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华东师大九年级数学下册教案全册

2021-12-05 来源：个人技术集锦

华东师大版

九年级数学下册全册教案

第26章二次函数

26．1 二次函数

教学目标：

1．探索具体问题中的数量关系和变化规律．

2．结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3．会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5．会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．

6．会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问

题．

教学重点：解二次函数的有关概念教学难点：解二次函数的有关概念的应用本节知识点

通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．教学过程

（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？

（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．

请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义．实践与探索

例1． m取哪些值时，函数y(mm)xmx(m1)是以x为自变量的二次函数？分析若函数y(mm)xmx(m1)是二次函数，须满足的条件是：m解：若函数y(mm)xmx(m1)是二次函数，则解得

2222222m0．

m2m0．

m0，且m1．

22因此，当m0，且m1时，函数y(mm)xmx(m1)是二次函数．回顾与反思形如yaxbxc的函数只有在a2220的条件下才是二次函数．

探索若函数y(mm)xmx(m1)是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．

（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；

（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；

（3）某种储蓄的年利率是%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；

（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．解（1）由题意，得 S6a(a0)，其中S是a的二次函数；

2x2(x0)，其中y是x的二次函数；（2）由题意，得 y4（3）由题意，得

y100001.98%x10000（x≥0且是正整数），

其中y是x的一次函数；

（4）由题意，得

S11x(26x)x213x(0x26)，其中S是x的二次函数． 22例3．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．

(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．解（1）S1524x22254x2(0x15)； 2 （2）当x=3cm时，S课堂练习

225432189（cm2）．

1．下列函数中，哪些是二次函数？（1）yx0 （3）y2（2）y(x2)(x2)(x1)

2x212 （4）yx2x3 x2．当k为何值时，函数

y(k1)xk22k1为二次函数？

3．已知正方形的面积为y(cm)，周长为x（cm）． (1)请写出y与x的函数关系式； (2)判断y是否为x的二次函数．课外作业

A组

1．已知函数

y(m3)x2m27是二次函数，求m的值．

2．已知二次函数yax，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．

3．已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x

为3，求此时的y．

4．用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系

式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．

B组

5．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（） A．y(m1)x B．y(m1)x C．y(m1)x D．y(m1)x 6．下列函数关系中，可以看作二次函数yaxbxc（aA．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系

B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系

C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D．圆的周长与圆的半径之间的关系课堂小结：教学反思：

2222222220）模型的是（）

二次函数的图象与性质（1）

教学目标：

1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．重点：二次函数的图象与性质难点：二次函数的图象与性质本节要点

会用描点法画出二次函数yax的图象，概括出图象的特点及函数的性质．教学过程：

我们已经知道，一次函数

2y2x1，反比例函数y23的图象分别是、 x ，那么二次函数yx的图象是什么呢？

（1）描点法画函数yx的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？

（2）观察函数yx的图象，你能得出什么结论？实践与探索

例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？

（1）y2x 解列表

x … … … -3 18 -18 -2 8 -8 -1 2 -2 0 0 0 1 2 -2 2 8 -8 3 18 -18 … … … 222（2）y2x

2分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．

不同点：y2x的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在

对称轴的右边，曲线自左向右上升．

2y2x2的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；

在对称轴的右边，曲线自左向右下降．

回顾与反思在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．例2．已知y(k2)xk2k4是二次函数，且当x0时，y随x的增大而增大．

（1）求k的值；

（2）求顶点坐标和对称轴．

k2k42解（1）由题意，得，解得k=2．

k20 （2）二次函数为y4x，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2．（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．

分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．解（1）由题意，得S列表：

C 2 4 1 6 8 4 … … 212C(C0)． 16描点、连线，图象如图26．2．2．

（2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周长是4cm．（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4 cm2．回顾与反思

（1）此图象原点处为空心点．

（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y．（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．课堂练习

1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）y3x （2）y3x （3）y2．（1）函数

2212x 3y22x的开口，对称轴是，顶点坐标是； 3（2）函数

1yx2的开口，对称轴是，顶点坐标是．

43．已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的草图．课外作业

A组

1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．（1）y4x （2）y2．填空：

（1）抛物线y5x，当x= 时，y有最值，是．（2）当m= 时，抛物线y（3）已知函数而增大． 3．已知抛物线

2212x 4(m1)xmm开口向下．

22y(k2k)xk2k1是二次函数，它的图象开口，当x 时，y随x的增大

ykxk2k10中，当x0时，y随x的增大而增大．

（1）求k的值；（2）作出函数的图象（草图）．

4．已知抛物线yax经过点（1，3），求当y=9时，x的值．

B组

5．底面是边长为x的正方形，高为0．5cm的长方体的体积为ycm3．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm3时底面边长x的值；（4）根据图象，求出x取何值时，y≥4．5 cm3． 6．二次函数yax与直线（1）求a、b的值；

（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小． 27．

一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且过M（-2，2）．

（1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；

（2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出⊿MON的面积．课堂小结：教学反思：

22y2x3交于点P（1，b）．

26．2 二次函数的图象与性质（2）

教学目标：

1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．教学重点：二次函数的图象与性质教学难点：二次函数的图象与性质本节知识点

会画出yaxk这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．

2教学过程

同学们还记得一次函数

y2x与y2x1的图象的关系吗？

22 ，你能由此推测二次函数yx与yx1的图象之间的关系吗？，那么yx与yx2的图象之间又有何关系？．实践与探索

例1．在同一直角坐标系中，画出函数y2x与y2x2的图象．解列表．

x … … … -3 18 20 -2 8 10 -1 2 4 0 0 2 1 2 4 2 8 10 3 18 20 … … … 描点、连线，画出这两个函

2222数的图象，如图26．2．3所示．

回顾与反思当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？

探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数y2x与y2x2的图象之间的关系吗？

例2．在同一直角坐标系中，画出函数yx1与yx1的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线yx1得到抛物线yx1．解列表．

x … … … -3 -8 -10 -2 -3 -5 -1 0 -2 0 1 -1 1 0 -2 2 -3 -5 3 -8 -10 … … … 描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．

可以看出，抛物线

222222yx21是由抛物线yx21向下平移两

个单位得到的．

回顾与反思抛物线yx1和抛物线yx1分别是由抛物线yx向上、向下平移一个单位得到的．

探索如果要得到抛物线yx4，应将抛物线yx1作怎样的平移？

22222例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与求这条抛物线的函数关系式．

y12x相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），2解由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，-2），因此所求函数关系式可看作yax2(a0)，又抛物线经过点（1，1），所以，12a122，解得a3．

2故所求函数关系式为y3x2．

回顾与反思 yaxk（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：

开口方向课堂练习

1．在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：

对称轴顶点坐标 2y1211x， yx22， yx22． 222观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线

12xk的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2122．抛物线yx9的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛

412物线yx向平移个单位得到的．

4y3．函数y3x3，当x 时，函数值y随x的增大而减小．当x 时，函数取得最值，最值y= ．课外作业

A组

1．已知函数

2y1211x， yx23， yx22． 333（1）分别画出它们的图象；

（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；

12x5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 312122．不画图象，说出函数yx3的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数yx44（3）试说出函数

y通过怎样的平移得到的．

3．若二次函数yax2的图象经过点（-2，10），求a的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？

B组

24．在同一直角坐标系中yaxb与y22axb(a0,b0)的图象的大致位置是( )

5．已知二次函数y8x(k1)xk7，当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴？写出其函数关系式．课堂小结：教学反思：

26．2 二次函数的图象与性质（3）

教学目标：

1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．重点：二次函数的图象与性质难点：二次函数的图象与性质本节知识点

会画出ya(xh)这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．教学过程

我们已经了解到，函数yaxk的图象，可以由函数yax的图象上下平移所得，那么函数

222y11(x2)2的图象，是否也可以由函数yx2平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律22吗？实践与探索

例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

y1211x，y(x2)2 ，y(x2)2，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 222x … -3 -2 2 0 8 -1 0 0 2 2 1 2 2 8 0 3 … … … … 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．

它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是

（0，0），（-2，0），（2，0）．回顾与反思对于抛物线

解列表．

… … … y值，最值y= ．

1(x2)2，当x 时，函数2值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数取得最

11(x2)2和抛物线y1(x2)2分别是由抛物线yx2向左、向右平移两个单2221122位得到的．如果要得到抛物线y(x4)，应将抛物线yx作怎样的平移？

22探索抛物线y例2．不画出图象，你能说明抛物线y3x与y3(x2)之间的关系吗?

解抛物线y3x的顶点坐标为（0，0）；抛物线y3(x2)的顶点坐标为（-2，0）．因此，抛物线y3x与y3(x2)形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y轴和直线

222222x2．抛物线y3(x2)2是由y3x2向左平移2个单位而得的．

回顾与反思 ya(xh)（a、h是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：

开口方向课堂练习

1．画图填空：抛物线y(x1)的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线yx向平移个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

222对称轴顶点坐标 y2x2，y2(x3)2 ，y2(x3)2，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．

课外作业

A组

1．已知函数

111yx2，y(x1)2， y(x1)2．

222（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；

（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）分别讨论各个函数的性质．

2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线

1yx2得到抛物线

211y(x1)2和y(x1)2？

223．函数y3(x1)，当x 时，函数值y随x的增大而减小．当x 时，函数取得最值，最值y= ．

4．不画出图象，请你说明抛物线y5x与y5(x4)之间的关系．

B组

5．将抛物线yax向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点（1，3），求a的值．课堂小结：教学反思：

222226．2 二次函数的图象与性质（4）

教学目标：

1．掌握把抛物线yax平移至ya(xh)+k的规律；

2．会画出ya(xh)+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．教学过程

由前面的知识，我们知道，函数y2x的图象，向上平移2个单位，可以得到函数y2x2的图象；函数y2x的图象，向右平移3个单位，可以得到函数y2(x3)的图象，那么函数y2x的图象，如何平移，才能得到函数y2(x3)2的图象呢？实践与探索

222222222例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

y1211x，y(x1)2，y(x1)22，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 222x … … … … 8 6 -3 -2 2 2 0 -1 0 0 0 -2 1 2 2 2 0 3 … … … … 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．它们的开口方向都向，对称轴分别

为、、，顶点坐标分别为、、．请同学们完成填空，解列表．

并观察三个图象之间的关系．

回顾与反思二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数ya(xh)+k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．

探索你能说出函数ya(xh)+k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．

开口方向对称轴顶点坐标 22ya(xh)2+k 例2．把抛物线yxbxc向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线yx，求b、c的值．

分析抛物线yx的顶点为（0，0），只要求出抛物线yxbxc的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b、c的值．

2222b2b2b2b2c(x)c解 yxbxcxbx． 442422b2b22，向上平移2个单位，得到y(x)c24bb222，再向左平移4个单位，得到y(x4)c24bb22)，而抛物线yx2的顶点为（0，0），则其顶点坐标是(4,c24解得

b8 c142探索把抛物线yxbxc向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线yx，也就意味着把抛物线yx向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线yxbxc．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试．课堂练习

1．将抛物线y2(x4)1如何平移可得到抛物线y2x （） A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 2．把抛物线

222223yx2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式

2121x可由抛物线yx2向平移个单位，再向平移个22为． 3．抛物线

y12x单位而得到．课外作业

A组

1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

y3x2，y3(x2)2，y3(x2)21，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．

2．将抛物线yx2x5先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式． 3．将抛物线

2131yx2x如何平移，可得到抛物线yx22x3？

222B组

224．把抛物线yxbxc向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线yx3x5，则有（） A．b =3，c=7 B．b= -9，c= -15 C．b=3，c=3 D．b= -9，c=21

