二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧

郑燕，王俊霞

太原师范学院数学系，山西晋中，030619

摘要：本文总结介绍了三类二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧，分别是：特征根法；常数变易法；比较系数法.同时结合例题进行具体讲解.虽然当今社会关于二阶常微分方程初等解法求解技巧的研究已经获得了很大的成就，但它的已有理论仍然得不到求知者的满足，需要大家进一步发展，使之更加完善.

关键词：二阶常系数齐次线性微分方程；特征根法；常数变易法；比较系数法；二阶常系数非齐次线性微分方程. 1.预备知识

𝑑2𝑥𝑑𝑡2

+𝑎1(𝑡)

𝑑𝑥𝑑𝑡

+𝑎2(𝑡)𝑥=𝑓(𝑡) (1.1)

其中𝑎𝑖(𝑡)(𝑖=1,2)以及f(t)都是连续函数并且区间是a≤t≤b. 如果𝑓(𝑡)≡0,则方程（1）就变成了

𝑑𝑡2+𝑎1(𝑡)𝑑𝑡+𝑎2(𝑡)𝑥=0 （1.2）

我们形如方程（1.2）的方程叫做二阶齐次线性微分方程，把方程（1.1）叫做二阶非齐次线性微分方程.并且把方程(1.1)叫做方程（1.2）对应的齐次线性微分方程.

𝑑2𝑥

𝑑𝑥

2.求解方法技巧 2.1常数变易法

常数变易法是将常数𝐶看作是𝑡的待定函数𝐶(𝑡)，然后求出非齐次线性方程的通解. 求解过程如下：

设𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡)是方程（1.2）的基本解组，则

𝑥=𝑥1(𝑡)+ 𝑐2𝑥2(𝑡) （2.1.1） 是方程（1.2）的通解.将常数𝐶𝑖看作是t的待定函数𝐶𝑖(𝑡)(𝑖=1,2),那么方程（2.1.1）就变成 𝑥=𝑐1(𝑡)𝑥1(𝑡)+𝑐2(𝑡)𝑥2(𝑡) （2.1.2） 求𝑥关于𝑡的一阶导数得

𝑥′=𝑐1′(𝑡)𝑥1(𝑡)+𝑐1(𝑡)𝑥1′(𝑡)+𝑐2′(𝑡)𝑥2(𝑡)+𝑐2(𝑡)𝑥2′(𝑡) 令𝑐1′(𝑡)𝑥1(𝑡)+𝑐2′(𝑡)𝑥2(𝑡)=0 （2.1.3） 得到𝑥′=𝑐1(𝑡)𝑥1′(𝑡)+ 𝑐2(𝑡)𝑥2′(𝑡) （2.1.4） 再求𝑥关于𝑡的二阶导数得

𝑥′′=𝑐1′(𝑡)𝑥1′(𝑡)+ 𝑐1(𝑡)𝑥1′′(𝑡)+ 𝑐2(𝑡)𝑥2′′(𝑡)+ 𝑐2′(𝑡)𝑥2′(𝑡) (2.1.5) 把方程（2.1.4）、（2.1.5）带入到方程(1.1)中可得到

2.2特征根法

设方程（1.1）中𝑎1、𝑎2都是常数，即

𝑑2𝑥

L[x]≡

+𝑎1𝑑𝑡+𝑎2x=0, （2.2.1） 𝑑𝑡2𝑑𝑥

我们把上式叫做二阶常系数齐次线性微分方程.

1

接着我们要求解方程（2.2.1）.那么方程（2.2.1）的通解是关键所在，我们只需要求出它的基本解组.下面是特征根法的具体介绍.

由一阶常系数齐次微分方程

𝑑𝑥

+𝑎𝑥=0， 𝑑𝑡

的通解是

x=c𝑒−𝑎𝑡,

由此可以猜测二阶常数齐次微分方程有指数形式的解 𝑥=𝑒𝜆𝑡,

L[𝑒𝜆𝑡]≡

𝑑2𝑒𝜆𝑡𝑑𝑡2

+𝑎1

𝑑𝑒𝜆𝑡𝑑𝑡

+𝑎2𝑒𝜆𝑡 =(𝜆2+𝑎1𝜆+𝑎2) 𝑒𝜆𝑡 ≡F(𝜆) 𝑒𝜆𝑡,

所以F(𝜆)= 𝜆2+𝑎1𝜆+𝑎2是λ的二次多项式.所以上式是方程（2.2.1）的解得重要条件是

F(𝜆)= 𝜆2+𝑎1𝜆+𝑎2=0 （2.2.2）

问题转化为求解方程（2.2.2）的解𝜆. 下面就𝜆的不同形式进行讨论.

