苏教版(SJ)2022～2023学年九年级数学(上)期中质量检测试卷【含答案】

一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）

1. 下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是（　　）A. x﹣1=0

B. x2+3x﹣5=0

C. x3+x=3

D. ax2+bx+c=0

2. 关于x的方程x2+x　k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　）

1A. k＞　43. 45°的正弦值为（　　）

1B. k≥　41C. k＜　41D. k＞　4且k≠0

A. 1

1B. 22C. 23D. 24. 已知△ABC∽△DEF，∠A=∠D，AB=2cm，AC=4cm，DE=3cm，且DE＜DF，则DF的长为（　　）A. 1cm

B. 1.5cm

C. 6cm

D. 6cm或1.5cm

5. 在平面直角坐标系中，点A（6，3），以原点O为位似中心，在第一象限内把线段OA缩小为原来的

13得到线段OC，则点C的坐标为（　　）

A. （2，1）

B. （2，0）

C. （3，3）

D. （3，1）

6. 已知⊙A半径为5，圆心A的坐标为（1，0），点P的坐标为（－2，4），则点P与⊙A的位置关系是（ ）

A. 点P在⊙A上

B. 点P在⊙A内

C. 点P在⊙A外

D. 不能确定

7. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（　　）

A. 1：3B. 1：4C. 2：3D. 1：2

8. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=12，AD=4，BC=9，点P是AB上一动点．若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有（

）

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A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

9. 已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP＞BP，设以AP为边的等边三角形的面积为S1，以PB、AB为直角边的直角三角形的面积为S2，则S1与S2的关系是 ( )A. S1＞S2

B. S1＜S2

C. S1=S2

D. S1≥S2

10. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E、F分别是边BC、AC的中点，P是AB上一点，以PF为一直角边作等腰直角三角形PFQ，且∠FPQ=90°，若AB=10，PB=1，则QE的值为（　　）

A. 3

B. 32C. 4

D. 42二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．）

x2xy11. 若y3，则y的值为_____．

12. 在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5 m的测竿的影长为2.5m，那么影长为30m的旗杆的高度是_____m．

13. 某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为______________．14. 在△ABC中，∠A、∠B

1为锐角，且|tanA﹣1|+(2﹣cosB)2＝0，则∠C＝_____°．

15. 如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=_____

16. 如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，点F是△ABC的重心（即点F是△ABC的两条中线AD、BE的交点），BF=6，则DF=_____．

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17. 关于x的一元二次方程mx2+nx=0的一根为x=3，则关于x的方程m（x+2）2+nx+2n=0的根为_____．18. △ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2，在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形称为第1次剪取，记所得正方形面积为s1（如图1）；在余下的Rt△ADE和Rt△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s2（如图2）；继续操作下去…；则第10次剪取时，s10= ；第2012次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和是

三、解答题（本大题共10小题，共84分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤.）

19. 计算或解方程：

14sin60°tan45°（1）计算：2；

（2）3x22-2-2x-10；

（3）x3x10（配方法）；

2(x1)-6(x1)50．（4）

20. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；（2）点M的坐标为　 　；

（3）判断点D（5，　2）与⊙M的位置关系．

21. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，

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（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；

（3）若AD=4，AB=6，求的值．

22. 已知关于x的方程x2+（m　3）x　m（2m　3）=0（1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根；

（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．

23. 某市的特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中属于菌类的一种猴头菇远销国外，上市时，有一外商按市场价格10元/千克收购了2000千克猴头菇存入冷库中，据预测，猴头菇的市场价格每天每千克上涨0.5元，但冷库存放这批猴头菇时每天需要支出各种费用合计220元，而且这种猴头菇在冷库中最多能保存130天，同时，平均每天有6千克的猴头菇损坏不能出售．（1）若外商要将这批猴头菇存放x天后一次性出售，则x天后这批猴头菇的销售单价为_____元，销售量是_____千克（用含x的代数式表示）；

（2）如果这位外商想获得利润24000元，需将这批猴头菇存放多少天后出售？（利润=销售总金额﹣收购成本﹣各种费用）

24. 如图1为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为50cm，与水平桌面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平桌面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°．（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm． sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73（1）求该台灯照亮水平桌面的宽度BC．