5．抛物线y3xbxc是由抛物线y3xbx1向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b、c的值．

6．将抛物线yax(a0)向左平移抛物线的函数关系式．课堂小结：教学反思：

222h个单位，再向上平移k个单位，其中h＞0，k＜0，求所得的

26．2 二次函数的图象与性质（5）

教学目标：

1．能通过配方把二次函数yaxbxc化成ya(xh)+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；

2．会利用对称性画出二次函数的图象．教学过程

我们已经发现，二次函数y2(x3)1的图象，可以由函数y2x的图象先向平移个单位，再向平移个单位得到，因此，可以直接得出：函数y2(x3)1的开口，对称轴是，顶点坐标是．那么，对于任意一个二次函数，如yx3x2，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？实践与探索

2222222例1．通过配方，确定抛物线y2x4x6的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．解 y2x4x6

因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．

2由对称性列表：

x … -2 -1 0 0 6 1 8 2 6 3 0 4 … … -10 -10 … 描点、连线，如图26．2．7所示．

回顾与反思（1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．

（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．

探索对于二次函数yaxbxc，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴，顶点坐标．

例2．已知抛物线yx(a2)x9的顶点在坐标轴上，求a的值．

分析顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0．

22a22(a2)2)9解 yx(a2)x9(x， 242a2(a2)2则抛物线的顶点坐标是,9．

42a20， 2解得 a2．

当顶点在x轴上时，有

(a2)20，当顶点在y轴上时，有 94解得

2a4或a8．

所以，当抛物线yx(a2)x9的顶点在坐标轴上时，a有三个值，分别是 –2，4，8．课堂练习

1．（1）二次函数yx2x的对称轴是．

（2）二次函数y2x2x1的图象的顶点是，当x 时，y随x的增大而减小．（3）抛物线yax4x6的顶点横坐标是-2，则a= ． 2．抛物线yax2xc的顶点是(课外作业

A组

1．已知抛物线

22221,1)，则a、c的值是多少？ 3y125x3x，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象． 222．利用配方法，把下列函数写成ya(xh)+k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

（1）yx6x1

222（2）y2x3x4

22（3）yxnx （4）yxpxq 3．已知

y(k2)xk22k6是二次函数，且当x0时，y随x的增大而增大．

B组

（1）求k的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．

4．当a0时，求抛物线yx22ax12a2的顶点所在的象限．

25. 已知抛物线yx4xh的顶点A在直线课堂小结：教学反思：

y4x1上，求抛物线的顶点坐标．

26．2 二次函数的图象与性质（6）

教学目标：

1．会通过配方求出二次函数yaxbxc(a0)的最大或最小值；

2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．教学过程

在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如

问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数

2y10x2100x2000．那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？你能解决

吗? 实践与探索

例1．求下列函数的最大值或最小值．

（1）y2x3x5；（2）yx3x4．

22分析由于函数y2x3x5和yx3x4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．解（1）二次函数y2x3x5中的二次项系数2＞0，因此抛物线y2x3x5有最低点，即函数有最小值．因为y2x3x5=2(x所以当x

222223249， )48

3492时，函数y2x3x5有最小值是． 482（2）二次函数yx3x4中的二次项系数-1＜0，因此抛物线yx3x4有最高点，即函数有最大值．因为yx3x4=(x所以当x223225， )24325． 时，函数yx23x4有最大值是

24回顾与反思最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．

探索试一试，当2．5≤x≤3．5时，求二次函数yx2x3的最大值或最小值．

例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：

x（元） y（件）销售利润是多少？

分析日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量．解由表可知x+y=200，因此，所求的一次函数的关系式为设每日销售利润为s元，则有

130 70 150 50 165 35 2若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日

yx200．

sy(x120)(x160)21600．

因为x2000,x1200，所以120x200．

所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元．回顾与反思解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．

例3．如图26．2．8，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．（1）用含y的代数式表示AE；

（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；

（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．解（1）由题意可知，四边形DECF为矩形，因此

AEACDF8y．

（2）由DE∥BC，得所以，

DEAEx8y，即， BCAC48y82x，x的取值范围是0x4．

22（3）Sxyx(82x)2x8x2(x2)8，所以，当x=2时，S有最大值8．课堂练习

1．对于二次函数yx2xm，当x= 时，y有最小值．

2．已知二次函数ya(x1)b有最小值 –1，则a与b之间的大小关系是（） A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能确定

3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？课外作业

A组

1．求下列函数的最大值或最小值．

（1）yx2x；（2）y2x2x1． 2．已知二次函数yx6xm的最小值为1，求m的值．，

3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：

22222y0.1x22.6x43(0x30)．y值越大，表示接受能力越强．

（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？

B组

4．不论自变量x取什么数，二次函数y2x6xm的函数值总是正值，求m的取值范围． 5．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2．（1）求S与x的函数关系式；

（2）如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？（3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出

2最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

6．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，AD，FH⊥BC，垂足分别是G、H，且EG+FH=EF．（1）求线段EF的长；

（2）设EG=x，⊿AGE与⊿CFH的面积和为S，写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值．课堂小结：教学反思：

EG⊥

26 . 2 二次函数的图象与性质（7）

教学目标：

会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．教学过程

一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数ykxb(k0)的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数

2yk(k0)的关系式时，通常只需要一个条件：如x果要确定二次函数yaxbxc(a0)的关系式，又需要几个条件呢？实践与探索

例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？

分析如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是

yax2(a0)．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．

解由题意，得点B的坐标为（0．8，-2．4），

又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入yax(a0)，得所以因此，函数关系式是

2a15． 4y152x． 4例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；

（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4．

分析（1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为yaxbxc的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为ya(x1)3，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（3）根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为ya(x3)(x5)，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为

22ya(x3)22，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与

x轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入ya(x3)2，即可求出a的值．解（1）设二次函数关系式为yaxbxc，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到c= -1．又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到解这个方程组，得

a=2，b= -1．

所以，所求二次函数的关系式是y2x2x1．

（2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为ya(x1)3，又由于抛物线与y轴交于点（0，1），可以得到

解得

2222a4．

22所以，所求二次函数的关系式是y4(x1)34x8x1．（3）因为抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），所以设二此函数的关系式为ya(x3)(x5)．又由于抛物线与y轴交于点（0，3），可以得到 3a(03)(05)．

解得

a1． 5所以，所求二次函数的关系式是

112y(x3)(x5)x2x3．

555（4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成．

回顾与反思确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：（1）一般式：yaxbxc(a0)，给出三点坐标可利用此式来求．

（2）顶点式：ya(xh)k(a0)，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．

22（3）交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0)时可利用此式来求．课堂练习

1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；

（3）已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．

2．二次函数图象的对称轴是x= -1，与y轴交点的纵坐标是 –6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式．课外作业

A组

1．已知二次函数yxbxc的图象经过点A（-1，12）、B（2，-3），（1）求该二次函数的关系式；

（2）用配方法把（1）所得的函数关系式化成ya(xh)k的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴．

2．已知二次函数的图象与一次函数

22y4x8的图象有两个公共点P（2，m）、Q（n，

-8），如果抛物线的对称轴是x= -1，求该二次函数的关系式．

3．某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．

4．已知二次函数yaxbxc，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式．

B组

5．已知二次函数yxbxc的图象经过（1，0）与（2，5）两点． (1)求这个二次函数的解析式；

(2)请你换掉题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数yxbxc解析式的题目，使所求得的二次函数与（1）的相同．

6．抛物线yx2mxn过点（2，4），且其顶点在直线课堂小结：教学反思：

2222y2x1上，求此二次函数的关系式．

26 . 3 实践与探索（1）

教学目标：

1、会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．

2、会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．教学重点：确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．

教学难点：确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．本节知识点

会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．教学过程

生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2004雅典奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？实践与探索

例1．如图26．3．1，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是

y1225xx，问此运动员把铅球推出多远？ 12331225xx0． 123310,x22（不合题意，舍去）．

解如图，铅球落在x轴上，则y=0，因此，解方程，得x1所以，此运动员把铅球推出了10米．

探索此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面

5m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地面上的点10m，铅球运行中3最高点离地面3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式．你能解决吗？试一试．例2．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m．

（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？

（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）分析这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图26．3．3，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题．

解（1）以O为原点，OA为y轴建立坐标系．设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C（如图26．3．3）．

由题意得，A（0，1．25），B（1，2．25），因此，设抛物线为ya(x1)2.25．

将A（0，1．25）代入上式，得1.25a(01)2.25，解得

22a1

2所以，抛物线的函数关系式为y(x1)2.25．当y=0时，解得 x=-0．5（不合题意，舍去），x=2．5，所以C（2．5，0），即水池的半径至少要2．5m．

（2）由于喷出的抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为y(xh)k．由抛物线过点（0，1．25）和（3．5，0），可求得h= -1．6，k=3．7．所以，水流最大高度应达3．7m．课堂练习

1．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1．9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5．5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？ 2．在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2．5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？课外作业

A组

1．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2．44米，问能否射中球门？ 2．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．

下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；

（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

3．如图，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2．5m时，达到最大高度3．5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3．05m．（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；（2）该运动员身高1．8m，在这次跳投中，球在头顶上方 0．25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ B组

4．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢

固起见，每段护栏需按间距0．4m加设不锈钢管（如图a）做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图b所示的坐标系进行计算．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度．

5．某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10

2m，入水处距池边的距离为4m，3同时运动员在距水面高度5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的函数关系式；

（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3课堂小结：教学反思：

3m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由． 526 . 3 实践与探索（2）

教学目标：

1、会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．

2、会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．教学重点：确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．教学难点：确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．本节知识点

让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程．教学过程

二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的问题：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米．请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．你能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解决．实践与探索

例1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；

b24acb2)（2）将（1）中所求出的二次函数配方成ya(x的形式，写出顶点坐标；在直角2a4a坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？

分析若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出函数关系式。解（1）根据题意，得 2x（2）y2260x6500(30≤x≤70)。

2x2260x65002(x65)21950。

顶点坐标为（65，1950）。二次函数草图略。

经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。

例2。某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表： X（十万元） y 0 1 1 1．5 2 1．8 … … （1）求y与x的函数关系式；

（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；

（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？

解（1）设二次函数关系式为yaxbxc。

2c1由表中数据，得abc1.5 。

4a2bc1.81a103解得b。

5c1所以所求二次函数关系式为

y123xx1。 1052（2）根据题意，得S10y(32)xx5x10。（3）S565。 x25x10(x)224由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2。5时，S随x的增大而增大。．课堂练习

1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（） A、5元 B、10元 C、15元 D、20元

2．某公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量

x277x，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试将是原销售量的y倍，且y101010写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是是多少万元？课外作业

A组

1.某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量t（件），与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：t=-3x+204。

（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；

（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？

2．某旅社有客房120间，当每间房的日租金为50元时，每天都客满，旅社装修后，要提高租金，经市场调查，如果一间客房日租金增加5元，则客房每天出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房日租金提高到多少元时，客房的总收入最大？比装修前客房日租金总收入增加多少元？

3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式；

(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

B组

4．行驶中的汽车在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能﹙车速不超过140千米/时﹚，对这种汽车进行测试，数据如下表：