2.2.1特征根是两个实根

设特征方程（2.2.2）有两个不相等的实根λ1，λ2,所以该方程有如下两解：𝑒𝜆1𝑡 ,𝑒𝜆2𝑡. 我们指出这两个解在atb上线性无关,于是它们就组成了方程的基本解组.事实上,这时 𝑒𝜆1𝑡

W（t）=|𝜆1𝑡

𝜆1𝑒

𝑒𝜆2𝑡

| 𝜆2𝑒𝜆2𝑡

1

| 𝜆2

1

=𝑒(𝜆1+𝜆2) |

𝜆1

=𝑒(𝜆1+𝜆2)(𝜆2−𝜆1), ≠0,

所以𝑒𝜆1𝑡 , 𝑒𝜆2𝑡线性无关,上式得证. 所以此方程的通解可表示为

x=𝑐1𝑒𝜆1𝑡+𝑐2 𝑒𝜆2𝑡（其中𝑐1,𝑐2为任意实数）.

假设特征方程有复根,那么复根将成对共轭出现.设其中的一个特征根是𝜆1=𝛼+𝑖𝛽,那么另一个特征根是𝜆2=𝛼−𝑖𝛽,所以方程有两个复值解

𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑡=𝑒𝛼𝑡(𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡+𝑖𝑠𝑖𝑛𝛽𝑡), 𝑒(𝛼−𝑖𝛽)𝑡=𝑒𝛼𝑡(𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡−𝑖𝑠𝑖𝑛𝛽𝑡). 所以,我们可求的方程（2.2.1）的两个实值解是

𝑒𝛼𝑡𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡 ,𝑒𝛼𝑡𝑠𝑖𝑛𝛽𝑡 .

2.2.2特征根有重根

若特征方程(2.2.2)有两个相等的实根𝜆1=𝜆2，此时𝑎12−4𝑎22＝0，即 有𝜆=-21，于是方程(2.2.2)有一个特解x=𝑒𝜆1𝑡，所以方程的另一个特解是 𝑥2=u𝑥1=u𝑒𝜆1𝑡

其中u＝u(t)为待定函数， 对𝑥2求一阶，二阶导数得

2

𝑎

𝑑𝑥2𝑑𝑡

=

𝑑𝑢𝑑𝑡

𝑒𝜆1𝑡+𝜆2𝑢𝑒𝜆1𝑡=(𝑑𝑢

𝑑𝑢𝑑𝑡

+𝜆2𝑢) 𝑒𝜆1𝑡，

𝑑2𝑥2𝑑𝑡2

=(𝑑𝑡2+2𝜆1𝑑𝑡+𝜆12𝑢) 𝑒𝜆1𝑡，

𝑑2𝑢

𝑑2𝑢

将它们代入方程(2.2.2)得

(𝑑𝑡2+2𝜆1𝑑𝑡+𝜆12𝑢) 𝑒𝜆1𝑡 ＋𝑎1(𝑑𝑡+𝜆2𝑢) 𝑒𝜆1𝑡＋𝑎2𝑢𝑒𝜆1𝑡＝0， 整理得[𝑑𝑡2+(2𝜆1+𝑎1)𝑑𝑡+(𝜆12+𝑎1𝜆1+𝑎2)u] 𝑒𝜆1𝑡=0，

因为𝑒𝜆1𝑡≠0并且λ1是特征方程的根，所以𝜆12+𝑎1𝜆1+𝑎2=0，有因为𝜆1=−21所以有2𝜆1+𝑎1=0，那么上式变成

𝑑2𝑢𝑑𝑡2𝑑2𝑢𝑑𝑡2

𝑎

𝑑2𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑢

=0，

=0的函数很多，我们取其中最简单的一个𝑢(𝑡)=𝑡,

显然满足

则𝑥2=𝑡𝑒𝜆𝑡是方程（2.2.1）的另一个解，并且𝑥1、𝑥2是两个线性无关的函数， 所以方程(2.2.1)的通解是 x=(𝑐1+𝑐2𝑥)𝑒𝜆1𝑡.

2.2.3 解得表

𝜆1、𝜆2的情形 两个不相等的实根（𝜆1≠𝜆2） 两个相等实根（𝜆1=𝜆2） 一对共轭复根 𝜆1=𝛼+𝑖𝛽、𝜆2=𝛼−𝑖𝛽 方程（2.2.1）的通解 x=𝑐1𝑒𝜆1𝑡+ 𝑐2𝑒𝜆2𝑡 x=(𝑐1+𝑐2𝑥)𝑒𝜆1𝑡 x=𝑒𝛼𝑡(𝑐1𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡+𝑐2𝑠𝑖𝑛𝛽𝑡) 表1 2.3比较系数法

比较系数法中函数f(t)可以分为两个类型，这个方法是通过代数的方法来求得非齐次线性微分方程的特解，然后特解加上齐次线性微分方程的通解就是最后的通解.

