工程力学第六章答案 梁的变形

测试练习

1. 判断改错题

5—1—1 梁上弯矩最大的截面,挠度也最大，弯矩为零的截面，转角亦为零。 （ ）

5-1—2 两根几何尺寸、支承条件完全相同的静定梁，只要所受荷栽相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关. ( ） 5—1-3 悬臂梁受力如图所示，若A点上作用的集中力P在AB段上作等效平移，则A截面的转角及挠度都不变。 ( ）

5-1-4 图示均质等直杆(总重量为W）,放置在水平刚性平面上，若A端有一集中力P作用，使AC部分被提起,CB部分仍与刚性平面贴合，则在截面C上剪力和弯矩均为零.( ） P P A B

A C B

题5-1-3图 题5-1-4图

5—1-5 挠曲线近似微分方程不能用于求截面直梁的位移. （ ） 5—1—6 等截面直梁在弯曲变形时,挠度曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。 （ ） 5-1—7两简支梁的抗刚度EI及跨长2a均相同，受力如图所示，则两梁跨中截面的挠度不等而转角是相等的. （ ） 5-1—8 简支梁在图示任意荷载作用下，截面C产生挠度和转角,若在跨中截面C又加上一个集中力偶M0作用，则梁的截面C的挠度要改变，而转角不变. （ )

2q q(x) q P

C B A A C B B A C q a a a a l/2 l/2

题5-1-7图

题5-1-8图

5—1-9 一铸铁简支梁，在均布载荷作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力及变形均相同。 （ ） 5—1-10 图示变截面梁,当用积分法求挠曲线方程时，因弯矩方程有三个，则通常有6个积分常量。 ( ）

q

q P

题5-1-9图

题5-1-10图

2．填空题

5-2—1 挠曲线近似微分方程y(x)\"M(x) 的近似性表现在和。 EIP1。 P25—2-2 已知图示二梁的抗弯度EI相同,若使二者自由端的挠度相等，则

P1 P2

a 2a

题5-2-2图

5-2-3 应用叠加原理求梁的变形时应满足的条件是：。 5-2—4 在梁的变形中挠度和转角之间的关系是。

5—2-5 用积分法求图示的外伸梁(BD为拉杆)的挠曲线方程时，求解积分常量所用到的边界条件是，连续条件是.

5—2-6 用积分法求图示外伸梁的挠曲线方程时，求解积分常量所用到边界条件是，连续条件是。

5—2-7 图示结构为次超静定梁。

D

EA P x C x P B A B A C a l l l/2 y 题5-2-5图 题5-2-6图 题5-2-7图

5-2-8 纯弯曲梁段变形后的曲率与外力偶矩M的关系为,其变形曲线为曲线。

5-2—9 两根EI值相同、跨度之比为1：2的简支梁,当承受相同的均布荷载q作用时,它们的挠度之比为。

5—2—10 当梁上作用有均布荷载时，其挠曲线方程是x的次方程。梁上作用有集中力时，挠曲线方程是x的次方程。梁上作用有力偶矩时，挠曲线方程是x的次方程。

5—2-11 图示外伸梁，若AB段作用有均布荷载，BC段上无荷载，则AB段挠曲线方程是x的次方程;BC段挠曲线方程是x的次方程。 q

A B C

题5-2-11图

5-2—12 减小梁变形的主要途径有：，，。

Px2(3lx)，则该梁的弯矩方程为。 5—2—13 已知梁的挠度曲线方程为y(x)6EI5-2—14 梁的变形中，挠度和截面弯矩M的关系是,挠度和截面剪力Q的关系是。 5—2—15 为使图示AB段的挠曲线为一直线，则x=。

5—2-16 要使图示简支梁的挠曲线的拐点位于距A端l/3处，则M1:M2=。 5—2-17 图示静定梁，其BD上无荷载作用，若已知B截面的挠度yB，则C截面的挠度yC=，D截面的转角θD=。 P P M1 A C B A M2 B B D D A C x 3l/2 l/3 a a a l a 题5-2-16图 题5-2-17图 题5-2-15图

3．选择题

5—3-1 简支梁长为l，跨度中点作用有集中力P，则梁的最大挠度f=( ) （EI=常量）

5Pl5Pl3Pl3Pl4 A。 B. C。 D。

384EI3EI48EI48EI5—3-2 悬臂梁长为l，梁上作用有均布荷载q,则自由端截面的挠度为. ( )

ql4ql3ql4ql3 A。 B。 C。 D.

