 19．计算：
÷
+|﹣4|﹣2cos30°．
，并写出它的所有整数解．
20．解不等式组
21．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：BC∥EF．
22．某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？
23．小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．如图折线OAB和线段CD分别表示小泽和小帅离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）小帅的骑车速度为 千米/小时；点C的坐标为 ； （2）求线段AB对应的函数表达式；
（3）当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有多远？
24．某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．
（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣10经过点A（12，0）和B（a，﹣5），双曲线y＝
经过点B．
（1）求直线y＝kx﹣10和双曲线y＝的函数表达式；
（2）点C从点A出发，沿过点A与y轴平行的直线向下运动，速度为每秒1个单位长度，点C的运动时间为t（0＜t＜12），连接BC，作BD⊥BC交x轴于点D，连接CD， ①当点C在双曲线上时，t的值为 ；
②在0＜t＜6范围内，∠BCD的大小如果发生变化，求tan∠BCD的变化范围；如果不发生变化，求tan∠BCD的值．
③当DC＝时，请直接写出t的值．
26．如图11，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA＝8，OC＝4，点P为对角线AC上一动点，过点P作PQ⊥PB，PQ交x轴于点Q． （1）tan∠ACB＝ ；
（2）在点P从点C运动到点A的过程中，变化范围；如果不变，请求出其值；
（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为 ．
的值是否发生变化？如果变化，请求出其
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，D（4﹣4
，0）．动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位
长度的速度向点B移动，同时动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动． （1）求该抛物线的解析式；
（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；
（3）在第一象限的抛物线上取一点G，使得S△GCB＝S△GCA，再在抛物线上找点E（不与点A、B、C重合），使得∠GBE＝45°，求E点的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题） 1．数2020的相反数是（ ） A．
B．﹣
C．2020
D．﹣2020
【分析】直接利用相反数的定义得出答案． 【解答】解：2020的相反数是：﹣2020． 故选：D．
2．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形． 故选：B．
3．2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近，实现了人类首次在月球背面软着陆．数字177.6用科学记数法表示为（ ） A．0.1776×103
B．1.776×102
C．1.776×103
D．17.76×102
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：177.6＝1.776×102． 故选：B．
4．如图，AB∥CD，∠C＝80°，∠CAD＝60°，则∠BAD的度数等于（ ）
A．60°
B．50°
C．45°
D．40°
【分析】根据三角形的内角和为180°，即可求出∠D的度数，再根据两直线平行，内错
角相等即可知道∠BAD的度数．
【解答】解：∵∠C＝80°，∠CAD＝60°， ∴∠D＝180°﹣80°﹣60°＝40°， ∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠D＝40°． 故选：D．
5．为调查某校1500名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行调查，并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图．根据统计图提供的信息，可估算出该校喜爱体育节目的学生共有（ ）
A．1200名
B．450名
C．400名
D．300名
【分析】先求出喜爱体育节目的学生占总人数百分比，再乘以总人数即可．
【解答】解；∵喜爱体育节目的学生占1﹣10%﹣5%﹣35%﹣30%＝20%，该校共1500名学生，
∴该校喜爱体育节目的学生共有1500×20%＝300（名）， 故选：D．
6．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解即可． 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：A．
7．如图，已知双曲线y＝上有一点A，过A作AB垂直x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【分析】直接根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义求解． 【解答】解：根据题意得△OAB的面积＝×|4|＝2． 故选：B． 8．化简A．x﹣2
+
的结果是（ ）
B．
C．
D．
【分析】先把分母因式分解，再进行通分，然后分母不变，分子相加，最后约分即可． 【解答】解：故选：C．
9．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到相应的△ADE，若点D恰在线段BC的延长线上，则下列选项中错误的是（ ）
+
＝
+
＝
＝
；
A．∠BAD＝∠CAE B．∠ACB＝120°
C．∠ABC＝45°