2.3.1 f(t)=(𝑏0t+𝑏1)𝑒𝜆𝑡

函数f(t)=(𝑏0t+𝑏1)𝑒𝜆𝑡，其中𝜆，𝑏0, 𝑏1是确定的常数. 当方程

𝑑2𝑥𝑑𝑡

𝑑𝑥

+𝑎1𝑑𝑡+𝑎2x=f(t)有形如 2𝑥̃=𝑡𝑘(At+B) 𝑒𝜆𝑡 的特解.其中A，B是未知的常数，k是由特征方程F（𝜆）=0来决定.若𝜆是特征根，则k=1；若𝜆不是特征根，则k=0.

⑴𝜆=0，f(t)=𝑏0t+𝑏1

̃=At+B.把①当𝜆=0不是特征根时，即F（0）不等于0，所以𝑎2也不等于0，所以方程的特解为𝑥

特解带入非齐次线性方程中就可以得到

𝑎1𝐴+𝑎2(𝐴𝑡+𝐵)= 𝑏0t+𝑏1, 由此可以得到 𝑎𝐴+𝑎2𝐵=𝑏1

{1,

𝑎2𝐴=𝑏0

3

可以求出A,B的值，求出特解.

̃=t(At+B).把特解带②当𝜆=0是特征根时，即F（0）等于0，所以𝑎2等于0，所以方程的特解为𝑥

入非齐次线性方程中就可以得到

2A+𝑎1(2𝐴𝑡+𝐵)= 𝑏0t+𝑏1 , 由此可以得到

2𝐴+𝑎1𝐵=𝑏1{, 2𝑎1𝐴=𝑏0

可以求出A,B的值，求出特解. ⑵𝜆≠0，引入x=y𝑒𝜆𝑡 那么方程

𝑑2𝑥𝑑𝑡2+𝑎1𝑑𝑡+𝑎2x=（𝑏0t+𝑏1）𝑒𝜆𝑡就可以变形为

𝑑2𝑦𝑑𝑡

𝑑𝑥

+𝐴1𝑑𝑡+𝐴2y=𝑏0t+𝑏1, 2𝑑𝑦

其中𝐴1，𝐴2都是常数.

上式微分方程的形式则与（1）中f(t)的形式一样.

①当λ是特征方程的单根时，由（1）的求解方式可以得到该方程有特解

̃=t(𝐵0t+𝐵1), 𝑦

所以方程的特解为

̃=t(𝐵0t+𝐵1) 𝑒𝜆𝑡 , 𝑥

②当λ不是特征方程的单根时，F（0）不等于0.则方程有特解

̃=𝐵0t+𝐵1, 𝑦

从而得到

̃=(𝐵0t+𝐵1) 𝑒𝜆𝑡. 𝑥

2.3.2 f(t)=[𝐴(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡+𝐵(𝑡)𝑠𝑖𝑛𝛽𝑡]𝑒𝛼𝑡

设f(t)=[𝐴(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡+𝐵(𝑡)𝑠𝑖𝑛𝛽𝑡]𝑒𝛼𝑡，其中𝛼，𝛽是常实数，A(t),B(t)是t的常实数多项式.

且𝑚𝑎𝑥(𝜕𝐴(𝑡),𝜕𝐵(𝑡))=𝑚.

f(t)=[𝐴(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡+𝐵(𝑡)𝑠𝑖𝑛𝛽𝑡]𝑒𝛼𝑡 = 𝐴(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡 𝑒𝛼𝑡+ 𝐵(𝑡)𝑠𝑖𝑛𝛽𝑡 𝑒𝛼𝑡 = 𝐴(𝑡)𝑒=(=𝐴(𝑡)2

(𝛼+𝑖𝛽)𝑡

2𝐵(𝑡)2𝑖

+ 𝐴(𝑡)𝑒

(𝛼−𝑖𝛽)𝑡

2

+ 𝐵(𝑡)𝑒

𝐴(𝑡)2

(𝛼+𝑖𝛽)𝑡

2𝑖

- 𝐵(𝑡)

𝑒(𝛼−𝑖𝛽)𝑡

2𝑖

+

) 𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑡 + ( -

𝐵(𝑡)2𝑖

) 𝑒(𝛼−𝑖𝛽)𝑡 𝐴(𝑡)−𝑖𝐵(𝑡)

2

𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑡 + 𝐴(𝑡)+𝑖𝐵(𝑡)

2

𝑒(𝛼−𝑖𝛽)𝑡 ̅由上式可以看出̅̅̅̅̅̅𝑓1(𝑡) = 𝑓2(t)，如果x1是𝑓1(t)的解，那么x1必然就是𝑓2(t)的解.