8EI8EI6EI6EI5—3-3 两梁尺寸及材料均相同,而受力如图示，则两梁的

A． 弯矩相同，挠曲线形状不相同 B． 弯矩相同,挠曲线形状相同 C． 弯矩不相同，挠曲线形状不相同 D． 弯矩不相同，挠曲线形状相同 5-3—4 图示（a）、（b）两梁,长度、截面尺寸及约束均相同，图(a)梁的外力偶矩作用在C截面,图（b）梁的外力偶矩作用在B支座的右作侧,则两梁AB段的内力和弯曲变形的比较是 ( ）。

A.内力相同，变形不相同 B．内力及变形均相同 C．内力及变形均不相同

B C M0 A D．内力不相同,变形相同

(a)

a l M0=Pl B M0 A C l (b)

a l

l P 题5-3-3图 题5-3-4图

5-3-5 当用积分法求图示梁的挠度曲线方程时，在确定积分常量的四个条件中，除x=0， θA=0;x=0，yA=0外，另两个条件是 ( ) 。

A．（yc）左=（yc）右，（θC）左=（θC）右 B．（yc）左=(yc)右，yB=0 C．yC=0,yB=0 D．yB=0，θC=0

5—3-6 图示简支梁在分布荷载q(x)=f（x）作用下，梁的挠度曲线方程为

EIy(x)M(x)dxdxCxD,，其中,积分常量 ( )。

A。C0,D0 B.C0,D0

C。C0,D0 D。C0,D0

q q(x) M0 B A B A C x y y

题5-3-6图 题5-3-5图

5—3-7 挠曲线方程中的积分常梁主要反映了 A． 对近似微分方程误差的修正 B． 剪力对变形的影响 C． 约束条件对变形的影响

D． 梁的轴向位移对变形的影响

5-3—8 图示悬臂梁在B、C两截面上各承受一个力偶矩作用，两力偶矩大小相等，转向相反，使梁产生弯曲变形.B截面的变形为 ( )。

A．y0,0 B. y0,0

B C．y0,0 D。y0,0

题5-3-8图

5-3-9 图示简支梁受集中力作用，其最大挠度f发生在( ）。 A．集中力作用处 B。跨中截面 C．转角为零处 D。转角最大处 5—3-10 两简支梁EI及l均相同，作用荷载如图所示。跨中截面C分别产生挠度yC和转角θC，则两梁C点的挠度及两梁C点的转角有 （ ）。 A．θC相等,yC不相等 B。θC不相等，yC相等 C．θC和 都不相等 D。θC和yC都相等 2q q

A B A B C C l l 题5-3-10图

M0 M0 C

4．计算题

5-4—1 试画出图示各梁挠曲线的大致形状。 q M0 M0

P P a l l/2 l/2 l/3 l/3 l/3

(b) (c) (a)

P q P P P

l/2 l/2 a a a a l/2 l/2 (d) (e) (f)

题5-4-1图

5-4—2 一简支梁承受图示分布荷载q=Kx2（K为已知），试求此梁的挠曲线方程（设EI=常量）。

5-4-3 已知图示梁的带积分常量的挠曲线方程为

3ql22ql31EIy1(x)x1x1C1x1D1(0x1)161223ql22ql3qlEIy2x2x2(x2)4C2x2D21612242l(x2l)2

试求方程中的积分常量。

5—4—4 试用叠加法求图示梁B点的挠度和转角。(EI=常量） P=ql q q q(x)=Kx2 A A B B x C C x B A l/2 l/2 l/2 l/2 y

y 题5-4-4图 题5-4-3图 题5-4-2图

5—4—5 外伸梁受图示荷载作用，试求C截面的挠度和A截面的转角。（EI=常量.） 5—4-6 矩形截面梁AB的抗弯刚度为EI，受力如图示。试问B端支座向上抬高Δ为多少时，梁的A截面的弯矩和C截面的弯矩绝对值相等。(材料的抗拉与抗压性能相同）

5—4—7 图示弯曲的钢板梁AB，截面为矩形，宽度为b，高度为h,钢板放在刚硬地面上时原有曲率半径为ρ，在两端受力P作用使其平直，则将有均布压力作用于刚硬地面C—C上.已知刚梁E（弹性模量），试求所需的P力及其在压平时梁内的最大正应力。 P P P 2 M0=ql/2 Δ A B C B δ A C C C l/2 l/2 l l l/2 题5-4-6图 题5-4-5图 题5-4-7图

5-4—8 长度为l、抗弯刚度为EI的悬臂梁AB，受均布荷载q作用而弯曲时，与半径为r的刚性圆柱面接触，如图所示。试求当梁上某一段AC与刚性圆柱面在C点接触（假设C点与梁左端A的距离为x)时，B点的挠度.