刹车时车速（千米/时）刹车距离结这些点，得到函数的大致图象；

﹙2﹚观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数关系式；

﹙3﹚该型号汽车在国道上发生一次交通事故，现场测得刹车距离为46．5米，请推测刹车时的车速是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？课堂小结：教学反思：

0 0 10 20 30 40 50 60 0．3 1．0 2．1 3．6 5．5 7．8 ﹙1﹚以车速为x轴，以刹车距离为y轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连

26 . 3 实践与探索（3）

教学目标：

1、会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．

（1）会求出二次函数yaxbxc与坐标轴的交点坐标；

（2）了解二次函数yaxbxc与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．教学过程

给出三个二次函数：（1）yx3x2；（2）yxx1；（3）yx2x1．它们的图象分别为

观察图象与x轴的交点个数，分别是个、个、个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？

另外，能否利用二次函数yaxbxc的图象寻找方程axbxc0(a0)，不等式

2222222ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)的解？

实践与探索

例1．画出函数yx2x3的图象，根据图象回答下列问题．（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？

（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程x2x30有什么关系？（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？解图象如图26．3．4，

（1）图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为（0，-3）．（2）当x= -1或x=3时，y=0，x的取值与方程x2x30的解相同．（3）当x＜-1或x＞3时，y＞0；当 -1＜x＜3时，y＜0．

回顾与反思（1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．

例2．（1）已知抛物线y2(k1)x4kx2k3，当k= 时，抛物线与x轴相交于两点．

（2）已知二次函数y(a1)x2ax3a2的图象的最低点在x轴上，则a= ．（3）已知抛物线yx(k1)x3k2与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且则k的值是．

分析（1）抛物线y2(k1)x4kx2k3与x轴相交于两点，相当于方程

22222222217，

2(k1)x24kx2k30有两个不相等的实数根，即根的判别式⊿＞0．

（2）二次函数y(a1)x2ax3a2的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程

2(a1)x22ax3a20的两个实数根相等，即⊿=0．

（3）已知抛物线yx(k1)x3k2与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），即α、β是方程x(k1)x3k20的两个根，又由于利用根与系数的关系即可得到结果．请同学们完成填空．

回顾与反思二次函数的图象与x轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，这可从计算根的判别式入手．

例3．已知二次函数yx(m2)xm1，

（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？

（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？

2222217，以及22()22，

分析（1）要说明不论m取任何实数，二次函数yx(m2)xm1的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程x(m2)xm10有两个不相等的实数根，即⊿＞0．

（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程x(m2)xm10有两个负实数根，因而必须符合条件①⊿＞0，②x1x20，③x1x20．综合以上条件，可解得所求m的值的范围．（3）二次函数的图象的对称轴是y轴，说明方程x(m2)xm10有一正一负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①⊿＞0，②x1222222x20．

2解（1）⊿=(m2)4(1)(m1)m8，由m0，得m280，所以⊿＞0，即不

论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点．

（2）由x1x2m20，得m2；由x1x2m10，得m1；又由（1），⊿＞0，因此，当m1时，两个交点都在原点的左侧．

（3）由x1x2m20，得m=2，因此，当m=2时，二次函数的图象的对称轴是y轴．探索第（3）题中二次函数的图象的对称轴是y轴，即二次函数yx(m2)xm1是由函数

2yx2上下平移所得，那么，对一次项系数有何要求呢？请你根据它入手解本题．

课堂练习

1．已知二次函数yx3x4的图象如图，则方程x3x40的解是，不等式x3x40的解集是，不等式x3x40的解集是．

2．抛物线y3x2x5与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为． 3．已知方程2x3x50的两根是距离为．

4．函数yaxax3x1的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标．课外作业

A组

1．已知二次函数yxx6，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题．

2222222252，-1，则二次函数y2x3x5与x轴的两个交点间的2（1）方程xx60的解是什么？

（2）x取什么值时，函数值大于0？x取什么值时，函数值小于0？ 2．如果二次函数yx6xc的顶点在x轴上，求c的值．

3．不论自变量x取什么数，二次函数y2x6xm的函数值总是正值，求m的取值范围． 4．已知二次函数y2x4x6，

求：（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图；（2）以此函数图象与x轴、y轴的交点为顶点的三角形面积；（3）x为何值时，y＞0．

5．你能否画出适当的函数图象，求方程x22222x2的解？

B组

6．函数ymxx2m（m是常数）的图象与x轴的交点有（） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 7．已知二次函数yxaxa2．

（1）说明抛物线yxaxa2与x轴有两个不同交点；（2）求这两个交点间的距离（关于a的表达式）；（3）a取何值时，两点间的距离最小？课堂小结：教学反思：

22226 . 3 实践与探索（4）

教学目标：

1、会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．

掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法．教学过程

上节课的作业第5题：画图求方程x不同的方法．甲：将方程x22x2的解，你是如何解决的呢？我们来看一看两位同学

x2化为x2x20，画出yx2x2的图象，观察它与x轴的交点，得

出方程的解．

乙：分别画出函数yx和标作为方程的解．

2yx2的图象，观察它们的交点，把交点的横坐

你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．实践与探索

例1．利用函数的图象，求下列方程的解：（1）x2x30 ；（2）2x5x20．

分析上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线yx的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，交点的横坐标即为方程的解．

解（1）在同一直角坐标系中画出函数yx和

2222y2x3的图象，

如图26．3．5，

得到它们的交点（-3，9）、（1，1），则方程x2x30的解为 –3，1．（2）先把方程2x5x20化为

225x10，然后在同一直角 252坐标系中画出函数yx和yx1

2x2的图象，如图26．3．6，

11，）、（2，4）， 2412则方程2x5x20的解为，2．

2得到它们的交点（

回顾与反思一般地，求一元二次方程axbxc0(a0)的近似解时，可先将方程

2ax2bxc0化为x2bcbcx0，然后分别画出函数yx2和yx的图象，得出交aaaa点，交点的横坐标即为方程的解．

例2．利用函数的图象，求下列方程组的解：

13yxy3x6(1)． 22；（2）2yx2xyx2分析（1）可以通过直接画出函数组的解；（2）也可以同样解决．

13yx和yx2的图象，得到它们的交点，从而得到方程

222解（1）在同一直角坐标系中画出函数yx和y得到它们的交点（13x的图象，如图26．3．7，

2239，）、（1，1）， 24313x1yx2,x21则方程组． 22的解为9y12yyx214（2）在同一直角坐标系中画出函数yx2x和26．3．8，

2y3x6的图象，如图

y3x6得到它们的交点（-2，0）、（3，15），则方程组的解为2yx2xx12x23． ,y10y215探索（2）中的抛物线画出来比较麻烦，你能想出更好的解决此题的方法吗？比如利用抛物线yx的图象，请尝试一下．课堂练习

1．利用函数的图象，求下列方程的解：（1）xx10（精确到0．1）；（2）3x5x20．

222yx22．利用函数的图象，求方程组的解： 2yx课外作业

A组

1．利用函数的图象，求下列方程的解：（1）x2321x10 （2）x2x0 2332．利用函数的图象，求下列方程组的解：（1）yxy(x1)52；（2）yx6yx2x2．

B组

3．如图所示，二次函数y1axbxc(a0)与y2kxb(k0)的图象交于A（-2，4）、B（8，2）．求能使围。课堂小结：教学反思：

2y1y2成立的x的取值范

第26章小结与复习

一、本章学习回顾 1．知识结构

实二二次函数的图象际次2．学习要点二次函数的应用问函（1）能结合实例说出二次函数的意义。二次函数的性质题数（2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。（3）掌握二次函数的平移规律。（4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。（5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。（6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。（7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。 3．需要注意的问题

在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。在二次函数图象的平移变化中，在用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都体现了数形结合的思想。二、本章复习题

A组

一、填空题 1．已知函数

ymxmm，当m= 时，它是二次函数；当m= 时，抛物线的开口向上；

2当m= 时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数．

2．抛物线yax经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为． 3．抛物线y(k1)xk9，开口向下，且经过原点，则k= ．

4．点A（-2，a）是抛物线yx上的一点，则a= ； A点关于原点的对称点B是；A点关于y轴的对称点C是；其中点B、点C在抛物线yx上的是． 5．若抛物线yx4xc的顶点在x轴上，则c的值是． 6．把函数

2222221yx2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得新图象的函数关系式

6为．

7．已知二次函数yx8xm的最小值为1，那么m的值等于． 8．二次函数yx2x3的图象在x轴上截得的两交点之间的距离为．

9．抛物线yx2x1的对称轴是，根据图象可知，当x 时，y随x的增大而减小．

10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过点（-2，-2），则抛物线的函数关系式为．

11．若二次函数yxbxc的图象经过点（2，0）和点（0，1），则函数关系式为． 12．抛物线yx2x3的开口方向向，顶点坐标是，对称轴是，与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是，当x= 时，y有最值是．

13．抛物线yxxc与x轴的两个交点坐标分别为(x1,0)，(x2,0)，若x1x23，那么c值为，抛物线的对称轴为．

14．已知函数y(m1)x2xm4．当m 时，函数的图象是直线；当m

时，函数的图象是抛物线；当m 时，函数的图象是开口向上，且经过原点的抛物线． 15．一条抛物线开口向下，并且与x轴的交点一个在点A（1，0）的左边，一个在点A（1，0）的右边，而与y轴的交点在x轴下方，写出这条抛物线的函数关系式．三、选择题

16．下列函数中，是二次函数的有（） ①y122222222222x2 ②y1 ③yx(1x) ④y(12x)(12x) x222A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

17．若二次函数y(m1)xm2m3的图象经过原点，则m的值必为（） A、-1或3 B、-1 C、3 D、无法确定

18．二次函数yx2(m1)x4m的图象与x轴（） A、没有交点 B、只有一个交点 C、只有两个交点 D、至少有一个交点 19．二次函数yx2x2有

A、最大值1 B、最大值2 C、最小值1 D、最小值2 20．在同一坐标系中，作函数y3x，y3x，

2222（）

y12x的图象，它们的共同特点是 3 （D ） A、都是关于x轴对称，抛物线开口向上 B、都是关于y轴对称，抛物线开口向下 C、都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点 D、都是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点

21．已知二次函数ykx7x7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（）

277 B、K且k0

4477C、K D、K且k0

44112222．二次函数y(x1)2的图象可由yx的图象（）

22A、KA．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到 C．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到 D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到

23．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去．为了投资少而获利大，每床每晚应提高（）

A、4元或6元 B、4元 C、6元 D、8元

24．若抛物线yaxbxc的所有点都在x轴下方，则必有（） A、a0,b4ac0 B、a0,b4ac0 C、a0,b4ac0 D、a0,b4ac0

25．抛物线y2x4x1的顶点关于原点对称的点的坐标是（） A、（-1，3） B、（-1，-3） C、（1，3） D、（1，-3）三、解答题 26．已知二次函数

222222y12x2x1． 2（1）写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大或最小值；（2）求抛物线与x轴、y轴的交点；（3）作出函数图象的草图；

（4）观察图象，x为何值时，y＞0；x为何值时，y= 0；x为何值时，y＜0？ 27．已知抛物线过（0，1）、（1，0）、（-1，1）三点，求它的函数关系式．

28．已知二次函数，当x=2时，y有最大值5，且其图象经过点（8，-22），求此二次函数的函数关系式． 29．已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值2．（1）求二次函数的函数关系式；

