浙江农林大学环路定理电势电势梯度习题

四 计算题

1、两点电荷q1=1.5×10-8C，q2=3.0×10-8C，相距r1=42cm，要把它们之间的距离变为

r2=25cm，需作多少功 （填写A、B、C或D，从下面的选项中选取）

A、-6.55×10-6 J B、-4.55×10-6 J C、-6.55×10-4 J D、-8.55×10-6 J 答案：A 解: Ar2r1r2qqdrqq11Fdr12212()

r24πr4π0r1r206.55106J

外力需作的功 AA6.55106 J

2、 如图所示，在A，B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验点电荷q0从O点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力作的

功 ．

A、-6.55×10-6 J B、-4.55×10-6 J C、-6.55×10-4 J D、-8.55×10-6 J 答案：A

解: 如图所示

UO1qq()0 4π0RRUO1qqq ()4π03RR6π0Rqoq 6π0R∴ Aq0(UOUC)

3、如图所示，有三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一条直线等间距分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，且Q1＝Q3＝Q 。求在固定Q1、Q3的情况下，将Q2从点O移到无穷远处外力所作的功 ． A、

Q280d B、

Q240d

Q2C、 D、

0d20d答案：A

解 由题意Q1所受合力为零，即

Q1Q3Q2Q0 140d240(2d)2

Q2解得

11 Q2Q3Q

44将Q2从点O移到无穷远处外力所作的功，等于电荷Q2在点O的电势能。由电势叠加原理，Q1和Q3在点O产生的电势为

UOQ140dQ340d2Q40d

因此，外力所作的功为

WQ2UO

QQQ2 420d80d

4、如图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心O点处的场强 ．和电势 ．

A、

 B、 2π0Rπ0RC、

ln2ln2 D、 2π040π020答案：A , C

解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，

取dlRd，则dqRd产生O点dE如图，由于对称性，O点场强沿y轴负方向

EdEy2Rdcos

4πR202［sin()sin］ 4π0R22 2π0R(2) AB电荷在O点产生电势，以U0

U1A2Rdxdxln2 R4πx4π0x4π00B同理CD产生 U2ln2 4π0πR4π0R40半圆环产生 U3

∴ UOU1U2U3ln2 2π040

5、 有一电荷面密度为的“无限大”均匀带电平面．若以该平面处为电势零点，试求带电平面周围空间的电势分布在x≤0区域 在x≥0区域 ． A、

xx B、 200xx D、 200C、

答案：A , C

解：选坐标原点在带电平面所在处，x轴垂直于平面．由高斯定理可得场强分布为 E=±/ (20) (式中“＋”对x＞0区域，“－”对x＜0区域 . 平面外任意点x处电势： 在x≤0区域

U 0

0Edxxxxdx2020

O x 在x≥0区域 U

0Edxx0xxdx2020

6、电荷q均匀分布在长为2l的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为a的P点的电势(设无穷远处为电势零点) ．

q2l2lln1 B、ln1 A、

80la20laq O 2l x dx a P x C、

q2l2lln1 D、ln1 40la0laq答案：A

解：设坐标原点位于杆中心O点，x轴沿杆的方向，如图所示．细杆的电荷线密度

＝q / (2l)，在x处取电荷元dq = dx＝qdx / (2l)，它在P点产生的电势为

dUPdqqdx40lax80llax

整个杆上电荷在P点产生的电势

UPq80l

qqdxl2llnlnlax1llax80ll80la

l

7、 两个半径分别为R1和R2（R1＜R2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q，试计算：

(1)外球壳上的球壳内表面带电电荷 外表面带电 电势 ； A、 q B、q C、

q D、0 4π0R答案：A, B, C

(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的球壳内表面带电电 荷 外表面带电 电势 . A、 q B、q C、

q D、0 4π0R答案：A, B, D

解: (1)内球带电q；球壳内表面带电则为q,外表面带电为q，且均匀分布，其电势

题8-23图

UR2EdrR2qdrq 24πR4π0r0(2)外壳接地时，外表面电荷q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为q．所以球壳电势由内球q与内表面q产生：