D．∠CDE＝90°
【分析】根据旋转的性质和等腰直角三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到相应的△ADE， ∴∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE， ∴∠ABC＝∠ADB＝45°， ∴∠ADE＝45°，
∴∠CDE＝90°， 得不到∠ACB＝120°， 故A，C，D正确，B错误， 故选：B．
10．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A．k＞且k≠2
B．k≥且k≠2
C．k＞且k≠2
D．k≥且k≠2
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣2≠0且△＝（2k+1）2﹣4（k﹣2）2＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k﹣2≠0且△＝（2k+1）2﹣4（k﹣2）2＞0， 解得：k＞且k≠2． 故选：C．
11．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角45°的传送带AB，调整为坡度i＝1：4
的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是
米，那么新传送带AC的长是（ ）
A．8米
B．4米
C．6米
D．3米
【分析】根据题意首先得出AD，BD的长，再利用坡角的定义得出DC的长，再结合勾股定理得出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥CB延长线于点D， ∵∠ABD＝45°， ∴AD＝BD， ∵AB＝4
，
×
＝4，
∴AD＝BD＝ABsin45°＝4∵坡度i＝1：
，
∴则DC＝4故AC＝故选：A．
，
，
＝8（m）．
12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanA＝．点P是斜边AB上一个动点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可． 【解答】解：当点Q在AC上时， ∵tanA＝，AP＝x， ∴PQ＝x，
∴y＝×AP×PQ＝×x×x＝x2； 当点Q在BC上时，如下图所示：
∵AP＝x，AB＝10，tanA＝， ∴BP＝10﹣x，PQ＝2BP＝20﹣2x，
∴y＝•AP•PQ＝×x×（20﹣2x）＝﹣x2+10x，
∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．并且当Q点在C时，x＝8，y＝16． 故选：B．
二．填空题（共6小题）
13．分解因式：2x2+4x+2＝ 2（x+1）2 ．
【分析】先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2． 【解答】解：2x2+4x+2 ＝2（x2+2x+1） ＝2（x+1）2． 故答案为：2（x+1）2．
14．如图，添加一个条件： ∠ADE＝∠ACB ，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）
【分析】相似三角形的判定有三种方法：
①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； ③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 由此可得出可添加的条件．
【解答】解：由题意得，∠A＝∠A（公共角），
则可添加：∠ADE＝∠ACB，利用两角法可判定△ADE∽△ACB．
故答案可为：∠ADE＝∠ACB（答案不唯一）． 15．某中学足球队的18名队员的年龄情况如下表：
年龄（岁） 人数
14 3
15 6
16 4
17 4
18 1
则这些队员年龄的众数和中位数分别是 15，15.5 ． 【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：这组数据按从小到大顺序排列为：14，14，14，15，15，15，15，15，15，16，16，16，16，17，17，17，17，18， 则众数为：15，
中位数为：（15+16）÷2＝15.5． 故答案为：15，15.5．
16．如图，已知菱形ABCD的面积为6cm2，BD的长为4cm，则AC的长为 3 cm．
【分析】利用菱形的性质，菱形面积等于对角线乘积的一半，进而得出AC的长； 【解答】解：∵菱形ABCD的面积为6cm2，BD的长为4cm， ∴×4×AC＝6， 解得：AC＝3， 故答案为：3．
17．将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则平移后所得新抛物线的表达式为 y＝（x+2）2﹣5 ．
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可． 【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），
先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5）， 所以，平移后的抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣5． 故答案为y＝（x+2）2﹣5．
18．在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°．M为BC的中点，则PM的最小值为
．
【分析】如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E．则四边形CEHO是矩形，OH＝CE＝4，由△AHB∽△CEA，得
＝
，推出＝
，推出AE＝2BH，设BH＝x则AE＝2x，
），可得PM＝
推出B（0，4﹣x），C（2+2x，0），由BM＝CM，推出M（1+x，＝
，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E．则四边形CEHO是矩形，OH＝CE＝4，
∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°， ∴∠ABH＝∠EAC， ∴△AHB∽△CEA， ∴