（2）设此二次函数图象的顶点为P，求⊿ABP的面积． 30．利用函数的图象，求下列方程（组）的解：（1）2x2x30；

（2）y3x1yxx2．

31．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数：m=162-3x．

（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；

（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

B组

一、选择题

32．若所求的二次函数的图象与抛物线y2x4x1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x

的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的函数关系式为（ D ）

A、yx2x4 B、yax2axa3(a0) C、y2x4x5 D、yax2axa3(a0)

33．二次函数yaxbxc(a0)，当x=1时，函数y有最大值，设(x1,y1)，（x2,y2)是这个函数图象上的两点，且1x1x2，则（） A、a0,y1y2 B、aC、a2222220,y1y2

0,y1y2 D、a0,y1y2

34．若关于x的不等式组（）

xa312无解，则二次函数y(2a)xx的图象与x轴

4x155aA、没有交点 B、相交于两点

C、相交于一点 D、相交于一点或没有交点二、解答题 35．若抛物线

y2xm224m3(m5)的顶点在x轴的下方，求m的值．

36．把抛物线yxmxn的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是

yx22x2，求m、n．

37．如图，已知抛物线

1yx2(5m2)xm3，与x轴

2交于A、B，且点A在x轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，OA=OB，（1）求m的值；

（2）求抛物线关系式，并写出对称轴和顶点C的坐标．

38．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请写出满足上述全部特点的一个二次函数的关系式．

C组

解答题

39．如图，已知二次函数yxmxn，当x=3时，有最大值4．（1）求m、n的值；

（2）设这个二次函数的图象与x轴的交点是A、B，求A、B点的坐标；

（3）当y＜0时，求x的取值范围；

（4）有一圆经过A、B，且与y轴的正半轴相切于点C，求C点坐标．

40．阅读下面的文字后，解答问题．

有这样一道题目：“已知二次函数y=ax+bx+c的图象经过点A(0,a) 、B(1,-2)、、，

求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=2．”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．

（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式? 若能，写出求解过程，若不能请说明理由；（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填上一个适当的条件，把原题补充完整．

41．已知开口向下的抛物线yaxbxc与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜x2，P为顶点，∠APB=90°，若x1、x2是方程x2(m2)xm210的两个根，且x1x226．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的函数关系式．

42．已知二次函数yx(m2)x3(m1)的图象如图所示．（1）当m≠-4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）求m的取值范围；（3）在（2）的情况下，若

222222

22OAOB6，求C点坐标；

（4）求A、B两点间的距离；（5）求⊿ABC的面积S．课堂小结：教学反思：

第27章圆圆的认识

教学目标：

1、知识与技能：使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念。 2、过程与方法：让学生通过实际操作深刻认识圆中的基本概念。 3、情感态度与价值观：培养学生观察、思考、归纳的能力。教学重点：圆中的基本概念的认识。教学难点：对等弧概念的理解。教学过程

（一）情境导入：圆是如何形成的？

请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。如右图，线段OA绕着它固定的一个

端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形。

同学们想一想，如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法。

由以上的画圆和解答问题的过程中，让同学们思考圆的位置是由什么决定的？而大小又是由谁决定的？（圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长度决定） (二)问题：

据统计，某个学校的同学上学方式是，有50%的同学步行上学，有20%的同学坐公共汽车上学，其他方式上学的同学有30%，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式。

我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，右上图就是反映学校学生上学方式的扇子形统计图。

如图线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AB为直径，.这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”。

︵︵

线段AB、BC、AC都是圆O中的弦，曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记为BC、BAC，其中像弧BC这

︵

样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，

︵像弧BAC.这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。

∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角。

结合上面的扇形统计图，进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素。三、课堂练习

1、直径是弦吗？弦是直径吗？ 2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？

3、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要什么条件呢？

4、比较右图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，再用圆规验证你的结论是否正确。 5、说出上右图中的圆心角、优弧、劣弧。 6、直径是圆中最长的弦吗？为什么？（四）课后小结

小结本节课我们认识了圆中的一些元素，同学应能从具体的图形中对这些元素加以识别。（五）课后作业：（六）课后反思：

圆的对称性

教学目标：

1、知识与技能：使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形。

2、过程与方法：并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，

3、情感态度与价值观：能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。教学重点：由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。教学难点：运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。教学过程：（一）情境导入

要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，

可以发现，两个圆都是互相重合的。如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。

由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。 (二)实践与探索1

（1）、同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。

实验1、将图形中的扇形AOB绕点O逆时针旋转某个角度，得到图中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现AOBAOB，ABAB，ABAB。

实质上，AOB确定了扇形AOB的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。

问题：在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？

在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？

（三）应用与拓展思考：如图，在一个半径为6米的圆形花坛里，准备种植六种不同颜色的花卉，要求每种花卉的种植面积相等，请你帮助设计种植方案。

（2）如图，在⊙O中，ACBC，145，求2的度数。

（3）如图，在⊙O中，AB＝AC，∠B＝70°.求∠C度数.

︵︵

（4）如图，AB是直径，BC＝CD＝DE，∠BOC＝40°，求∠AOE的度数（四）课后小结

本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，而由圆的对称性

︵︵︵

又得出许多圆的许多性质，即（1）同一个圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等。（2）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。（3）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等。（五）课后作业：（六）课后反思：

圆周角

教学目标：

1、知识与技能：知道什么样的角是圆周角；了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。 2、过程与方法：能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题。 3、情感态度与价值观：通过对圆心角和圆周角关系的探索，培养学生运用已有知识，进行实验、猜想、论证，从而得到新知。进一步体会分类讨论的思想。教学重点：

1、了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征

2、能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题教学难点：对圆心角和圆周角关系的探索，分类思想的应用。教学过程：（一）情境导入

如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆

心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。

如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。 (二)实践与探索1：圆周角

究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的解就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角都

不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。（顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角）练习：试找出图中所有相等的圆周角。（三）实践与探索2：圆周角的度数

（一）探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？而90的圆周角所对的弦是否是直径

如图，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？为什么呢？

启发学生用量角器量出ACB的度数，而后让同学们再画几个直径AB所对的圆周角，并测量出它们的度数，通过测量，同学们感性认识到直径所对的圆周角等于90（或直角），进而给出严谨的说明。

证明：因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、△BOC都是等腰三角形，所以∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB.

180又 ∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，所以 ∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝＝90°.因此，不管

2点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°，即

半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径

（二）探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系

1、分别量一量图中弧AB所对的两个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化. 你发现其中有什么规律吗？

图28.1.10 （2）分别量出图中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？我们可以发现，圆周角的度数没有变化. 并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半。

由上述操作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于

该弧所对的圆心角的一半。

为了验证这个猜想，如图所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：（1）折痕是圆周角的一条边，（2）折痕在圆周角的内部，（3）折痕在圆周角的外部。（三）应用与拓展

1、在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等吗？为什么？相等的圆周角所对的弧相等吗，为什么？ 2、你能找出右图中相等的圆周角吗？

3、这是一个圆形的零件，你能告诉我，它的圆心的位置吗？你有什么简捷的办法？

1、如图，如图，AB是⊙O的直径，∠A＝80°．求∠ABC的度数．在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x＋100）°和（5x－30）°，所对的圆心角和圆周角的度数. 求这条弧

（四）课后小结本节课我们一同探究了同圆或等圆中，一条弧所对的圆周条弧所对的圆心角的一半；由这个结论进一步得到：同圆或等圆中，同弧或

图28.1.12 角等于这等弧所对

的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等；半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。90°（直角）的圆周角所对的弦是圆的直径等结论，希望同学们通过复习，记住这些知识，并能做到灵活应用他们解决相关问题。（五）课后作业：课本43页习题6、7 （六）课后反思：

与圆有关的位置关系点与圆的位置关系

教学目标：

1、知识与技能：了解点与圆的三种位置关系，能够用数量关系来判断点与圆的位置关系。 2、过程与方法：掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,能画出三角形的外接圆,求出特殊三角形的外接圆的半径。

3、情感态度与价值观：渗透方程思想，分类讨论思想。

教学重点：用数量关系判断点和圆的位置关系,用尺规作三角形的外接圆,求直角三角形、等边三角形和等腰三角形的半径。

教学难点：运用方程思想求等腰三角形的外接圆半径。教学过程：（一）情境导入

同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许多圆组成的，射击

的成绩是由击中靶子不同位置所决定的；右图是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹。你知道这个运动员的成绩吗？请同学们算一算。（击中最里面的圆的成绩为10环，依次为9、8、…、1环）

这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系，如何判断点与圆的位置关系呢？这就是本节课研究的课题。 (二)实践与探索1：点与圆的位置关系

我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径，若点在圆上，那么这个点到圆心的距离等于半径，

若点在圆外，那么这个点到圆心的距离大于半径，若点在圆内，那么这个点到圆心的距离小于半径。如图，设⊙O的半径为r，A点在圆内，B点在圆上，C点在圆外，那OA＜r， OB＝r， OC＞r．反过来也成立，即

若点A在⊙O内 OAr 若点A在⊙O上 OAr 若点A在⊙O外 OAr 思考与练习 1、⊙O的半径r 图28.2.1 5cm，圆心O到直线的AB距离dOD3cm。在直线AB上有P、Q、R三点，且有

PD4cm，QD4cm，RD4cm。P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎么样的？

2、RtABC中，C90，CDAB，AB13，AC5，对C点为圆心，

60为半径的圆与13点A、B、D的位置关系是怎样的？

(三)实践与探索2：不在一条直线上的三点确定一个圆

问题与思考：平面上有一点A，经过A点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有两点A、B，经过A、B

点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有三点A、B、C，经过A、B、C三点的圆有几个？圆心在哪里？。

从以上的图形可以看到，经过平面上一点的圆有无数个，这些圆的圆心分布在整个平面；经过平

面上两点的圆也有无数个，这些圆的圆心是在线段AB的垂直平分线上。经过A、B、C三点能否画圆呢？同学们想一想，画圆的要素是什么？（圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小），所以关键的问题是定其加以和半径。

如图，如果A、B、C三点不在一条直线上，那么经过A、B两点所画的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，而经过B、C两点所画的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上，此时，这两条垂直平分线一定相交，设交点为O，则OA＝OB＝OC，于是以O为圆心，OA为半径画圆，便可画出经过A、B、C三点的圆．

思考：如果A、B、C三点在一条直线上，能画出经过三点的圆吗？为什么？即有：不在同一条直线上的三个点确定一个圆

也就是说，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。

思考：随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上，是否一定可以画一个圆经过这四点？请举例说明。

（四）应用与拓展例1、如图，已知RtCABC中，C90，若AC5cm，

B例1ABC12cm，求ΔABC的外接圆半径。

解：略

例2、如图，已知等边三角形ABC中，边长为6cm，求它的外接圆半径。解：略

例3、如图，等腰

ABC中，ABAC13cm，BC10cm，求ABC外接圆的半径。

（四）课后小结本节课我们学习了用数量关系判断点和圆的位置关系和不在同一直线上的三点确定一个圆，求解了特殊三角形直角三角形、等边三角形、等腰三角形的外接圆半径，在求解等腰三角形外接圆半径时，运用了方程的思想，希望同学们能够掌握这种方法，领会其思想。（五）课后作业：习题1、2、3、4 （六）课后反思：

直线与圆的位置关系

教学目标：

1、知识与技能：使学生掌握直线与圆的位置关系，能用数量来判断直线与圆的位置关系。 2、过程与方法：通过学习，能熟练掌握直线与圆的位置关系，并能解决相关问题。 3、情感态度与价值观：进一步体会分类讨论思想。

教学重点：用数量关系（圆心到直线的距离）判断直线与圆的位置关系教学难点：用数量关系（圆心到直线的距离）判断直线与圆的位置关系教学过程：

（一）情境导入：用移动的观点认识直线与圆的位置关系

1、同学们也许看过海上日出，如右图中，如果我们把太阳看作一个圆，那么太阳在升起的过程中，

它和海平面就有右图中的三种位置关系。

2、请同学在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？ (二)实验与探究1：

数量关系判断直线与圆的位置关系

从以上的两个例子，可以看到，直线与圆的位置关系只有以下三

种，如下图所示：如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离，如图（1）所示．如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切，如图（2）所示．此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，如图（3）所示．此时这条直线叫做圆的割线．如何用数量来体现圆与直线的位置关系呢？

如上图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的

如何用数量来体现圆与直线的位置关系呢？

如上图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，从图中可以看出：

若d若d若dr 直线l与⊙O相离； r 直线l与⊙O相切； r 直线l与⊙O相交；

所以，若要判断圆与直线的位置关系，必须对圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小，由比较的结果得出结论。（三）应用与拓展

练习1、已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线l的距离是：

（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米.