Uq4πq0

0R24π0R2

8、如图所示，两均匀带电薄球壳同心放置，半径分别为R1和 R2 （R1< R2），已知内外球壳间的电势差为U12，求两球壳间的电场分布 方向 。

A、

U12R1R22U12R1r2R B、R22 2R1rR2R1C、

4U12R1R2r2R D、0

2R1答案：A, 方向沿径向

解 设内球壳带电量为q，则内外球壳间的场强可表示为

Eq4

0r2则两球壳间的电势差为

R2R2U12EdrRq11R140r2drq4(R10R)12

解出q并代入E的表达式，得两球壳间的电场分布为

Eq40r2U12R1R2

r2R2R1方向沿径向。

9、两个很长的共轴圆柱面（R13.0102m,R20.10m），带有等量的异号电荷，两者的电势差为450V。求：（1）圆柱面单位长度上带有多少电荷 .（2）两圆柱面之间的电场强度 。

A、 2.1108Cm1 B、2.1106Cm1

13.74C、 3.74102 D、

rr答案：A, 方向沿径向

解 （1）设单位长度的圆柱面带电荷为。两圆柱面之间的电场为 E根据电势差的定义，有

R2 20r U12EdrR1Rln2 20R1解得

20U122.1108Cm1 Rln2R1（2）两圆柱面之间的电场强度为

E13.74102 V 20rr

10、如图，有一薄金属环，其内外半径分别为R1和R2，圆环均匀带电，电荷面密度为(0)。（1）计算通过环心垂直于环面的轴线上一点的电势 ；（2）若有一质子沿轴线从无限远处射向带正电的圆环，要使质子能穿过圆环，它的初速度至少应为

A、

22[R2x2R12x2] B、[R2x2R12x2] 200ee(R2R1) D、(R2R1) 0m20mC、

答案：A, C

解 （1）把金属环分割成很多半径为r，宽度为dr的细圆环，其所带电荷为

dqdS2rdr

它在轴线上产生的电势（无限远处为电势零点）为

drdrdq

40(x2r2)1220(r2x2)12 金属环的电势等于这些同心轴圆环电势的叠加，即

R2R12rdr0(r2x2)122[R2x2R12x2] 20（2）根据能量守恒定律，为使质子在圆环中心处的动能Ek0，质子的初速率v0应满足

即

12mv0e00 2

v0

e(R2R1) 0m11、两个同心球面半径分别为R1和R2，各自带有电荷Q1和Q2。（1）由电势叠加求各区域电势分布rR1： R1rR2： rR2： ；（2）两球面间的电势差为多少？

A、

Q140R1Q240R2

Q2

Q1

B、

Q140rQ240R2

C、

Q1Q2Q1Q1 D、

40r40R140R2答案：A, B,C, D

解 （1）半径为R，电荷为Q的均匀带电球面内（rR）各点的电势相等，都等于球面上各点的电势，即

而带电球面外（rR）的电势为

Q40R

Q40r

由电势叠加原理，电场内某点的电势等于两个带电球面单独存在时在该点电势的代数

和。因此

rR1：场点处于两个球面的内部，电势为

1Q140R1Q240R2

R1rR2：场点处于两个球面之间

2Q140rQ240R2

rR2：场点位于两个球面之外

3（2）两个球面间的电势差为 U12

Q1Q2 40rQ140R1Q140R2

12、在Oxy面上倒扣着半径为R的半球面，半球面上电荷均匀分布，电荷面密为。A点的坐标为(0,R2)，B点的坐标为(3R2,0)，求电势差UAB 。

A、

RR B、 2060RR D、300C、

答案：B

解 假设将半球面扩展为电荷面密度相同的完整球面，此时在A、B两点的电势分别为

ABQ40RQ40rR0R2R0r302

由电势叠加原理，半球面在A、B两点的电势等于完整球面电势的一半。因此，半球面在A、B两点的电势差为

UABR1() AB260

13、 如图3.21所示，已知长为L，均匀带电（电量为Q）的细棒，求z轴上的一点P(0,a)的电势P 及场强EP的z轴分量EZ （要求用E求场强）。

LL2z2QLL2z2A、 B、 lnln40Lz20LzQC、

1zQ1z[] D、[]