所以该类方程的解为

̅̅̅̅̅𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑡 𝑥̃=𝑡𝑘D(t) 𝑒(𝛼−𝑖𝛽)𝑡 + 𝑡𝑘̅𝐷(𝑡)

=𝑓1(t)+ 𝑓2(t), =𝑡𝑘[𝑃(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡+𝑄(𝑡)𝑠𝑖𝑛𝛽𝑡]𝑒𝛼𝑡,

其中D(t)是t的m次多项式，而P(t)=2Re{D(t)},Q(t)=2Im{D(t)}.

3.常微分方程的简单应用 3.1常数变易法

4

例1.求方程𝑥′′+𝑥=𝑐𝑜𝑠𝑡的通解.

解：该方程所对应的特征方程是𝜆2+1=0，特征根为𝜆1=i, 𝜆2=-i.是两个复根. 所以齐次微分方程的通解为 x=𝑐1𝑐𝑜𝑠𝑡+𝑐2𝑠𝑖𝑛𝑡, 应用常数变易法，则

设x=𝑐1(t)cost+𝑐2(t)sint, 1

(1.a)

x′=𝑐1′(t)cost+𝑐2′(t)sint-𝑐1(t)sint+𝑐2(t)cost 令𝑐1′(t)cost+𝑐2′(t)sint=0 (1.b)

则x′=𝑐2(t)cost-𝑐1(t)sint

x″=𝑐2′(t)cost-𝑐2(t)sint-𝑐1(t)cost-𝑐1′(t)sint (1.c)

把（1.a）（1.c）带入原方程得

-𝑐1′(t)sint+𝑐2′(t)cost=1

𝑐𝑜𝑠𝑡 .

(1.d)

联立（1.b）（1.d）就可以求得

𝑐1′(t)=−𝑠𝑖𝑛𝑡

𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑐2′(t)=1

所以，

𝑐1(t)=𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠𝑡|+𝛾1, 𝑐2(t)=t+𝛾2.

因此原方程得通解可以表示为

X=𝛾1cost+𝛾2sint+ tsint+cost𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠𝑡|, 其中𝛾1，𝛾2为任意常数. 例2. 求方程tx′′ -x′=𝑡2在t≠0上所有的解. 解：该方程所对应的齐次微分方程为 tx″-x′=0 将方程变形为𝑥″=1𝑥′𝑡

令 𝑑𝑥

𝑦′𝑑𝑡=y 则

=1𝑑𝑥

𝑦

𝑡那么很容易得到y=ct继而𝑑𝑡=ct

解得x=𝑐1𝑡2+𝑐2，

由此可知该方程所对应的齐次常微分方程的基本解组为𝑡2，1.

我们把原方程进行变形得到x″-1

t x′=t (2.利用常数变易法设x=𝑐1(𝑡)𝑡2+𝑐2(t) (2.

x′=2t𝑐1(𝑡)+ 𝑐1′(𝑡)𝑡2+𝑐2′(t)

令𝑐1′(𝑡)𝑡2+𝑐2′(t)=0 (2.

5

a)

b) c)

则x′=2t𝑐1(𝑡) (2.

d)

(2.e)

将（2.d）(2.e)带入（2.a）得到2𝑡𝑐1′(𝑡)=t 所以𝑐1(𝑡)=t+𝛾1

21

x″=2𝑐1(𝑡)+ 2𝑡𝑐1′(𝑡)

𝑐2(t)=−𝑡3+𝛾2. 6

1

所以原方程的通解为

X=𝛾1𝑡2+𝛾2+3𝑡3，

其中γ1，γ2为任意常数.

1

3.2特征根法

例5.求解方程

𝑑2𝑥𝑑𝑡2

–𝑥=0的通解.

解：该方程所对应的特征方程是𝜆2−1=0，特征根为𝜆1=𝜆2=1.是两个相等的实根. 所以方程的通解为 x=(𝑐1+𝑐2t)𝑒𝑡,

这里c1，c2是任意常数.

例6.求解方程𝑑𝑡2 − 2𝑑𝑡–3𝑥=0的通解.