直线l和圆分别有几个公共点？分别说出直线l与圆的位置关系。

练习2、已知圆的半径等于10厘米，直线和圆只有一个公共点，求圆心到直线的距离.

练习3、如果⊙O的直径为10厘米，圆心O到直线AB的距离为10厘米，那么⊙O 与直线AB有怎样的位置关系？

例1、RtΔABC中，∠C=90，AC=3，BC=4，CM⊥AB于M，以C为圆心，CM为半径作⊙C，则点A、B、C、AB的中点E与⊙C的位置关系分别是、、、。解略

（四）课后小结本节课我们学习了直线与圆的位置关系，当我们判断直线与圆的位置关系时，应该用数量关系（圆心到直线的距离）来体现，即上面讲解的圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小，从而断定是哪种关系。若d若d若dr 直线l与⊙O相离； r 直线l与⊙O相切； r 直线l与⊙O相交；

习题5、6、7 （五）课后作业：（六）课后反思：

切线（1）

教学目标：

1、知识与技能：使学生掌握切线的识别方法，并能初步运用它解决有关问题。 2、过程与方法：通过实际操作，让学生加深对切线的识别方法的认识。

3、情感态度与价值观：通过切线识别方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力。教学重点：切线的识别方法教学难点：方法的理解及实际运用教学过程：

（一）复习情境导入:1、复习、回顾直线与圆的三种位置关系． 2、请学生判断直线和圆的位置关系．

学生判断的过程，提问：你是怎样判断出图中的直线和圆相切的？根据学生的回答，继续提出问题：如何界定直线与圆是否只有一个公共点？教师指出，根据切线的定义可以识别一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义识别很不方便，为此我们还要学习识别切线的其它方法．(板书课题)

(二)实践与探索1：圆的切线的判断方法 1、由上面的复习，我们可以把上节课所学的切线的定义作为识别切线的方法1——定义法：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．

2、当然，我们还可以由上节课所学的用圆心到直线的距离d与半径r之间的关系来判断直线与圆是否相切，即：当dr时，直线与圆的位置关系是相切．以此作为识别切线的方法2——数量关系法：圆心到

直线的距离等于半径的直线是圆的切线．

3、实验：作⊙O的半径OA，过A作l⊥OA可以发现：（1）直线l经过半径OA的外端点A；（2）直线l垂直于半径OA．这样我们就得到了从位置上来判断直线是圆的切线的方法3——位置关系法：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．三、课堂练习

思考：现在，任意给定一个圆，你能不能作出圆的切线？应该

OlA如何作？

请学生回顾作图过程，切线l是如何作出来的?它满足哪些条件? 引导学生总结出：①经过半径外端；②垂直于这条半径．

请学生继续思考：这两个条件缺少一个行不行? （学生画出反例图）

（图1）（图2）图Ol（3）

图(1)中直线l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)中直线经过半径外端．从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直

Al与半径垂直，但不

线不是圆的切线．

最后引导学生分析，方法3实际上是从前一节所讲的“圆心到直线的距离等于半径时直线和圆相切”这个结论直接得出来的，只是为了便于应用把它改写成“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这种形式．（四）应用与拓展：

例1、如图，已知直线AB经过⊙O上的点A，并且AB＝OA，OBA=45，直线AB是⊙O的切线吗？为什么？例2、如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，BAD＝B＝30，边BD交圆于点D．BD是⊙O的切线吗？为什么？

OAB分析：欲证BD是⊙O的切线，由于BD过圆上点D，若连结OD，则BD过半径OD的外端，因此只需证明BD⊥OD，因OA＝OD，BAD＝B，易证BD⊥OD．教师板演，给出解答过程及格式．课堂练习：课本练习1－4

（五）课后小结识别一条直线是圆的切线，有三种方法： (1)根据切线定义判定，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线； (3)根据直线的位置关系来判定，即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，

说明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线，如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径即可(如例2)．（六）课后作业：（七）课后反思：

切线（2）

教学目标：

1、知识与技能：通过探究,使学生发现、掌握切线长定理，并初步长定理，并初步学会应用切线长定理解决问题。

2、过程与方法：同时通过从三角形纸片中剪出最大圆的实验的过程中发现三角形内切圆的画法，能用内心的性质解决问题。

3、情感态度与价值观：通过切线识别方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力。教学重点：切线长定理及其应用，三角形的内切圆的画法和内心的性质。教学难点：三角形的内心及其半径的确定。教学过程：（一）复习导入：

请同学们回顾一下，如何判断一条直线是圆的切线？圆的切线具有什么性质？（经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径。）

你能说明以下这个问题？如右图所示，PA是BAC的平分线，AB是⊙O的切线，切点E，那么AC是⊙O的切线吗？为什么？

(二)实践与探索问题1、从圆外一点可以作圆的几线？请同学们画一画。

2、请问：这一点与切点的两条线段的长度相等什么？

3、切线长的定义是什么？通过以上几个问题的解决，使同学们得出以下的结论：

PCBOA条切

PFOAEB吗？为

从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。

(三)拓展与应用例:右图，PA、PB是，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为P，交PA、PB为E、F点，已知PA12cm，P70，（1）求求EOF的度数。

解：（1）连结PA、PB、EF是⊙O的切线所以PAPB，EAEQ，FQFB 所以

PEQFBPEF的周长；

AO（2）

PEF的周长OEEPPFFBPAPB24cm

图23.2.11 （2）

因为PA、PB、EF是⊙O的切线

所以PAOA，PBOB，EFOQ

AEOQEO，QFOBFO 所以AOB180P110,

1EOFAOB55

2（四）课后小结（五）课后作业：（六）课后反思：

圆与圆的位置关系

教学目标：

1、知识与技能：使学生了解圆与圆位置关系的定义。 2、过程与方法：掌握用数量关系来识别圆与圆的位置关系。 3、情感态度与价值观：培养学生观察、分析、归纳问题的能力。教学重点：用数量关系识别圆与圆的位置关系教学难点：用数量关系识别圆与圆的位置关系教学过程：（一）情境导入：

在现实生活中，圆与圆有不同的位置关系，如下图所示：

圆与圆的位置关系除了以上几种外，还有其他的位置关系吗？我们如何判断圆与圆的位置关系呢？这些问题待学习完这节课后就可以得到解决。 (二)实践与探索：

圆与圆的位置关系请同学们在纸上画一个圆，把一枚硬币当作另一个圆，纸上移动这枚硬币，观察两圆的位置关系和公共点的个数。

外离，（2）、（3）又叫做内含。（3）圆的圆心相同，这两个圆还可以叫做同如果两个圆只有一个公共点，那么就说个圆相切外切，（5）又叫做内切。如果圆有两个公共点，那么就说这两个圆相（三）实践与探索：用数量关系识别两位置关系思考：如果两圆的半径分别为圆心距（两圆圆心的距离）d为9，你

定他们的位置关系吗？若圆心距d分别为8、6、4、2、1、0时，它们的位置关系又如何呢？

图 23.2.14 中两心圆。这两两个交圆的3和5，能确

利用以上的思考题让同学们画图或想象，概括出两圆的位置关系与圆心距、两圆的半径具有什么关系。（1）两圆外离d（2）两圆外切dRr；

Rr；

Rr；

（3）两圆外离Rrd（4）两圆外离dRr；

Rr；

（5）两圆外离0d为了使学生对两圆的位置关系用数量关系体现有更深刻的理解以及更牢的记忆，教师可有以下数轴的形式让学生加以理解。

要判断两圆的位置关系，要牢牢抓住两个特殊点，即外切和内切两点，当圆心距刚好等于两圆的半径和时，两圆外切，等于两圆的半径差时，两圆内切。若圆心距处于半径和与半径差之间时，两圆相交，大于两圆半径和时，两圆外离，小于两圆半径差时

（四）应用与拓展

例1、已知⊙A、⊙B相切，圆心距为10 cm，其中⊙A的半径为4 cm，求⊙

B的半径。

分析：两圆相切，有可能两圆外切，也有可能两圆内切，所以⊙B的半径就有两种情况。解设⊙B的半径为R．

（1）如果两圆外切，那么d＝10＝4＋R，R＝6．

（2）如果两圆内切，那么d＝｜R－4｜＝10，R＝－6（舍去），R＝14．

所以⊙B的半径为6 cm或14 cm

例2、两圆的半径的比为2:3，内切时的圆心距等于8cm，那么这两圆相交时圆心距的范围是多

少？

解：设其中一个圆的半径为2r，则另一个圆的半径为3r因为内切时圆心距等于8所以3r2r以r8所

8当两圆相交时，圆心距的取值范围是8d40(cm)

（五）课后小结就好象识别

点与圆、直线与圆的位置关系一样，这节课我们同样也用数量关系来体现圆与圆的位置关系。在识别圆

与圆的位置关系时，关系式比较多，也难于忘记，如果同学们能够掌握老师上课时讲的用数轴来体现圆与圆的位置关系，理解起来就会更深刻，记忆也会更容易。（五）课后作业：习题8、9 （六）课后小记：

圆中的计算问题弧长和扇形的面积

教学目标：

1、知识与技能：认识扇形，会计算弧长和扇形的面积。

2、过程与方法：通过弧长和扇形面积的发现与推导，培养学生运用已有知识探究问题获得新知的能力。

3、情感态度与价值观：培养学生运用已有知识探究问题获得新知的能力。教学重点：弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积。教学难点：运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积。教学过程：

（一）情境与探究1：弧长公式

°．你能求出这段铁轨的长度吗?（取）我们容易看出这段铁轨是圆周长的

1，所以铁轨的长度 l≈423100＝（米）. 4

问题：上面求的是90的圆心角所对的弧长，若圆心角为n，如何计算它所对的弧长呢？请同学们计算半径为3cm，圆心角分别为180、90、45、1、n所对的弧长。

等待同学们计算完毕，与同学们一起总结出弧长公式（这里关键是1圆心角所对的弧长是多少，进而求出n的圆心角所对的弧长。）弧长的计算公式为

练习：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。

(二)

如图，由组成圆心角的两条半径和圆心

角所

图23.3.1 情境与探究2：扇形的面积。对的弧所围成的图形叫做扇形问：右图中扇形有几个？

同求弧长的思维一样，要求扇形的面积，应思考圆心角为1的扇形面积面积的几分之几？进而求出圆心角n的扇形面积。

如果设圆心角是n°的扇形面积为S，圆的半径为r，那么扇形的面积为

圆

nr2nrr1Slr36018022.