2222222240LzLLzLz20LzLLzLzQ答案：A, C

解 用电势的定义求P点的电势，即

P40L0LL2a2 ln224a0axdx22LLa  ln40LaQ对于z轴上的点P(0 , z)，其电势为

LL2z2 ln40LzQ场强EP的z轴分量为

EZ zQ1z[(LL2z2(z)211(L2z2)22z] 40LLL2z2z2z[1] 40LzLL2z2L2z2Q 一、判断题

1、静电场力做功与路径有关。

错误

分析：Edl0，静电场力做功与路径无关,只与起点与终点的位置有关

l

2. 电场是标量场，电势是矢量场。

错误

分析：电场是矢量, 电势是标量场。

3、静电场是保守场。

正确

分析：静电场力做功与路径无关，静电场是保守场。

4、电场的方向指向电势降落的方向。

正确

分析：如果设无限远处为零势能点，则一点的电势为VAEdl，电势在数值上等

A于把单位正试验电荷从点A移到无限远处，静电场力所做的功。从电势的定义可以判断电势沿着电场的方向下降。

5、电场力做正功电势能减少。

正确

6、电场中有两点电势相等，则在该两点间电场强度处处为零。

错误

分析：由UAB

7.1. 电势值的正负取决于电场力对试验电荷作功的正负。

错误

不能得到E0。最简单的例子就是匀强电场中的等势面。 Edl0，

AB

分析：电势值的正负取决于电势零点的选择。

7.2. 电势值的正负取决于置于该点的试验电荷的正负。

错误

分析：电势值的正负取决于电势零点的选择。

8.1 电场强度为零的点，电势不一定为零

正确

分析：两个等量正电荷连线的正中间点处，电场强度为零，但电势不为零。

8.2 电势为零的点，电场强度也一定为零

错误

分析：零电势点是人为选定的，因此不能得出电势为零的点，电场强度一定为零的结论。

三 填空题：

1、 在电场分布为E的静电场中，任意两点a和b间的电势差的表示式为Ua－Ub＝

____________。

分析：答案为

2、如图所示，在场强为E的均匀电场中，A、B两点间距离为d，AB连线方向与E的夹角为. 从A点经任意路径到B点的场强线积分 E dl= .

ABbaEdl。这是电势差的公式。

E A  d 图4.7

B

答案：Ed cosα

分析： E dl的值与路径无关，至于除末位置有关，因此可以选取几分路径沿直线

AB从A至B，即 E dlUABEdcosa

AB

3、电量分别为q1,q2,q3的三个点电荷分别位于同一个圆周的三个点上，如图所示，设无穷远处为电势零点，圆半径为R，则b点处的点势U=______________。

答案：(√2 q1+q2+√2 q3)/(8πε0R)

分析：答案为

180R(2q1q22q3)。b点处的点势

UUq1Uq2Uq3

q1402R402Rq2q3402R180R(2q1q22q3)

4、 一点电荷q＝10-9 C，A、B、C三点分别距离该点电荷10 cm、 20 cm、30 cm．若选B点的电势为零，则A点的电势为______________，C点的电势为________________． (真空介电常量0＝8.85×10-12 C2·N-1·m-2) 答案：45 V, －15 V

分析：答案依次为45 V、－15 V。

B选B点的电势为零，VAEdlABAq A B C q40r302drq2040r1045V

CVC0EdlBCBq40r2drq40r15V

205、一半径为R的均匀带电圆环，电荷线密度为． 设无穷远处为电势零点，则圆环中心O点的电势U＝______________________． 答案： / (20)