（2）人在此台灯下看书，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若书与水平桌面的夹角∠EFC为60°，书的长度EF为24cm，点P为眼睛所在位置，当点P在EF 的垂直平分线上，且到EF距离约为34cm（人的正确看书姿势是眼睛离书距离约1尺≈34cm）时，称点P为“最佳视点”．请通过计算说明最佳视点P在不在灯光照射范围内？

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25. 如图，以点P(−1，0)为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=23，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．

（1）求B、C两点的坐标；

（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．

26. 如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．（1）AB=_____；

（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数．（3）若△ACD与△BCO相似，求AC的长．

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27. 已知：x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[1]=1，[　1.2]=　2．请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下列问题：设函数y=x　[x]．（1）当x=2.15时，求y=x　[x]的值；

（2）当0＜x＜2时，求函数y=x　[x]的表达式，并画出函数图象；

（3）当﹣2＜x＜2时，平面直角坐标系xOy中，以O为圆心，r为半径作圆，且r≤2，该圆与函数y=x　[x]恰有一个公共点，请直接写出r的取值范围．

28. 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=________，PD=________．

（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；

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（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．

苏教版(SJ)2022～2023学年九年级数学（上）期中质量检测试卷

一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）

1. 下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是（　　）A. x﹣1=0B

B. x2+3x﹣5=0

C. x3+x=3

D. ax2+bx+c=0

【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2进行分析即可．

【详解】A． 未知数的最高次数不是2 ，不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意；B． 是一元二次方程，故此选项正确，符合题意；

C． 未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意；D． a=0时，不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意；故选B．

本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是明白：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．

2. 关于x的方程x2+x　k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　）

1A. k＞　4A

1B. k≥　41C. k＜　41D. k＞　4且k≠0

【详解】解：∵关于x的方程x2+x　k=0有两个不相等的实数根，∴△=12　4×1×（　k）=1+4k＞0，解得：

1k＞　4．故选A．

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3. 45°的正弦值为（　　）

A. 1C

1B. 22C. 23D. 22【详解】解：sin45°= 2．故选C．

4. 已知△ABC∽△DEF，∠A=∠D，AB=2cm，AC=4cm，DE=3cm，且DE＜DF，则DF的长为（　　）A. 1cmC

B. 1.5cm

C. 6cm

D. 6cm或1.5cm

【详解】解：∵△ABC∽△DEF，∴AB：DE=AC：DF．∵AB=2，AC=4，DE=3，∴2：3=4：DF．解得：DF=6．故选C．5. 在平面直角坐标系中，点A（6，3），以原点O为位似中心，在第一象限内把线段OA缩小为原来

1的3得到线段OC，则点C的坐标为（　　）

A. （2，1）A

B. （2，0）

C. （3，3）

D. （3，1）

1【详解】解：以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的3，则点A的对应点C的坐标为（6×113，3×3），即（2，1）．故选A．

6. 已知⊙A半径为5，圆心A的坐标为（1，0），点P的坐标为（－2，4），则点P与⊙A的位置关系是（ ）

A. 点P在⊙A上A

B. 点P在⊙A内

C. 点P在⊙A外

D. 不能确定

【详解】∵点A的坐标为（1，0），点P的坐标为（-2，4），∴AP=(21)2(40)25，即点P到圆心A的距离等于半径，

∴点P在⊙A上.

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故选A.

点睛：点与圆的位置关系是由点到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系确定的：（1）当d>r时，点在圆外；（2）当dr时，点在圆上；（3）当dr时，点在圆内.

7. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（　　）

A. 1：3D

B. 1：4C. 2：3D. 1：2

【详解】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴DF：AB=DE：EB．∵O为对角线的交点，∴DO=BO．

又∵E为OD的中点，

1∴DE=4DB，

则DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3．∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．故选D．

8. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=12，AD=4，BC=9，点P是AB上一动点．若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有（

）

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A. 1个B

B. 2个C. 3个D. 4个

【详解】解：∵AB⊥BC，∴∠B=90°．∵AD∥BC，∴∠A=180°　∠B=90°，∴∠PAD=∠PBC=90°．设AP的长为x，则BP长为12　x．

若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：

48①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（12　x）=4：9，解得：x= 13；

②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：9=4：（12　x），解得：x=6．综上所述：满足条件的点P的个数是2个．故选B．

9. 已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP＞BP，设以AP为边的等边三角形的面积为S1，以PB、AB为直角边的直角三角形的面积为S2，则S1与S2的关系是 ( )A. S1＞S2B

B. S1＜S2

C. S1=S2

D. S1≥S2

【详解】试题分析：首先设AB=2，根据黄金分割点得出AP和BP的长度，然后分别求出两个三角形的面积，从而比较大小.

考点：(1)、黄金分割点；(2)、三角形面积的计算

10. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E、F分别是边BC、AC的中点，P是AB上一点，以PF为一直角边作等腰直角三角形PFQ，且∠FPQ=90°，若AB=10，PB=1，则QE的值为（　　）

A. 3D

B. 32C. 4

D. 42第10页/共31页

【详解】解：连结FD，D是AB的中点，如图

∵△ABC为等腰直角三角形，AB=10，PB=1，∴AC=BC=52，∠A=45°．

∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，

∴AD=BD= 5，DP=DB﹣PB=5﹣1=4，EF、DF为△ABC的中位线，

1∴EF∥AB，EF= 21AB=5，DF= 252BC=2，∠EFP=∠FPD，

522DF2∴∠FDA=45°，EF=5=2，

∴∠DFP+∠DPF=45°．∵△PQF为等腰直角三角形，∴∠PFE+∠EFQ=45°，FP=PQ，∴∠DFP=∠EFQ．

∵△PFQ是等腰直角三角形，

PF2∴FQ= 2，DFPF∴EF= FQ，

∴△FDP∽△FEQ，

QEEF∴DPFD=2，

∴QE= 2DP=42．故选D．

本题考查的是等腰直角三角形，相似三角形的判定等知识，根据题意作出辅助线，构造出三角形的中位线是解答此题的关键．

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二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．）

x2xy11. 若y3，则y的值为_____．53x2y3，设x2k,y3k(k0)，然后再代入求解即可．【分析】由

x2【详解】解：∵y3，设x2k,y3k(k0)，xy2k3k5=y3k3，∴5故3．

本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．

12. 在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5 m的测竿的影长为2.5m，那么影长为30m的旗杆的高度是_____m．18

【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高即可．【详解】∵同一时刻物高与影长成正比例∴1.5∶2.5=旗杆的高：30∴旗杆的高为18米．故答案为∶18

本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质．

13. 某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为______________．10%．

【分析】设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是1000（1+x），五月份的产量是1000（1+x）2，据此列方程解答即可．

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【详解】解：设四、五月份的月平均增长率为x，根据题意得：1000（1+x）2＝1210，

解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），则该厂四、五月份的月平均增长率为10%．故10%．

本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．14. 在△ABC中，∠A、∠B75

1为锐角，且|tanA﹣1|+(2﹣cosB)2＝0，则∠C＝_____°．

1【详解】解：由题意得：tanA=1，cosB=2，则∠A=45°，∠B=60°，则∠C=180°　45°　60°=75°．

故答案为75．

15. 如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=_____

143．

【详解】解：令AE=4x，BE=3x，∴AB=7x.

∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD=AB=7x，CD∥AB，∴△BEF∽△DCF.

BFBE3x3∴DFCD7x7，14∴DF=3本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握定理正确推理论证是本题的解题关键.