＝
， ，
∴＝
∴AE＝2BH，设BH＝x则AE＝2x， ∴OC＝HE＝2+2x，OB＝4﹣x， ∴B（0，4﹣x），C（2+2x，0） ∵BM＝CM，
∴M（1+x，∴PM＝
），∵P（1，0），
＝
， ．
∴x＝时，PM有最小值，最小值为故答案为
．
三．解答题（共9小题） 19．计算：
÷
+|﹣4|﹣2cos30°．
【分析】原式利用二次根式除法，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【解答】解：原式＝
+4﹣2×
＝4．
20．解不等式组，并写出它的所有整数解．
【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案． 【解答】解：
∵解不等式①得：x＜2， 解不等式②得：x＞﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1＜x＜2， ∴不等式组的所有整数解为0，1．
21．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：BC∥EF．
，
【分析】根据已知条件得出△ACB≌△DEF，即可得出∠ACB＝∠DFE，再根据内错角相等两直线平行，即可证明BC∥EF． 【解答】证明：∵AF＝DC， ∴AC＝DF，
又∵AB＝DE，∠A＝∠D， ∴△ACB≌△DEF， ∴∠ACB＝∠DFE， ∴BC∥EF．
22．某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？ 【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题． 【解答】解：设银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为1.5x元，
，
解得，x＝120，
经检验x＝120是原分式方程的解， ∴1.5x＝180，
答：银杏树和玉兰树的单价各是120元、180元．
23．小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．如图折线OAB和线段CD分别表示小泽和小帅离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）小帅的骑车速度为 16 千米/小时；点C的坐标为 （0.5，0） ； （2）求线段AB对应的函数表达式；
（3）当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有多远？
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得小帅的骑车速度和点C的坐标； （2）根据函数图象中的数据可以求得线段AB对应的函数表达式；
（3）将x＝2代入（2）中的函数解析式求出相应的y的值，再用24减去此时的y值即可求得当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离．
【解答】解：（1）由图可得，
小帅的骑车速度是：（24﹣8）÷（2﹣1）＝16千米/小时， 点C的横坐标为：1﹣8÷16＝0.5， ∴点C的坐标为（0.5，0）， 故答案为：16千米/小时，（0.5，0）；
（2）设线段AB对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， ∵A（0.5，8），B（2.5，24）， ∴解得：
， ，
∴线段AB对应的函数表达式为y＝8x+4（0.5≤x≤2.5）； （3）当x＝2时，y＝8×2+4＝20，
∴此时小泽距离乙地的距离为：24﹣20＝4（千米）， 答：当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有4千米．
24．某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．
（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）．
【分析】（1）根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学生总数即可；
（2）求出“互助”与“进取”的学生数，补全条形统计图，求出“进取”占的圆心角度数即可；
（3）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到“C”与“E”的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）56÷20%＝280（名）， 答：这次调查的学生共有280名；
（2）280×15%＝42（名），280﹣42﹣56﹣28﹣70＝84（名）， 补全条形统计图，如图所示，
根据题意得：84÷280＝30%，360°×30%＝108°， 答：“进取”所对应的圆心角是108°；
（3）由（2）中调查结果知：学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为： A B C D E
A （B，A）
B
C
D
E
（A，B） （A，C） （A，D） （A，E）
（B，C） （B，D） （B，E）
（C，D） （C，E）
（D，E）
（C，A） （C，B）
（D，A） （D，B） （D，C）
（E，A） （E，B） （E，C） （E，D）
用树状图为：
共20种情况，恰好选到“C”和“E”有2种， ∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是
．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣10经过点A（12，0）和B（a，﹣5），双曲线y＝
经过点B．
（1）求直线y＝kx﹣10和双曲线y＝的函数表达式；
（2）点C从点A出发，沿过点A与y轴平行的直线向下运动，速度为每秒1个单位长度，点C的运动时间为t（0＜t＜12），连接BC，作BD⊥BC交x轴于点D，连接CD， ①当点C在双曲线上时，t的值为
；
②在0＜t＜6范围内，∠BCD的大小如果发生变化，求tan∠BCD的变化范围；如果不发生变化，求tan∠BCD的值． ③当DC＝
时，请直接写出t的值．
【分析】（1）理由待定系数法即可解决问题； （2）①求出点C坐标即可解决问题；