分析：答案为 / (20) ，计算表达式为UdU

6、 在点电荷q的电场中，把一个－1.0×10-9 C的电荷，从无限远处(设无限远处电势为零)移到离该点电荷距离 0.1 m处，克服电场力作功1.8×10-5 J，则该点电荷q＝________________．(真空介电常量0＝8.85×10-12 C2·N-1·m-2 ) 答案：-2×10-7 C

140R2R 40R20dql

7、 真空中电荷分别为q1和q2的两个点电荷，当它们相距为r时，该电荷系统的相互作用电势能W＝________________．(设当两个点电荷相距无穷远时电势能为零)

C

如图所示, BCD是以O点为圆心,以R为半径的 半圆弧,在A点有一电量为q的点电荷,O点

A q •

B

+q • O

R

D

有一电量为+q的点电荷. 线段BA= R.

现将一单位正电荷从B点沿半圆弧轨道BCD移到D点，则电场力所作的功为 . 答案：-q2/(6πε0R)

分析：答案为 q260R, 电场力是保守力，做功的大小与路径无关，它在数值上等于

电势能的改变量。

qqqqWq0UBDq0UBUDq04R4R43R4R

0000Wqq060Rq60R

8、一静止的质子，在静电场中通过电势差为100V的区域被加速，则此质子的末速度是_____________。（1eV＝1.61019J，质子质量mp1.671027Kg） 答案：1.38×105 m/s

1分析：答案为1.38105m/s，根据已知可得mv2Uq，

22Uq21.691019100v1.38105m/s 27m1.6710

9、如图所示，一等边三角形边长为a，三个顶点上分别放置着电量为q、2q、3q的三个正点电荷，设无穷远处为电势零点，则三角形中心O处的电势UO=___________________。

答案：3√3 q/(2π ε0 a)

分析：答案为33q。根据几何关系，可以得到O点到三个正电电荷的距离均为20a3a。再由电势叠加原理， 3UUq1Uq2Uq3

40q3a/3402q3a/3403q3a/333q 20a10、一半径为R的均匀带电细圆环，带电量Q，水平放置，在圆环轴线的上方离圆心R处，有一质量为m、带电量为q的小球，当小球从静止下落到圆心位置时，它的速度为v=______________。 答案：[2gR-(1-1/√2)Qq/(2πmε0R)]2

Qq1(1)分析：答案为2gR2mR2o1/2

引起小球动能改变的原因有两个，一是本身重力做功，另一个原因是静电场力做功，这两个力均为保守力，做功的大小与路径无关。

QQ12mv0mgRUqmgRqmgR24Ro4o2R22qQ

8oRQq122Qqv2gR(1)v2gR即2moR4moR2121/2

二、选择题

1、一电量为-q的点电荷位于圆心O处，A、B、C、D为同一圆周上的四点，如图所示，现将一试验电荷从A点分别移动到B、C、D各点，则： A、从A到B，电场力作功最大 B、从A到C，电场力作功最大 C、从A到D，电场力作功最大 D、从A到各点，电场力作功相等。 答案：D