因此扇形面积的计算公式为

nr21SSlr360 或2

练习:1、如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的____________；

22、扇形的面积是它所在圆的面积的3，这个扇形的圆心角的度数是_________°.

3、扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是_____________ （三）应用与拓展

例1如图，圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面积和周

长．（π≈）

例2、右图是某工件形状，圆弧BC的度数为60，AB6cm，点B到点C的距离等于AB，BAC30，求工件的面积。

B（四）课后小结本节课我们共同探寻了弧长和扇形面积的计算公式，一方面，要理解公式的由来，另一方面，能够应用它们计算有关问题，在计算力求准确无误。（五）课后作业：习题1、2 （六）课后小记：

CO图23.3.5 A圆锥的侧面积和全面积

教学目标：

1、知识与技能：通过实验使学生知道圆锥的侧面积展开图是扇形，知道圆锥各部分的名称。 2、过程与方法：能够计算圆锥的侧面积和全面积。

3、情感态度与价值观：培养学生观察、分析、归纳问题的能力。教学重点：圆锥的侧面展开图，计算圆锥的侧面积和全面积。教学难点：圆锥的侧面展开图，计算圆锥的侧面积和全面积。教学过程：

（一）情境探究：由具体的模型认识圆锥的侧面展开图，认识圆锥各个部分的名称:把一个课前准备好的圆锥模型沿着母线剪开，让学生观察圆锥的侧面展开图，学生容易看出，圆锥的侧面展开图是一个扇形。如图，我们把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高，如图中a，而h就是圆锥的高。问题：圆锥的母线有几条？

(二)实践与探索：圆锥的侧面积和全面积的计算方法

问题；1、沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧

长与底面的周长有什么关系？

2、圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？

图23.3.6 待学生思考后加以阐述。

圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和。（三）应用与拓展：

例１、一个圆锥形零件的母线长为a，底面的半径为r，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积．

解圆锥的侧面展开后是一个扇形，该扇形的半径为a，扇形的弧长为2πr，所以

1 S侧＝2×2πr×a＝πra；

S底＝πr； S＝πra＋πr．

答：这个圆锥形零件的侧面积为πra，全面积为πra＋πr (难)例2、已知：在Rt2

ABC中，C90，AB13cm，BC5cm，求以AB为轴旋转一周所

得到的几何体的全面积。

分析：以AB为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成的几何体，因此求全面

积就是求两个圆锥的侧面积。解：过C点作CD垂足为D点因为三角形ABC是RtABC，AB，C90，AB13cm，

BC5cm，

所以AC12cmCDACBC51260底面周长为AB131360120 21313112011201020所以S全52(cm)2

213213131020答：这个几何体的全面积为(cm)2

13（四）课后小结本节课我们认识了圆锥的侧面展开图，学会计算圆

ADBC锥的侧

面积和全面积，在认识圆锥的侧面积展开图时，应知道圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长。圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径，这样在计算侧面积和全面积时才能做到熟练、准确。（五）课后作业：习题3、4 （六）课后反思：

正多边形和圆

教学目标

1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，•正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距．

2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系． 3．正多边形的画法．

教学重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系．教学难点：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系．教学过程（一）情境探究

请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫正多边形？

2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、•中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？

老师点评：1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；•正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点． (二)实践与探索：

如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，•形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯•D、E、F都在这个圆上．

因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．我们以圆内接正六边形为例证明．

如图所示的圆，把⊙O•分成相等的6•段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．

∵AB=BC=CD=DE=EF ∴AB=BC=CD=DE=EF

弧，就半径，正六边定B、C、

11BCF=（BC+CD+DE+EF）=2BC 2211 ∠B=CDA=（CD+DE+EF+FA）=2CD

22 又∴∠A= ∴∠A=∠B

同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A 又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上

∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆．

为了今后学习和应用的方便，•我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径．

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．例1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，六边形的周长和面积．

分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O⊥AB垂于M，在Rt△AOM•中便可求得AM，又应用垂径定理可求得长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．

解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等

•求正

EOD接圆半点作OMAB的于

FACMB360=60°，•△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径． 6 因此，所求的正六边形的周长为6a 在Rt△OAM中，OA=a，AM=

11AB=a 22 利用勾股定理，可得边心距 OM=a(a)=

2122123a ∴所求正六边形的面积=6×

3311×AB×OM=6××a×a=

22223a2

现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形．例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形．

分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，•应该先求边长为3的正五边形的半径．

解：正五边形的中心角∠AOB=如图，∠AOC=30°，OA=

360=72°， 51AB÷sin36°=÷sin36°≈（cm） 2 画法（1）以O为圆心，OA=2.55cm为半径画圆；

（2）在⊙O上顺次截取边长为3cm的AB、BC、CD、DE、EA．（3）分别连结AB、BC、CD、DE、EA．

则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图所示．（三）应用与拓展：

例3．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC•的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．（1）求△ABC的边AB上的高h．（2）设DN=x，且

hDNNF，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？ hAB（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．

分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，•应用圆的对称性就能圆满解决此题．解：（1）由AB·CG=AC·BC得h= （2）∵h=

ACBC86= AB10hDNNF且DN=x hAB10(4.8x) ∴NF=

4.810252

则S四边形DEFN=x·（）=-x+10x

4.812252120（x-x）

1225256023600 =- [（x-）-]

1225625252

=-（）+12 x252

∵-（）≤0 x252

∴-（）+12≤12 且当x=时，取等号 x =- ∴当x=时，SDEFN最大．

（3）当SDEFN最大时，x=，此时，F为BC中点，在Rt△FEB中，EF=，BF=3． ∴BE=DE2EF2322.42= ∵BM=，∴BM>EB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案． ∵当x=时，DE=5

∴AD=，

由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示:

此时，•AC=6，BC=8，AD=，BE=，这样设计既满足条件，又避开大树．（四）课后小结本节课应掌握：

1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，•正多边形的中心角，正多边的边心距．

2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、•正多边的边心距之间的等量关系． 3．画正多边形的方法．

4．运用以上的知识解决实际问题．（五）课后作业

课时作业设计

一、选择题

1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．

A．60° B．45° C．30° D．22．5°

(1) (2) (3)

2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）． A．36° B．60° C．72° D．108°

3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（） A．18° B．36° C．72° D．144° 二、填空题

1．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．

2．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图2所示，

若AC=6，则AD的长为________．

3．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，•如果⊙O的半径等于r，

∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________．

三、综合提高题

1．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．

2．如图所示，•已知⊙O•的周长等于6cm，•求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积． 3．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M．（1）求证：四边形CDEM是菱形；

（2）设MF=BE·BM，若AB=4，求BE的长．（六）课后反思：答案:

一、1．C 2．C 3．D 二、1．

3a2 2． 3．r 3r 60° 43a， 633a，∠EOM=45°，OE=a， 66三、1．设BC与⊙O切于M，连结OM、OB，

则OM⊥BC于M，OM=连OE，作OE⊥EF于N，则OE=OM=∵EN=6612

a，EF=2EN=a，∴S正方形=a． 12662．设正六边形边长为a，则圆O半径为a，

由题意得：2a=6，∴a=3．

如右图，设AB为正六边形的一边，O为它的中心，过O作OD⊥AB，垂足为D，则OD=r6，•则∠DOA=

18013=30°，AD=AB=， 62233cm， 23cm2．

在Rt△ABC中，OD=r6=∴S=6·3．略.

331127ar6=×3××6=

2222圆复习课

教学目标：

1、知识与技能：解圆及其有关概念,了解弧、弦、圆心角的关系。

2、过程与方法：握圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周角的特征；会利用垂径定理

解题，会判定点与圆的位置关系。

3、情感态度与价值观：深入理解“转化”、“分类讨论”的数学思想，并培养自主探究积极参与的学习习惯。教学重点：

1、解圆及其有关概念,了解弧、弦、圆心角的关系。

3、握圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周角的特征；会利用垂径定理解题；会判定点与圆的位置关系。教学难点：

握圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周角的特征；会利用垂径定理解题；会判定点与教学过程：

（一）题组探究复习回顾旧知，并知识建构。

先回顾旧知，再抢答。并互相补充知识点，进一步完善知识结构。相对应的练习题应指导学生说出相应的知识点及思路。

基础练习：

１、观察下图，回答问题：写出

（１）一条直径四条半径（２）三条弦四个圆周角（３）三个圆心角一条优弧

２、在⊙O中，AC＝BD，∠1＝45°，求∠2的度数.

３、如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，AB、CD相交于点E，∠COD＝100°，则∠COE= ∠DOE=

︵︵

4、如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A＝40°，则∠OBC的度数 5、已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线l的距离是

4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米.直线l和圆分别有几个公共点？分别说出直线l与圆的位置关系.

６、如图ＡＢ是⊙Ｏ的的直径，弦ＣＤ┻ＡＢ于Ｅ，ＣＤ＝８、ＢＥ＝２，则⊙ＯＲ的半径的长是

老师在学生回答的基础上与学生一起梳理知识结构，并板书。

（二）自主探究与合作交流研究圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周角的特征, 垂径定理等知识。

学生审题,自主探究解法后，交流。指名学生代表回答。本题有多种解法，培养学生的发散思维能力、比较思维能力。

分组解，选小组代表板演。学生先自主探究，再交流想法。

例1：如图４－４－３，ＡＢ是⊙O 的直径，Ｃ、Ｄ是⊙O上两点，∠Ｄ＝１３０o则（１）∠ＡＣＢ＝ o

（２）∠ BAC的度数为教法：由学生分析后板演。

例２如图４－４－４，⊙O的半径为５，弦ＡＢ的长为８，Ｍ是弦ＡＢ的动点，则线段ＯＭ长的最小值是

教法：学生合作交流，共同探讨解法。（三）应用与拓展

本部分内容作为课堂检测用，时间为15分钟。小组内互批。当时知道结果，有利于学生的学习。达标测评：

1、一条弦分一圆为２cm和６cm两部分，若此弦与直径成４５o角，则该弦长为

，

2、如图４－４－９，ＡＢ、ＣＤ是⊙Ｏ的直径，ＤＦ、ＢＥ是弦，且ＤＦ＝ＢＥ。

求证：∠Ｄ＝∠Ｂ

３、如图４－４－１０，在⊙Ｏ中，弦ＡＢ＝２cm，圆周角∠ＡＣＢ＝３０o，求⊙Ｏ的直径。４、如图４－４－７，直线ＡＢ交圆于点Ａ、Ｂ两点，点Ｍ在圆上，点Ｐ在圆外，且点Ｍ，Ｐ在ＡＢ的同侧，

∠ＡＭＢ＝５０o，设ＡＭＢ＝xo，当点Ｐ移动时，求x的变化范围。（四）小结与作业

小结：谈一下你有哪些收获？作业：复习资料上相关题（五）板书设计课题：圆（１）

基本概念：弧、弦、圆心角、圆周角

中心对称

圆对称性

轴对称

垂径定理

弧、弦、圆心角、圆周角的关系

点与圆的位置关系（六）教学反思：

第28章样本与总体抽样调查的意义

（1）

教学目标：

1、了解普查和抽样调查的区别及应用 2、了解总体、个体、样本、样本容量的含义 3、了解选取有代表性的样本对总体估计的作用 4、掌握抽样调查选取样本的方法教学重点：总体、个体、样本、样本容教学难点：抽样调查选取样本的方法教学过程：