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16. 如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，点F是△ABC的重心（即点F是△ABC的两条中线AD、BE的交点），BF=6，则DF=_____．

52##2.5

【详解】解：∵点F是△ABC的重心，

1∴EF=21BF=2×6=3．

∵AB=BC，BE是中线，

1∴AE=21AC= 2×8=4，BE⊥AC．

222234AEEF在Rt△AEF中，由勾股定理得：AF== =5，

1∴DF=25AF=2．

5故答案为2．

本题考查了三角形的重心，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的一半是解题的关键．

17. 关于x的一元二次方程mx2+nx=0的一根为x=3，则关于x的方程m（x+2）2+nx+2n=0的根为_____．1或﹣2．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2+nx=0的一根为x=3，∴9m+3n=0，解得n=　3m，且m≠0，∴关于x的方程m（x+2）2+nx+2n=0为mx2+4mx+4m　3mx　6m=0，整理可得mx2+mx　2m=0．∵m≠0，∴x2+x　2=0，解得：x=1或x=　2．故答案为1或﹣2．

点睛：本题主要考查了解一元二次方程，由方程根的定义求得m和n的关系是解题的关键．

18. △ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2，在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形称为第1次剪取，记所得正方形面积为s1（如图1）；在余下的Rt△ADE和Rt△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s2（如图2）；继续操作下去…；则第10

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次剪取时，s10= ；第2012次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和是

1129；22011．

【详解】试题分析：根据题意，可求得S△AED+S△DBF=S正方形ECFD=S1=1，同理可得规律：Sn即是第n次剪取后剩余三角形面积和，根据此规律求解即可答案．试题解析：∵四边形ECFD是正方形，∴DE=EC=CF=DF，∠AED=∠DFB=90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=∠C=45°，

∴AE=DE=EC=DF=BF=EC=CF，∵AC=BC=2，∴DE=DF=1，

∴S△AED+S△DBF=S正方形ECFD=S1=1；

同理：S2即是第二次剪取后剩余三角形面积和，Sn即是第n次剪取后剩余三角形面积和，∴第一次剪取后剩余三角形面积和为：2　S1=1=S1，

1第二次剪取后剩余三角形面积和为：S1　S2=1　21第三次剪取后剩余三角形面积和为：S2　S3=21=2=S2，

11　4=4=S3，

…

1n1第n次剪取后剩余三角形面积和为：Sn﹣1　Sn=Sn=2．

1112011910120121则s10=2=2；s2012=2=2．

1考点：相似形综合题．

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三、解答题（本大题共10小题，共84分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤.）

19. 计算或解方程：

14sin60°tan45°（1）计算：2；

（2）3x22-2-2x-10；

（3）x3x10（配方法）；

2(x1)-6(x1)50．（4）

（1）323； （2）

x1=1，

x1x213；

（3）（4）

5353x22，2 ；

x14，x20．

【分析】（1）先算乘方和特殊锐角的三角函数值，再算加减即可；（2）根据十字相乘法分解因式解方程即可；

（3）先把1移到方程的右边，再在方程两边配上一次项系数一半的平方，根据配方法解答即可；（4）把(x1)看作一个整体，根据分解因式法解答即可．【小问1详解】

44×解：原式=【小问2详解】

312=323；原方程变形为(x-1)(3x1)0，

解得

x1=1，

x2=13；

【小问3详解】

35(x)224，原方程变形为

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解得

x1=5353x2=2，2；

【小问4详解】

原方程变形为(x1-5)(x1-1)0，解得

x1=4，x2=0．

本题考查了解一元二次方程，实数的综合运算．解题的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简等知识点的运算．

20. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；（2）点M的坐标为　 　；

（3）判断点D（5，　2）与⊙M的位置关系．

（1）见解析；（2）（2，0）；（3）点D在⊙M内；

【详解】试题分析：（1）由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M；（2）根据图形即可得出点M的坐标；

（3）用两点间距离公式求出圆的半径和线段DM的长，当DM小于圆的半径时点D在圆内．试题解析：解：（1）如图1，点M就是要找的圆心；（2）圆心M的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；

22（3）圆的半径AM=24=25．线段MD=(52)222=13＜25，所以点D在⊙M内．

点睛：本题考查的是点与圆的位置关系，坐标与图形性质以及垂径定理，利用网格结构得到圆心M的坐标

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是解题的关键．

21. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，

（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；

（3）若AD=4，AB=6，求（1）见解析（2）见解析

的值．

AC7（3）AF4【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD．

（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得

1CE=2AB=AE，从而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD．

AFAC（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得CF的值，从而得到AF的值．

【详解】（1）证明：∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠CAB．∵∠ADC=∠ACB=90°∴△ADC∽△ACB．