分析：答案为（D），圆周上各点电势相等，因此A到各点，电场力作功相等，且均为零。

2、真空中有一点电荷Q，在与它相距为r的a点处有一试验电荷 q。现使试验电荷q从a点沿半圆弧轨道运动到b点，如图所示．则电场力对q作功为

Q b r O r a QqQqQqr22rr2224r4r4r2000A、 B、 C、 D、0．

答案：D

分析：答案为（D）。圆周上各点电势相等，因此A到各点，电场力作功相等，且均为零。

3、在点电荷+q的电场中，若取图中P点处为电势零点 ， 则 +q M点的电势为

qq A、40a． B、80a． qq C、 40a． D、80a．

P a a M 答案：D

2aV0Edl分析：答案为（D），MPMaq40r2drq40r2aaq80a

4、一半径为R的均匀带电球面，带有电荷Q．若规定该球面上的电势值为零，则无限远处的电势将等于

Q A、4π0R． B、0． C、4π0R． D、∞．

Q答案：C

分析：答案为（C），

V0EdlRRq40r2drq40rRR40a

5、有四个等量点电荷在OXY平面上的四种不同组态，所有点电荷均与原点等距。设无穷远处电势为零，则原点O处电场强度和电势均为零的组态是： 答案：D

分析：答案为（D），电场是矢量，电势是标量。根据电场的矢量叠加原理，满足在中心O处的场强值为零的只有D选项，依据电势叠加原理，A，B，C，D选项在O点

的

电势均为零。

6、如图所示，边长为l的正方形，在其四个顶点上各放有等 a 量的点电荷．若正方形中心O处的场强值和电势值都不等于零，则：

A、顶点a、b、c、d处都是正电荷． b O d B、顶点a、b、c处是正电荷，d处是负电荷． C、顶点a、b处是正电荷，c、d处是负电荷． D、顶点a、b、c、d处都是负电荷． 答案：B

c 分析：答案为（B），电场是矢量，电势是标量。分析A 、D选项，在中心O处的场强值为零，而根据C选项的电荷分布，依据电势叠加原理，中心O处的电势值为零，只有B满足题设条件。

7、图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势（位）面，由图可看出： A、EA＞EB＞EC，UA＞UB＞UC． B、EA＜EB＜EC，UA＜UB＜UC． C、EA＞EB＞EC，UA＜UB＜UC．

D、EA＜EB＜EC，UA＞UB＞UC． 答案：D

分析：答案为（D）。从电场线的疏密程度可以看出，EA＜EB＜EC ；电势沿着电场线的方向下降，因此UA＞UB＞UC。

8、 如图所示，半径为R的均匀带电球面，总电量为Q，设无穷远处的电势为零，则球内距离球心为r的P点处的电场强度的大小和电势为： A、E = 0 , U = Q/40R . B、 E = 0 , U = Q/40r . C、 E = Q/40r , U = Q/40r .

2

Q O R r • P

D、E = Q/40r2 , U = Q/40R . 答案：A

分析：答案为（A）。根据高斯定理可以判断，内部场强为零，也即内部电势不变，因此P点处场强为零，电势等于球面上的电势。

9、 如图所示,两个同心的均匀带电球面,内球面半径为R1,带电量Q1,外球面半径为R2，带电量为Q2.设无穷远处为电势零点,则在两个球面之间,距中心为r处的P点的电势为：

QQ2A、1.

40rQ1 R1 r R2 Q2 B、

Q140R1Q140rQ140R1Q240R2Q2.

O • P C、

40R2Q240r.

D、.

答案：C

分析：答案为（C）。根据电势叠加原理，P点的电势等于带电球面各自单独存在时在P产生的电势值之和。带电量Q1的均匀带电球在P点产生的电势为

Q140r，带电量为

Q1Q2 的均匀带电球在P点单独产生的电势大小等于其球面上的电势，即

40R2。

10、如图所示，CDEF为一矩形，边长分别为l和2l，在DC延长线上CA=l处的A点有点电荷q，在CF的中点B点有点电荷q，若使单位正电荷从C点沿CDEF路径运动到F点，则电场力所作的功等于：

D

l

C

A

E

q • B

l l • +q

l F

A、

q40l2q40l515313. B、

q40lq40l155515.

C、. D、.

答案：D

分析：答案为（D）。电场力做功的大小与路径无关，在数值上它等于电势能的改变量。

Wq0UCFqqqqq0UCUF14l4l45l4l

0000W

q40l155q40l515

11、在均匀电场中各点，下列诸物理量中：(1)电场强度；(2)电势；(3)电势梯度.相等的物理量是？

A、 (1) (3)； B、 (1) (2)； C、 (2) (3)； D、 (1) (2) (3).

答案：A

分析：答案为（A），电势沿着电场线的方向下降，均匀电场中，各点电场强度都一样，

电场强度E等于电势梯度的负值，因此均匀中电场各点的电势梯度也相同。

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）