一、创设情境，导入新课

利用课本中提出的三个问题导入新课，这是一个比较实际的问题同学们很容易理解，也容易展开讨论

(营造开放的讨论场面，引导学生讨论并发现问题) 二、合作交流，探求新知

第一个问题同学们很容易回答，并且很快把表中的内容填好。

第二个问题稍难一些，因为抽的家庭太多了，不过利用2000年第五次人口普查的知识，我们是可以回答的。

第三个问题最难回答，为什么呢？因为全国人口普查的工作量极其大，我国今后每十年进行一次全国人口普查，每五年进行一次全国1﹪人口的抽样调查。即只是研究约1300万人口，然后对这部分人进行调查。从而得出一个估计的答案。三、总结归纳

我们把要考察的对象的全体叫做全体，把组成总体的每一个部分个体叫做个体。从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本。一个样本包含的个体的数量叫做这个样本的容量。

例如人口普查中，当考察我国人口年龄构成时，总体就是所有具有中华人民共和国国籍并在中华人民共和国境内常住的人口年龄，个体就是符合这一条件的每一个公民的年龄，符合这一条件的所有北京市的公民的年龄就是一个个体。

普查是通过总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本的方式来收集数据的。四、典型例题讲解

例1 为了了解新课程标准实施后某九年级400名学生应用数学意识和创新意识能力的提高情况，进行一次测验，从中抽取了50名学生的成绩，在这个问题中：（1）采用了哪种调查方式？

（2）总体、个体、样本、样本容量是什么？

分析：调查方式有普查和抽样调查，本题中抽取了50名学生的成绩，因此采用了抽样调查的方式。例2 为了了解2000台空调的使用寿命，从中抽取了20台做连续的运转实验，在这个问题中，总体、

个体、样本、样本容量各指什么？

解：所要了解的2000台空调的使用寿命的全体是总体。

每台空调的使用寿命是个体。

抽取的20台空调的使用寿命是总体的一个样本。样本容量是20

五、学以致用，体验成功

自己独立完成课本92页练习题六、课堂小结

总体、个体、样本、样本容量七、作业：P92 练习八、板书设计：

抽样调查总体个体样本样本容量九、课后反思：教学目标：

1、知识与技能：了解从部分看总体的意义和方法，学会合理的选择样本

2、过程与方法：经历由部分看总体的学习全过程，体会选取代表性的样本对正确估计总体的重要性。 3、情感态度与价值观：培养学生交流协作精神及言语表达能力，体会部分看整体的作用。教学重点：利用从部分看整体的知识，解决数学实际问题。教学难点：能够正确的判断选择的样本是否合理教学过程：一、

导入新课

例1 例2 这里有一个大布袋，里面装着许多的乒乓球。如果无法把所有的乒乓球都倒出来数，那么你们还有其他的办法估计布袋中共有多少个乒乓球吗？学生在小组内展开了讨论…… 可是方法有限，很难…… 二、新课讲解

这个时候教师介入了，引导大家解决问题，让学生看课本93页。

解决的方法，取出10个球，在每个球上做个记号，以示它们已经被取出过。将这10个球全部放回袋子中，在将布袋中的球搅匀，然后第二次从布袋中取出一部分球，例如15个，检查这15个球中有几个是曾经被取出过的，假如说检查发现当中有2个是做过标记的，那么根据以下的近似关系：布袋中有标记的球的数目／布袋中球的数目

≈第二次取出的球的中有标记的球的数目／第二次取出的球的数目

就可以估计出布袋中球的数目≈15×10÷2=75 受了这个题目的启发，同学们可以做下面这个题，

例1 为了估计池塘里鱼的数目，我们可以采用如下的方法：第一次捕捞一网鱼，一共捕捞20条鱼，把他们全部做上标记，第二次捕捞了三网，一共捕捞了54条鱼，其中有三条鱼身上有标记，问这个鱼塘中一共有多少条鱼？

分析：按照上面我们总结的结论方法，很容易求出池塘中有360条鱼。例2

要了解喜欢足球的学生人数占全年级总人数的百分比，在足球场上向30名同学做调查，这样的一个样本可不可以考察总体？

解决这个问题时我们要注意以下几点：（1）选取的样本不能太小；（2）防止太大的“盲目性”；（3）样本要具有代表性；

答：这样的样本太小、太特殊，不具有代表性

三、 1、

课堂知识练习

判断下面抽样调查选取的样本是否合适

（1）检查某啤酒厂即将出厂的啤酒质量情况，先随机抽取若干箱，再在抽取的每箱中，随机

抽取1-2瓶检查。

（2）通过网上问卷调查方式，了解百姓对央视春节晚会的评价。

（3）调查某市中小学生学习知识负担的状况，在该市每所中小学选取一名学生，进行问卷调

查。

（4）教育部为了调查中小学乱收费情况，调出了某市所有的中小学生。 2、

拓展创新题

某住宅小区6月份随机抽取调查了该小区6天的用水量（单位：吨），结果分别是30、34、32、37、28、31，那么估计该小区6月份（30天）的总的用水量是多少吨？ 3、

探究性问题

一不透明的塑料袋里放入了一些小球，小红从中摸了两次结果发现都是红球，因此小红说这个袋中都是红球，而小明从中摸了两次后，摸到了一红一白两球，因此，小明说这个袋中红球和白球各占50％，你认为他们的话对吗？为什么？四、课堂小结

五、作业p96页练习、p99页1、2、3 六、板书设计

从部分看整体例1 例2 探究思考七、课后反思：

这样选择样本合适吗

教学目标：

1、知识与技能：使学生知道在抽样调查时，所选取的样本必须具有代表性； 2、过程与方法：掌握科学的抽样方法，即具有代表性，样本容量必须足够大避免遗漏

某一群体，使得所抽取样本比较合理，能比较准确地反映总体的特征；

3、情感态度与价值观：培养学生数学来自生活、用于生活的观念。

重点和难点：

重点：判断所选取的样本是否具有代表性，是否能够反映总体的特征。难点：判断所选取的样本是否具有代表性，是否能够反映总体的特征。

教学过程：

一、用例子说明如何进行抽样比较合理

例1、老师布置给每个小组一个任务，用抽样调查的方法估计全班同学的平均身高．坐在教室最后面的小胖为了争速度，立即就近向他周围的三个同学作调查，计算出他们四个人的平均身高后就举手向老师示意已经完成任务了．

分析因为小胖他们四个坐在教室最后面，所以他们的身高平均数就会大于整个班级的身高平均数，这样的样本就不具有代表性了．

现实生活中，用简单的随机抽样方法选中的样本可能不愿意参加或者没空配合你作调查，所以，在不太影响样本代表性的前提下，人们也经常采取调查周围人的抽样方法．但是，要注意这些调查对象在总体中是否有代表性．

例2 甲同学说：“6， 6， 6…啊！真的是6！你只要一直想某个数，就会掷出那个数．” 乙同学说：“不对，我发现我越是想要某个数就越得不到这个数，倒是不想它反而会掷出那个数．”

分析这两位同学的说法都不正确．因为几次经验说明不了什么问题。

在这里请同学掷骰子，来验证上述两位同学的说法不正确。

例3 小强的自行车失窃了，他想知道所在地区每个家庭平均发生过几次自行车失窃事件．为此，他

和同学们一起，调查了全校每个同学所在家庭发生过几次自行车失窃事件．

分析这样抽样调查是不合适的．虽然他们调查的人数很多，但是因为排除了所在地区

那些没有中学

生的家庭，所以他们的调查结果不能推广到所在地区的所有家庭。

想一想：小强和他的同学们的调查反映哪些家庭失窃自行车的情况？

这个例子告诉我们，开展调查之前，要仔细检查总体中的每个个体是否都有可能成为调查对象。例4、1936年，美国《文学文摘》杂志：根据1000万电话和从该杂志订户所收回的意见，断言兰

登将以370：161的优势在总统竞选中击败罗斯福，但结果是，罗斯福当选了，《文学文摘》大丢面子，原因何在呢？

原来，1936年能装电话和订阅《文学文摘》杂志的人，在经济上相对富裕，而引入不太高的的大多数选民选择了罗斯福。《文学文摘》的教训表明，抽样调查时，既要关注样本的大小，又要关注样本的代表性。

二、课堂练习

判断下面这几个抽样调查选取样本的方法是否合适，并说明理由：

1、一食品厂为了解其产品质量情况，在其生产流水线上每隔100包选取一包检查其质量； 2、一手表厂欲了解6－11岁少年儿童戴手表的比例，周末来到一家业余艺术学校调查200名在那

里学习的学生.

3、为调查全校学生对购买正版书籍、唱片和软件的支持率，用简单随机抽样法在全校所有的班级

中抽取8个班级，调查这8个班级所有学生对购买正版书籍、唱片和软件的支持率； 4、为调查一个省的环境污染情况，调查省会城市的环境污染情况

三、课堂小结

通过本节课的学习，同学们应明白在做抽样调查时，所选取的样本应具有代表性，应避免遗漏某一群体，同时样本的容易要足够大，这样样本才能反映总体的特性，才能反映事物的本来面目。

五、作业布置

P85页3、4、5、6

六、课后反思：

用样本估计总体简单随机抽样

教学目标：

1、知识与技能：使学生了解简单的随机抽样的操作过程，理解简单的随机抽样的含义；2、过程与方法：能用随机抽样的方法从总体中抽取样本；

3、情感态度与价值观：培养学生数学来自生活、用于生活的观念。

重点与难点：

重点：用简单的随机抽样的方法从总体中抽取样本。难点：用简单的随机抽样的方法从总体中抽取样本。教学过程：

一、用例子说明有些调查不适宜做普查，只适宜做抽样调查

例1：妈妈为了知道饼熟了没有，从刚出锅的饼上切下一小块尝尝，如果这一小块熟了，那么可以估计整张饼熟了。

例2：环境检测中心为了了解一个城市的空气质量情况，会在这个城市中分散地选择几个点，从各地采集数据。

例3：农科站要了解农田中某种病虫害的灾情，会随意地选定几块地，仔细地检查虫卵数，然后估计一公顷农田大约平均有多少虫卵，会不会发生病虫害。

例4：某部队要想知道一批炮弹的杀伤半径，会随意地从中选取一些炮弹进行发射实验，以考察这一批炮弹的杀伤半径。

以上的例子都不适宜做普查，而适宜做抽样调查。二、如何从总体中选取样本 1、什么是简单的随机抽样

上面的例子不适宜做普查，而需要做抽样调查，那么应该如何选取样本，使它具有代表性，而能较好地反映总体的情况呢？

要想使样本具有代表性，不偏向总体中的某些个性，有一个对每个个体都公平的方法，决定哪些个体进入样本，这种思想的抽样方法我们把它称为简单的随机抽样

2、用简单的随机抽样方法来选取一些样本。

假设总体是某年级300名学生的数学考试成绩，我们已经按照学号顺序排列如下：

97 92 89 86 93 73 74 72 60 98 70 90 89 90 91 80 69 92 70 64 92 83 89 93 72 77 79 75 80 93 93 72 87 76 86 82 85 82 87 86 81 88 74 87 92 88 75 92 89 82 88 86 85 76 79 92 89 84 93 75 93 。。。。。。。。