ADAC∴ACAB即AC2=AB•AD．

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（2）证明：∵E为AB的中点

1∴CE=2AB=AE

∴∠EAC=∠ECA．∵∠DAC=∠CAB∴∠DAC=∠ECA∴CE∥AD．（3）解：∵CE∥AD∴△AFD∽△CFE

ADAF∴CECF．

1∵CE=21∴CE=2AB×6=3．

∵AD=4

4AF∴3CFAC7AF4．∴

22. 已知关于x的方程x2+（m　3）x　m（2m　3）=0（1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根；

（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．

17（1）见解析；（2）5【详解】试题分析：（1）求出根的判别式，再根据非负数的性质即可证明；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求得方程两根的和与两根的积，两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，根据方程的两个实数根的平方和等于26，即可得到一个关于m的方程，求得m的值．试题解析：（1）证明：∵关于x的方程x2+（m　3）x　m（2m　3）=0的判别式△=（m　3）2+4m（2m　3）=9（m　1）

2≥0，∴无论

m为何值方程都有两个实数根；

（2）解：设方程的两个实数根为x1、x2，则x1+x2=　（m　3），x1×x2=　m（2m　3），令x12+x22=26，得：（x1+x2）

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172　2xx=（m　3）2+2m（2m　3）=26，整理得：5m2　12m　17=0，解这个方程得：m= 5或m=　1，所以存在正数1217m= 5，使得方程的两个实数根的平方和等于26．

23. 某市的特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中属于菌类的一种猴头菇远销国外，上市时，有一外商按市场价格10元/千克收购了2000千克猴头菇存入冷库中，据预测，猴头菇的市场价格每天每千克上涨0.5元，但冷库存放这批猴头菇时每天需要支出各种费用合计220元，而且这种猴头菇在冷库中最多能保存130天，同时，平均每天有6千克的猴头菇损坏不能出售．

（1）若外商要将这批猴头菇存放x天后一次性出售，则x天后这批猴头菇的销售单价为_____元，销售量是_____千克（用含x的代数式表示）；

（2）如果这位外商想获得利润24000元，需将这批猴头菇存放多少天后出售？（利润=销售总金额﹣收购成本﹣各种费用）

（1）10+0.5x，2000　6x；（2）40.

【分析】（1）根据猴头菇的销售单价市场价格+0.5×存放天数和销售量=原购入量-6×存放天数列出代数式即可；

（2）利用总利润-各种费用-收购成本即可列出方程求解．【详解】解：（1）10+0.5x，2000　6x；（2）由题意得：（10+0.5x）（2000　6x）　10×2000　220x=24000，解得x1=40，x2=200（不合题意，舍去）答：这位外商想获得利润24000元需将这批猴头菇存放40天后出售．

24. 如图1为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为50cm，与水平桌面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平桌面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°．（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm． sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73（1）求该台灯照亮水平桌面的宽度BC．

（2）人在此台灯下看书，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若书与水平桌面的夹角∠EFC为60°，书的长度EF为24cm，点P为眼睛所在位置，当点P在EF 的垂直平分线上，且到EF距离约为34cm（人的正确看书姿势是眼睛离书距离约1尺≈34cm）时，称点P为“最佳视点”．请通过计算说明最佳视点P在不在灯光照射范围内？

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(1) 该台灯照亮水平面的宽度BC大约是83.9cm;(2) 最佳视点P在灯光照射范围内,理由见解析.

OC【详解】试题分析：（1）在直角三角形ACO中，根据sin75°=OA，求出OC，在直角三角形BCO中，OCtan30°=BC，求出BC即可．（2）如图，过点P作PH⊥AB于H，交OB于M，过点D作DG⊥PH于

G，DQ⊥AB于Q，则四边形DGHQ为矩形，∠GDF=∠EFC=∠DPG=60°，求出PH，MH的长即可判断．

OC试题解析：（1）在直角三角形ACO中，sin75°=OA，

解得OC=50×0.97≈48.5，

OC在直角三角形BCO中，tan30°=BC，

解得BC=1.73×48.5≈83.9．

答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是83.9cm，

（2）如图，过点P作PH⊥AB于H，交OB于M，过点D作DG⊥PH于G，DQ⊥AB于Q，则四边形DGHQ为矩形，∠GDF=∠EFC=∠DPG=60°由题意DE=DF=12，DP=34，