5-4-9 单位长度重量为q、抗弯刚度为EI的矩形截面钢条，放置在水平刚性面上，刚条的一端伸出水平面一小段CD,如图所示。若伸出长度为a,试求刚条翘起而不与水平面接触的CD段的长度b。

ql45-4-10 超静定梁如图所示,AB段内作用有均布荷载q，当C支座向下沉陷时，

96EI试求梁的反力。 q q B C A C B A B Δ A D x C l/2 l b a r 题5-4-10图 题5-4-8图 题5-4-9图

5—4—11 矩形截面悬臂梁如图所示,梁长为l,在沿其截面高度h承受非均匀加热,设梁顶部温度改变为t1，底部温度改变为t2，且t2〉t1。温度沿截面高度呈线形改变。材料的线膨胀系数为a，弹性模量为E，由于不均匀受热而使梁发生弯曲变形,当梁的悬臂端施加偶矩M0时，能使梁展直。问应施加多大的外力偶矩?

M0 t1 h A B t2 b l

题5-4-11图

5-4-12 悬臂梁AB和CD的自由端处用拉杆BC相连,受力如图所示,若AB梁和CD梁的抗弯刚度EI相等，试求在下列两种情况下C点的挠度。 (1) 当BC杆为刚性杆，即EA=时； (2) 当BC杆长为

lEI，EI2时。 2lA C l B 8 P l/2 A B EI C l

P EI D l/2 l/2 l/2

l/2 l/2 题5-4-12图

5-4—13AB与BC两梁铰接于B，如图所示。已知两梁的抗弯度相等，P=40kN/m,，试求B点的约束力。

5-4-14 悬臂梁和简支梁材料和截面均相同。已知E及未受力前AB梁B点与CD梁中点之间的间隙Δ（垂直距离），如图所示，当受P力后AB梁在B点的挠度大于Δ，试求各梁的支座反力。

5-4-15 具有初始挠度的AB梁如图所示，梁的EI和l均为已知.当梁上作用有三角形分布荷载时（q0已知)，梁便呈直线形状。试求梁的初始挠曲线方程。

l P

D q0 B Δ A q P C l/2 B B C A A xl/2 l h x 4m 2m 2m y b

题5-4-15图 题5-4-13图

5—4-16 试根据对称性求图示梁的挠曲线方程.EI=常量

5-4-17 两端固定的等截面梁,梁上作用一外力偶矩M0 ，如图所示.欲使在固定端A的反力偶矩MA为零，则力偶矩M0应作用在梁上何位置？(即x =?)

C x l/2 l/2 l 题题5-4-17图 题5-4-16图 5-4

-14

图

测试练习解答 题

1． 判断改错题 5-45-1-1×.挠度和转角-9不仅与弯矩有关，而且与边界位移条件也有关，例如，当悬臂梁自由端作用有集中力P时,自由端的M=0，但挠度和转角都是最大值。 解5-1—2×.凡弹性变形图 均与材料的弹性模量值有关。 5-1-3√.外力在研究 的梁段以外，用等效力系代替不影响研究段的内力及变形。 5—1—4×。在C截 面上弯矩为零而剪力不为力零. 5—1-5×。可以用 于 变 截面梁，只是分母中的Iz不同。

8 1M(x)1,可知曲率最大值应在M最大的截面处（EI=常量5-1—6×。根据y\"(x)A M0 B

A M0 C B

EI时）。

5-1—7√.若将2q分解成正对称和反对称两组,就可明显看出,在正对称的q作用下C点有挠

度，转角等于零。

5—1—8×。在C截面加上一力偶矩后C截面的挠度不变，而转角改变。

5—1-9×。应力不同，变形相同。因为变形只与Iz有关，而T形截面无论┬是┴还是，其惯性矩Iz是相等的。而应力不仅与Iz有关而且还与ymax（上下边缘到中性轴的距离）有关,┬这种方法的最大拉应力比┴这种方法的最大拉应力要大。