解：该方程所对应的特征方程是𝜆2−2𝜆−3=0，特征根是𝜆1=−1，𝜆2=3.是两个不相等的实根. 所以该方程的通解为 x=𝑐1𝑒−𝑡 + 𝑐2𝑒3𝑡,

这里c1，c2是任意常数.

例7.求解方程

𝑑2𝑥𝑑𝑡2𝑑2𝑥

𝑑𝑥

+ 𝑥=0的通解.

解：该方程所对应的特征方程是𝜆2+1=0，特征根为𝜆1=i, 𝜆2=-i.是两个复根. 所以方程的通解为 x=𝑐1𝑐𝑜𝑠𝑡+𝑐2𝑠𝑖𝑛𝑡,

这里c1，c2是任意常数.

3.3比较系数法

例8.求方程𝑑𝑡2 + 4𝑑𝑡 + 4x=𝑐𝑜𝑠2𝑡的通解.

解：该方程所对应的特征方程是𝜆2+4𝜆+4=0，特征根为𝜆1=𝜆2=−2.是两个相等的 实根. 所以齐次方程的通解为 x=(𝑐1+𝑐2t)𝑒−2𝑡， 设方程的一个特解为 𝑥̃=A𝑐𝑜𝑠2𝑡+B𝑠𝑖𝑛2𝑡,

𝑑𝑥𝑑𝑡{𝑑2𝑥𝑑𝑡2

𝑑2𝑥

𝑑𝑥

=−2𝐴𝑠𝑖𝑛2𝑡+2𝐵𝑐𝑜𝑠2𝑡=−4𝐴𝑐𝑜𝑠2𝑡−4𝐵𝑠𝑖𝑛2𝑡

,

6

将上式带入原方程，整理得 8B𝑐𝑜𝑠2𝑡-8A𝑠𝑖𝑛2𝑡=𝑐𝑜𝑠2𝑡, 所以A=0，B=1⁄8 所以原方程的通解为

1

x=(𝑐1+𝑐2t)𝑒−2𝑡 + 8𝑠𝑖𝑛2𝑡.

4.结束语

对于二阶常微分方程的初等解法及求解技巧，除了文中提及的三个方法之外还存在其他的求解技巧，针对不同的问题需要不同的解决方法.对多数问题而言,解决方法不止一种，同一问题的求解方法也有很多种，同时还需要根据自身对不同解法的熟悉程度选择合适的解题技巧.如果大家对解题方法还有独特的想法欢迎保持求知欲继续探索新未知.

参考文献

［1］王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程（第三版） 北京：高等教育出版社，2006.7 ［2］黄赞，罗佩芳.一类二阶微分方程的几种解法[J].广东：中国科技信息，2009. ［3］陈新一.一类二阶常微分方程的特解[J].兰州：高等教学研究，2010.

［4］熊灿，谢建新.二阶常系数微分方程解法的简化[J].湖南：南昌工程学院报，2010.

［5］周义仓，靳祯，秦军林.常微分方程及其应用----方法、理论、建模、计算机[M].北京：科学

出版社，2003.

［6］朱德刚.二阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式[J].南京：高等数学研究，2010. ［7］(瑞典)L.戈丁(Lars.Garding)著,胡作玄译.数学概观[M].科学出版社,2001：121-1 ［8］赵慈庚,朱鼎勋主编.大学数学自学指南[M].中国青年出版社,1984:74-91 ［9］李岚.一类常系数线性微分方程特解的求法[J]常州工学院学报,2012,6:54-56 ［10］楼红伟，林伟.常微分方程[M].上海：复旦大学出版社,2007.

［11］李岚.二阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法[J].四川理工学院学报，2013,4:93-96 ［12］丁同仁，李承治.常微分方程.北京：高等教育出版社，1985 ［13］黄琳.稳定性理论.北京：北京大学出版社.1992

［14］同济大学数学教研室.高等数学[M].北京：高等教育出版社，1996，（4）：387-394 ［15］张鹏.二阶常系数线性微分方程讨论[J].工科数学，1996,12(2).

Elementary solutions of second order constant coefficient differential

equation solving skills

Abstract: This article summary introduced three kinds of elementary solutions of second order

constant coefficient differential equation solution techniques, respectively is: characteristic root method; Constant variation method; Comparing coefficient method. At the same time combined with examples to explain in detail for. Although today's society about the second order ordinary differential equation of elementary solution method solving skills has acquired great achievements, but still do not have another practice meet its existing theory, need further development, make it more perfect.

7

Key words: second order homogeneous linear differential equation with constant coefficients;

Characteristic root method; Constant variation method; Comparing coefficient method; Second order constant coefficient non-homogeneous linear differential equations.

8