∴PG=17，QH=DG=173，QF=6，GH=DQ=63，∴PH=PH+GH=17+63≈27.38，又∵CH=6+173≈35.41

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∴HB=CB　CH=83.9　35.41≈48.49，∵∠OBC=30°，tan∠OBC=1：3，∴MH=HB÷3=48.49÷3≈28.03，∵27.38＜28.03，

∴最佳视点P在灯光照射范围内．

考点：解直角三角形的应用；线段垂直平分线的性质；视点、视角和盲区．

25. 如图，以点P(−1，0)为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=23，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．

（1）求B、C两点的坐标；

（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．

（1）B(-3，0)，C(1，0)；（2）作图见解析，四边形ACMB是矩形，点M的坐标为(-2，3)；（3）在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°

AODO【分析】（1）连接AP，结合题意，根据圆的对称性，得

1AD32；再根据勾股定理，计

算得AP；再根据圆的性质，得BPCPAP，从而得到B、C两点的坐标；

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（2）结合题意，根据圆周角的性质，得BAC90；再根据旋转的性质，得BMCBAC90，

BMAC，CMAB，从而推导得四边形ACMB是矩形；再根据旋转的性质，可计算得点M的坐标；

（3）结合题意，得∠BMC=∠BGE=90°；再结合点Q是BE的中点，根据直角三角形斜边中线性质，得QM=QE=QB=QG，从而推导得点E、M、B、G在以点Q为圆心、QB为半径的圆上，故得∠MQG=2∠MBG；再通过三角函数计算，得到∠OCA=60°；从而完成求解．【详解】（1）如图，连接AP

∵以点P(−1，0)为圆心的圆，AD=23AODO∴

21AD32，OP1

2∴

APOPOA1322∴BPCPAP2 又∵P(−1，0)

∴B(-3，0)，C(1，0)；（2）如图

∵以点P(−1，0)为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧）

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∴BC是圆的直径∴BAC90

∵将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB

∴BMCBAC90，BMAC，CMAB ∴四边形ACMB是矩形

过点M作MNBC交BC于点N

结合题意得：△MCB和△ABC关于点P旋转对称∴AOMN又∵P(−1，0)

∴点M的坐标为(-2，3)；（3）如下图

3，NPOP1

结合（2）的结论，四边形ACMB是矩形，∠BMC=90°∵EG⊥BO∴∠BGE=90°

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∴∠BMC=∠BGE=90°∵点Q是BE的中点∴QM=QE=QB=QG

∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上∴∠MQG=2∠MBG

∵∠COA=90°，OC=CP-OP=1，OA=3OA∴tan∠OCA=OC=3∴∠OCA=60°∴∠MBC=∠BCA=60°∴∠MQG=120°

∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°．

本题考查了圆、旋转、勾股定理、直角三角形斜边中线、直角坐标系、矩形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、圆心角、旋转、勾股定理、直角三角形斜边中线、直角坐标系、矩形、三角函数的性质，从而完成求解.

26. 如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．（1）AB=_____；

（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数．（3）若△ACD与△BCO相似，求AC的长．

(1)23；（2）100°；（3）3.

【详解】试题分析：（1）过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理即可求得AB的长；

（2）连接OA，由OA=OB，OA=OD，可得∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，则可求得∠DAB的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得∠DOB的度数；

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（3）由∠BCO=∠A+∠D，可得要使△ACD与△BCO相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，然后由相似三角形的性质即可求得答案．

试题解析：解：（1）过点O作OE⊥AB于E，则

1AE=BE=2AB，∠OEB=90°．∵OB=2，∠B=30°，

3∴BE=OB•cos∠B=2×2=3，∴AB=23．故答案为23．（2）连接OA．∵OA=OB，OA= OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D．又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°，∴∠BOD=2∠DAB=100°；

（3）∵∠BCO=∠A+∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，∴要使△ACD与△BCO相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，此时∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°，∴△DAC∽△BOC．∵∠BCO=90°，即ACD与△BCO相似，AC的长度为3．1OC⊥AB，∴AC= 2AB=3，∴若△