5—1-10×弯矩方程式有三个，但积分时要分成四段，因截面改变处要分段。 2．填空题

5-2—1 忽略剪力Q的影响；1(y')1

5—2-2 8。因P31aP2(2a)33EIa3,所以P1(2a)3P38 2a5—2-3 小变形及材料为线弹性 5—2—4y'(x)(x) 5—2-5x0,yA0xl,yBlBD;

5-2-6

yA0,yB0;((

1)A2)A,(y1)Ay2)A5-2-7 二次 5-2-8

1MEI；圆弧线 5-2-9 1：16。因

5q(l)4384EI/5q(2l)4384EI1/16 5-2-10 4；3；2 5-2-11 4；1

5-2-12 合理安排受力,减小M；减小l；加大EI 5—2—13M(x)P(lx) 5—2-14y\"(x)M(x)EI;y'''(x)Q(x)EI 5-2—15 l—a 5-2—16 1/2 5—2—17y1C2yB/2a 3．选择题

5—3—1A 5—3—2 C 5—3-3 A 5—3—4 B 5—3—5 5-3-6 D 5—3—7 C 5-3—8 D 5—3-9 C 5-3-10 B 4 计算题

5—4—2 梁的挠曲线方程为

B Kl3（1） 求分布荷载的合力Pq(x)dx

03tq(x)dxx3l 求合力作用点到点的距离：d0tP4PKl33PKl3,RB（2） 求反力：RA 41244Kx3x （3） 列M(x)RAx34Kl5M(x),D0 （4） 代入y中并积分,由边界条件确定C90EI\"所以y(x)Kx(5l3x2x54l5)

360EI5—4-3 （1)边界条件：

x10,y'110,解出C10

x10,y10,，解出D10

（2)连续光滑条件：

lx1x2,2lx1x2,2(y'1)C(y'2)C,解出C20 (y1)C(y2)C,，解出D20

ql3ql4,(yB)q5—4—4 （1）只有q作用时，(B)q 6EI8EI（2）只有P=ql作用时：

lP()2(B)PC)P2,2EIllP()3P()2ll(yB)P(yC)P(C)P2223EI2EI2（3）然后两者叠加：

7ql3B(B)q(B)P24EI

11ql4yB(B)q(B)P48EI

5—4—5 (1）只有M0Ml12ql作用时,(A)M00(),3EI2yCM0l(B)M0()

21(ql2)l(2）只有q作用时，(A)q8（ ）

6EI1l(ql2)lq()4l(yC)q82（ ）

3EI28EI（3）叠加:

7ql3A(A)M0(A)q,48EI 45qlyC(yC)M0(yC)q()384EI5-4-6 （1）将B约束解除,用反力RB代替。 (2）由A、C两截面的弯拒绝对值相等可列方程（3）在 P和RB1lPRBlPRBl,解出RB() 223P作用下，求B点的挠度。 3llP()3P()2RBl3l22[]3EI2EI23EI Pl3(负号表示向上)144EI

5-4-7 这是一个求变形和应力的综合题。

（1） 求压力P:依题意，当两端加上力P后使其平直且在C—C面上产生均布压力q,因此

可以将其简化为两端铰支的简支梁,其反力均为P,C-C面上的均布压力q2P。 l5ql416Ebh3，() （2） 简支梁在均布压力q作用下中点的挠度等于δ，解出P384EI5l (3) MmaxM1224Ehql,maxmax 28Wz5l5-4-8 当q=0时,AB梁上没有外力，梁轴线平直，A端曲率为零。当荷载q由0增加，到q0时,梁A端的弯矩为1112，即有 q0l，A端曲率

Ar212ql1M(x)20,rEIEI

得q02EI 2rl1q(lx)211当qq0 时，梁上某一段AC与刚性面接触,C点端曲率为2(x)rEI解得xl,

2EI qr(2） B点的挠度包括三部分，即

yB(yB)1(yB)2(yB)3

x212EI2①（yB）1 为C点的挠度(yB)1(l)