②如图1中，设直线AB交y轴于M，则M（0，﹣10），A（12，0），取CD的中点K，连接AK、BK．证明A、D、B、C四点共圆，可得∠DCB＝∠DAB，推出tan∠DCB＝tan∠DAB＝
，即可解决问题；
③分两种情形分别构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）∵直线y＝kx﹣10经过点A（12，0）和B（a，﹣5）， ∴12k﹣10＝0， ∴k＝， ∴y＝x﹣10， ∴﹣5＝a﹣10， ∴a＝6， ∴B（6，﹣5）， ∵双曲线y＝∴m＝﹣30，
∴双曲线解析式为y＝﹣
（2）①∵AC∥y轴， ∴点C的横坐标为12， y＝﹣
＝﹣，
． 经过点B，
∴C（12，﹣）， ∴AC＝，
∴点C在双曲线上时，t的值为． 故答案为．
②当0＜t＜6时，点D在线段OA上，∠BCD的大小不变．
理由：如图1中，设直线AB交y轴于M，则M（0，﹣10），A（12，0），取CD的中点K，连接AK、BK．
∵∠CBD＝∠DAC＝90°，DK＝KC， ∴BK＝AK＝CD＝DK＝KC， ∴A、D、B、C四点共圆， ∴∠DCB＝∠DAB， ∴tan∠DCB＝tan∠DAB＝
③如图2中，当t＜5时，作BM⊥OA于M，CN⊥BM于N．
＝
＝．
则△CNB∽△BMD， ∴
＝
， ，
∴＝
∴DM＝（5﹣t）， ∴AD＝6+（5﹣t），
∵DC＝，
）2，
∴[6+（5﹣t）]2+t2＝（解得t＝或
（舍弃）．
当t＞5时，同法可得：[6﹣（t﹣5）]2+t2＝（解得t＝
或（舍弃），
s．
）2，
综上所述，满足条件的t的值为t＝或
26．如图11，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA＝8，OC＝4，点P为对角线AC上一动点，过点P作PQ⊥PB，PQ交x轴于点Q． （1）tan∠ACB＝
；
的值是否发生变化？如果变化，请求出其
（2）在点P从点C运动到点A的过程中，变化范围；如果不变，请求出其值；
（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为 ．
【分析】（1）根据矩形的性质求出∠ABC＝90°，BC＝OA＝8，AB＝OC＝4，最后用锐角三角函数的定义即可得出结论；
（2）设出PE＝a，利用锐角三角函数得出CE＝2a，得出BE＝2（4﹣2a），再判断出△BEP∽△PFQ，进而得出FQ，即可得出结论；
（3）根据折叠的性质，判断出BQ⊥AC，AD＝PD＝AP，再用勾股定理求出AC，判断出△ABC∽△ADB，得出AD，进而求出AP，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形， ∴∠ABC＝90°，BC＝OA＝8，AB＝OC＝4， 在Rt△ABC中，tan∠ACB＝
＝，
故答案为：； （2）
的值不发生变化，其值为，
理由：如图，
过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E， ∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形， ∴EF＝OC＝4，
设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝4﹣a， 在Rt△CEP中，tan∠ACB＝∴CE＝2PE＝2a，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣2a＝2（4﹣a）， ∵PQ⊥PB，
∴∠BPE+∠FPQ＝90°， ∵∠BPE+∠PBE＝90°， ∴∠FPQ＝∠EBP， ∵∠BEP＝∠PFQ＝90°， ∴△BEP∽△PFQ， ∴∴
∴FQ＝a，
＝
， ，
＝，
∴
＝＝；
（3）如备用图，
∵将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合， ∴BQ⊥AC，AD＝PD＝AP，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝8，根据勾股定理得，AC＝
＝4
，
∵∠BAC＝∠DAB，∠ADB＝∠ABC＝90°， ∴△ABC∽△ADB， ∴∴∴AD＝
， ， ，
﹣2×
＝
，
∴PC＝AC﹣AP＝AC﹣2AD＝4故答案为：
．
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，D（4﹣4
，0）．动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位
长度的速度向点B移动，同时动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动． （1）求该抛物线的解析式；
（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；
（3）在第一象限的抛物线上取一点G，使得S△GCB＝S△GCA，再在抛物线上找点E（不与点A、B、C重合），使得∠GBE＝45°，求E点的坐标．
【分析】（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式得出即可； （2）首先求出△AQD∽△ACB，则
，得出DQ＝DP的长，进而得出答案；
（3）首先得出G点坐标，进而得出△BGM∽△BEN，进而假设出E点坐标，利用相似三角形的性质得出E点坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+4得：
，
解得：，
故抛物线的解析式为：
（2）如图，连接QD， 由B（4，0）和D（可得BD＝∵
∴CO＝4， ∴BC＝4
，则BC＝BD，
，
，
，0），
；
∴∠BDC＝∠BCD＝∠QDC， ∴DQ∥BC， ∴△AQD∽△ACB， ∴
，
∴∴DQ＝
， ＝DP，
＝
；
（3）如图，过点G作GM⊥BC于点M，过点E作EN⊥AB于点N， ∵S△GCB＝S△GCA，
∴只有CG∥AB时，G点才符合题意， ∵C（0，4）， ∴4＝﹣x2+x+4， 解得：x1＝1，x2＝0， ∴G（1，4），
∵∠GBE＝∠OBC＝45°， ∴∠GBC＝∠ABE， ∴△BGM∽△BEN， ∴设E（x，
，
）
∴解得则E（
，
＝
，x2＝4（舍去）， ）．
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