点睛：本题考查了垂径定理，圆周角的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．题目综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．

27. 已知：x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[1]=1，[　1.2]=　2．请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下列问题：设函数y=x　[x]．（1）当x=2.15时，求y=x　[x]的值；

（2）当0＜x＜2时，求函数y=x　[x]的表达式，并画出函数图象；

（3）当﹣2＜x＜2时，平面直角坐标系xOy中，以O为圆心，r为半径作圆，且r≤2，该圆与函数y=x　[x]恰有一个公共点，请直接写出r的取值范围．

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2（1）0.15；（2）①y=x，②当1y=x　1， （3）r的取值范围是：0＜r＜2或x=2．

【详解】试题分析：（1）根据[x]的定义进行计算即可；

（2）由已知条件：0＜x＜1，1≤x＜2进行分类讨论，由此可求出结论；

（3）把自变题x在-2＜x＜2内分四种情况得出相应的函数关系式，并画出图形，确定r的取值即可．试题解析：解：（1）当x=2.15时，y=x　[x]=2.15　[2.15]=2.15　2=0.15；（2）①当0＜x＜1时，[x]=0．∵y=x　[x]，∴y=x；②当1≤x＜2时，[x]=1∵y=x　[x]，∴y=x　1；

（3）函数y=x　[x]（　2＜x＜2），如图，OA=2．

①当﹣2＜x＜　1，[x]=　2，y=x　[x]=x+2，②当﹣1≤x＜0时，[x]=　1，y=x　[x]=x+1，③当0≤x＜1时，[x]=0，y=x　[x ]=x，④当1≤x＜2时，[x]=1，y=x　[x]=x　1，当r=OA= 2时，⊙O与直线y=x　1相交于一点，

1OC= 222OA=2，当0＜r＜2时，⊙O总与直线y=x相交于一点；

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2综上所述：r的取值范围是：0＜r＜2或x= 2．

点睛：本题是圆的综合题，主要考查了新定义，以及不等式的整数解问题，解答本题的关键是分类讨论．借助图象是解答本题的难点．

28. 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=________，PD=________．

（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度； （3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．

41610t（1）8-2t；3；（2）不存在，理由见解析，当点Q的速度为每秒15个单位长度时，经过3秒，四边

形PDBQ是菱形；（3）25单位长度.

【详解】解：（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，∴QB=8﹣2t，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，∴∠APD=90°，

PDBC4=∴tanA=PAAC3，

4∴PD=3t．

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4故答案为（1）8﹣2t，3t．

（2）不存在

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10∵PD∥BC，∴△APD∽△ACB，

ADAFADtABAC106，∴，即5∴AD=3t，

5∴BD=AB﹣AD=10﹣3t，

∵BQ∥DP，

∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，

4t12即8﹣2t=3，解得：t=5．

1241216512=5，BD=10﹣3×5=6，当t=5时，PD=35∴DP≠BD，

∴▱PDBQ不能为菱形．

设点Q的速度为每秒v个单位长度，

45则BQ=8﹣vt，PD=3t，BD=10﹣3t，

要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，

4105当PD=BD时，即3t=10﹣3t，解得：t=3104101016当PD=BQ，t=3时，即33=8﹣3，解得：v=151610当点Q的速度为每秒15个单位长度时，经过3秒，四边形PDBQ是菱形．

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（3）如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．

依题意，可知0≤t≤4，当t=0时，点M1的坐标为（3，0），当t=4时点M2的坐标为（1，4）．设直线M1M2的解析式为y=kx+b，

3kb0kb4，∴k2b6，解得∴直线M1M2的解析式为y=﹣2x+6．∵点Q（0，2t），P（6﹣t，0）

6t∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（2，t）．6t6t把x=2代入y=﹣2x+6得y=﹣2×2+6=t，

∴点M3在直线M1M2上．

过点M2做M2N⊥x轴于点N，则M2N=4，M1N=2．∴M1M2=25∴线段PQ中点M所经过的路径长为25单位长度．此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及一次函数的应用．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

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