2r2rqr② （yB)2为C点的转角引起B点的挠度(yB)212EI2EI (l)rqrqr③(yB）3为CD段当作悬臂梁在q作用下B点的挠度

(yB)3qEI(lx)4 8EL2qr2④ 以上三种挠度叠加，即为点B的挠度yB1EI(l2) 2rqr5-4-9 由于AB段平直，所以B点的弯矩、转角及挠度均等于零.B点和C点与刚性平面接触，简化为铰支座，则BCD端简化为外伸臂梁。在该梁上作用有均布荷载q(自重)但要满足

B0的条件，如图（a）所示.求θB时，可取BC为简支梁，而CD上的均布力向C点平

移得一集中力qa和一力偶矩M0312qa，如图（b)所示。根据θ=0的条件求解b，即 2B(B)q(B)M解出b

01(qa2)bqb20 2EI6EI2a

B C D

B b qa2/2

5-4—10 这是一个在外力作用及有支座位移下的一次超静定问题。将C约束解除，用约束

ql4力RC代替，成为基本结构。变形协调条件是yC（向上)。

96EI3RCl3ql4在q和RC共同作用下求出yC ，并将其代入变形协调方程，解出48EI24EIRC1115 ql()，然后根据平衡方程求出RA、RB即 RAql(),RBql(). ， 。

122485—4—11 梁在不均匀温度的变化下，发生弯曲和伸长变形,由于t2〉t1，所以轴线以上伸长少,而轴线以下伸长大，使梁发生凸向下的弯曲变形，B点有向上的挠度，设为(ΔB) t 。在梁的自由端上作用力偶矩M0 后，能使变形展直，B点又回到原水平位置，设M0作用下B点的挠度为(B)M0。由(ΔB） t=(B)M0，变形条件可以解出M0值。其中

M0l2a(t2t1)l2a(t2t1)EI(B)t,(B)M0，代入变形条件中解得M0.

2h2EIh5-4—12 （1）当杆BC的EA= 时，杆不变形,将BC杆切短,用RBC代替其约束,取基本结构。变形协调条件为yB=yc(↓) ，解出RBC（2)当EARBCl35Pl35P,则yCyB 。 323EI96EIEA 时，杆BC有伸长变形，同样将BC杆切段，用RBC 代替,取基本结构.2llRBC3Rl2BC ，解出 这时的变形协调条件为 yCyBlBC,lBCEA2EIRBC5P25Pl3,yC。 56336EI5-4—13 这是一个二次超静定问题。若不计杆的轴向变形，则结构无水平约束力，将该问

题简化为B铰只有一个垂直约束力为未知数的结构。在B铰处切断,用约束力RB代替，取出基本结构，并根据B点的变形协调条件建立补充方程(yB）AB=(yB）BC

(yB)AB(yB)BCq44RB44,8EI3EI RB44P23P2223EI2EI3EI 代入变形协调方程求出R=8。75kN

5—4—14 因为AB梁点的挠度大于Δ，因此在P作用下AB梁与CD梁共同受力，成了一次超静定问题。若将两梁拆开,约束反力R分别作用在梁上，则成为基本结构。变形协调方程为(yB)AB(yB)CD

将 (yB)AB(PR)l3Rl3,(yB)CD ，

3EI48EI代入变形协调方程解出R1648EIP,并由平衡条件求个梁的约束反力， 31717lRCRDR,RAPR,MA(PR)l. 211q0x2q0x3 26l5-4-15 （1）将A端的约束反力用MA 、RA表示； （2）列出弯矩方程M(x)MARAx（3）代入挠曲线近似微分方程并积分；

（4)根据A端的位移边界条件求出 C=0,D=0 ；

（5)根据B端的边界条件，即 x=l时,M=0 （即 y”=0)；x=l时，yB=0解出

MA12q0l2,RAq0l ; 155q0x2(4l38l2x5lx2x3) 。 （6)最后的出初始挠度曲线方程 y120lEI5-4—16 结构为对称，而外力M0为反对称。若将结构取出一半（如取左边一半）,则成为A端为固定端、C端为铰支座的单跨超静定梁。在C截面上作用有力偶矩

M0，AC段的长度2为

l.只要解出AC梁的挠度方程即可,CB段的挠度曲线与AC段组成反对称的挠度曲线， 21M02M03(xx). 4EI2ly(x)5-4—17 若不计梁AB的轴向变形，这是一个二超静定问题。将A固定端解除用约束反力

RA、MA=0，代替，并由A点的θA=0、y=0的变形条件建立两个补充方程，并令MA=0，求出xl。 3