用简单抽样的方法选取三个样本，每个样本含有5个个体，老师示范完成了第一个样本的选取，请同学们继续完成第二和第三个样本的选取。

第一个样本：随机数（学号）成绩第二个样本：随机数（学号）成绩第三个样本：

111 80 254 86 167 66 94 91 276 67 随机数（学号）成绩课堂活动：用简单的随机抽样方法从300名学生的数学成绩的总体中选取两个样本，每个样本含有20个个体。

第一个样本：随机数（学号）成绩第二个样本：随机数（学号）成绩同学们从刚才的活动中可以体会到，抽样之前，同学们不能预测到哪些个体会被抽中，像这样不能够预先预测结果的特性叫做随机性。所以统计学家把这种抽样的方法叫做随机抽样。

三、小结

本节课我们学习了什么是随机抽样，如何从总体中随机选取一些样本，通过对这些样本的研究，可以反映总体中的特性。

四、作业：

课本P108习题的第1、3题。

五、板书设计：

简单的随机抽样例1 例2 例3 探究思考与思考六、课后反思：

简单随机抽样调查可靠吗

教学目标：

1、知识与技能：通过样本抽样，绘频数颁布直方图，计算样本平均数和标准差；

2、过程与方法：使学生认识到只有样本容易足够大，才能比较准确地反映总体的特性，这样的样本才可靠；

3、情感态度与价值观：体会只有可靠的样本，才能用样本去估计总体。培养学生数学来自生活、用于生活的观念。重点和难点：

重点：通过随机抽样选取样本，绘制频数分布直方图、计算平均数和标准差并与总体的

频数分布直方图、平均数和标准差进行比较，得出结论。

难点：通过随机抽样选取样本，绘制频数分布直方图、计算平均数和标准差并与总体的

频数分布直方图、平均数和标准差进行比较，得出结论。

教学过程：

一、复习上节课的内容

在上节课中，我们知道在选取样本时应注意的问题，其一是所选取的样本必须具有代表性，其二是所选取的样本的容量应该足够大，这样的样本才能反映总体的特性，所选取的样本才比较可靠。二、新课

1、用例子说明样本中的个体数太少，不能真实反映的特性。

让我们仍以上一节300名学生的考试成绩为例，考察一下抽样调查的结果是否可靠。上一节中，老师选取的一个样本是：

随机数（学号）成绩 111 254 167 94 276 80 86 66 91 67 它的频数分布直方图、平均成绩和标准差分别如下：

另外，同学们也分别选取了一些样本，它们同样也包含五个个体，如下表：

随机数（学号）成绩随机数（学号）成绩 132 245 78 73 5 98 89 76 69 75 90 167 86 275 54 72 86 83 82 82 同样，也可以作出这两个样本的频数分布直方图、计算它们的平均成绩和校准差，如下图所示：

样本平均成绩为分，标准差为分样本平均成绩为分，标准差为分

从以上三张图比较来看，它们之间存在明显的差异，平均数和标准差与总体的平均数与标准差也相去甚远，显然这样选择的样本不能反映总体的特性，是不可靠的。以下是总体的频数分布直方图、平均成绩和标准差，请同学们把三个样本的频数分布直方图、平均成绩和标准差与它进行比较，更能反映这样选取样本是不可靠的。 2、选择恰当的样本个体数目

下面是某位同学用随机抽样的方法选取两个含有40个个体的样本，并计算了它们的平均数与标准差，绘制了频数分布直方图，具体如下：

样本平均成绩为分，标准差为分样本平均成绩为分，标准差为分

从以上我们可以看出，当样本中个体太少时，样本的平均数、标准差往往差距较大，如果选取适当的样本的个体数，各个样本的平均数、标准差与总体的标准差相当接近。）

三、课堂练习

请同学们在300名学生的成绩中用随机抽样的方法选取两个含有20个个体的样本，并计算出它们的平均数与标准差，绘制频数分布直方图，并与总体的平均数、标准差比较。四、小结

一般来说，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确，相应地，搜集、整理、计算数据的工作量也就越大，因此，在实际工作中，样本容量既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出的代价的大小。五、作业：

补充作业：练习册

六、课后反思：

用样本估计总体

教学目标：

1、知识与技能：通过实例，使学生体会用样本估计总体的思想，能够根据统计结果作

出合理的判断和推测；

2、过程与方法：能与同学进行交流，用清晰的语言表达自己的观点。

3、情感态度与价值观：体会只有可靠的样本，才能用样本去估计总体。培养学生数学来自生活、用于生活的观念。重点和难点：

重点：根据有关问题查找资料或调查，用随机抽样的方法选取样本，能用样本的平均数和方差，从而对总体有个体有个合理的估计和推测。

难点：根据有关问题查找资料或调查，用随机抽样的方法选取样本，能用样本的平均数和方差，从而对总体有个体有个合理的估计和推测。教学过程：一、课前准备

问题：2002年北京的空气质量情况如何？请用简单随机抽样方法选取该年的30天，记录并统计这30天北京的空气污染指数，求出这30天的平均空气污染指数，据此估计北京2002年全年的平均空气污染指数和空气质量状况。请同学们查询中国环境保护网二、新授

师生用随机抽样的方法选定如下表中的30天，通过上网得知北京在这30天的空气污染指数及质量级别，如下表所示：

这30个空气污染指数的平均数为107，据此估计该城市2002年的平均空气污染指数为107，空气质量状况属于轻微污染。

讨论：同学们之间互相交流，算一算自己选取的样本的污染指数为多少？根据样本的空气污染指数的平均数，估计这个城市的空气质量。 2、体会用样本估计总体的合理性

下面是老师抽取的样本的空气质量级别、所占天数及比例的统计图和该城市2002年全年的相应数据的统计图，同学们可以通过比较两张统计图，体会用样本估计总体的合理性。

经比较可以发现，虽然从样本获得的数据与总体的不完全一致，但这样的误差还是可以接受的，是一个较好的估计。

练习：同学们根据自己所抽取的样本绘制统计图，并和2002年全年的相应数据的统计图进行比较，想一想用你所抽取的样本估计总体是否合理？

显然，由于各位同学所抽取的样本的不同，样本的污染指数不同。但是，正如我们前面已经看到的，随着样本容量（样本中包含的个体的个数）的增加，由样本得出的平均数往往会更接近总体的平均数，数学家已经证明随机抽样方法是科学而可靠的. 对于估计总体特性这类问题，数学上的一般做法是给出具有一定可靠程度的一个估计值的范围，将来同学们会学习到有关的数学知识。 3、加权平均数的求法

问题1：在计算20个男同学平均身高时，小华先将所有数据按由小到大的顺序排列，如下表所示：

然后，他这样计算这20个学生的平均身高：

小华这样计算平均数可以吗？为什么？

问题2：

表小强这样计算全年级男同学的平均身高：

小强这样计算平均数可以吗？为什么？

练习：在一个班的40学生中，14岁的有5人，15岁的有30人，16岁的有4人，17岁的有1人，求这个班级学生的平均年龄。

三、小结

用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确。相应地，搜集、整理、计算数据的工作量也就越大，随机抽样是经过数学证明了的可靠的方法，它对于估计总体特征是很有帮助的。四、作业：

课本P92习题的第1、2、3、4题。五、课后反思：

借助调查作决策借助调查作决策

教学目标：

1、知识与技能：了解媒体是获取信息的一个重要渠道，学会从媒体上获取数据信息，包括上网、看电视、读报、听广播等，并通过对这些数据的分析进行决策；

2、过程与方法：学会对来自媒体的数据信息进行合理的分析，发表自己的观点；

3、情感态度与价值观：通过对来自媒体的数据的分析与交流，在分析信息、提高分析辩别能力的同时，增强合作学习的意识与能力．重点和难点：

重点：1.综合运用所学统计知识读取媒体信息，并进行适当的分析

2.能够对信息中数据的来源及处理数据的方法以及由此得到的结果进行合理的质疑. 难点：从统计（数学）的角度对媒体信息进行质疑，并能有条理地阐述自己的观点. 教学过程：一、引入

获取信息的一个重要渠道，通过媒体可以便捷地获取丰富、实时的信息

举例：如果明天我们要郊游，可以留意报纸、广播、电视中的天气预报或者上网查询，要是天气预报说“明天降雨概率为90%”，那我们可能都会带上雨具．

请同学再举几个通过媒体获取数据进行决策的例子二、借助调查作决策

问题1 2001年“五·一”前夕，小明一家准备购买一台彩电．是买国产的还是进口的？是考虑价格便宜还是追求功能全面？最后决定在甲、乙、丙三个国产品牌中选择一个最畅销的品牌．小明上网查得截至2001年第一季度的最新数据，如表所示．如果你是小明，会怎样取舍呢？

分析把这三个品牌彩电自1999年以来截至2001年第一季度的总销量和平均月销售量用图形表示．

图1

1999年以来彩电销售总量比较

图2

1999年以来彩电历年月平均销量比较

思考

（1）以2001年第一季度三个品牌销量的4倍分别作为2001年它们全年的估计销量，这样比较年销售量合适吗？

（2）为了进一步了解这三个品牌的销售情况，小明与他的爸爸特地在一家电器商场观察了一个小时，在这一小时中，他们发现甲与丙各卖出了两台，而乙一台也没有卖出．为什么他们在商场观察的结果与小明在媒体上查到的数据不成比例？这是否意味着网上公布的数据不可靠？为什么？

解：（１）不合适，因为不同季节对不同产品的需求不一定一样，同一品牌在不同季节的销售量也不一定相同，第一季度是销售的淡季,因次它不具有代表性，不能用它的4倍作为全年的估计销量，可以每个季度取一个月或一个月中随机抽取几天来比较年销售量．

（２）小明和他爸只在一个商店里统计了一个小时的销售情况，因此他选择的样本既没有随机性也没有代表性，样本的容量有太小，而媒体上公布的数据是作了大量的调查得出的结果，因此网上的数据依然可靠．练习：

爸爸妈妈计划在周末带小明去旅游．首先，希望天气适宜；其次，游览的地方最好离居住地近一些．下图是小明在报纸上查询到的周末部分旅游区天气预报．

此外，小明还通过上网查询列车时刻表，获得了各旅游区与自己居住地之间的里程如下（单位：m）．大连2 255，青岛1 359，泰山890，洛阳1 122，黄山674，杭州201，武夷山631，厦门1 395，桂林1 645，湛江2 280．

（1）请你帮小明分析一下，哪个旅游景点是最佳选择？

（2）如果你要在本周末旅行，那么基于路程和天气两方面的原因，你将怎样查询数据做出决策呢？把你的决策过程和同学们进行交流．

答：（１）天气适宜的有湛江、青岛、泰山、洛阳、黄山、桂林、五夷山，在这些天气适宜的旅游区中，五夷山离居住地最近、所以五夷山是最佳选择。

（２）可以先查询天气、及各景点的路程，以天气适宜且路程近者为目标。

媒体中的数据很多，只要我们留心，会从其中获得许多有用的信息．但出现在媒体中的信息不一定都是可靠的，我们在获取信息的同时，需要进行全面的分析．

容易误导决策的统计图

例2 一则广告说：据调查，使用本厂牙膏可以使蛀牙率减少20%，并以图示意其调查得到的数据．你怎样看待这则广告？

图28.1.3 分析

第一，我们注意到图中的柱形图的纵轴是从30%开始的，它容易留给我们一个错误的印象：使用该厂牙膏会使蛀牙率减少一半．

第二，我们不知道调查对象是否有可比性，如果使用该厂牙膏的人群是幼儿园小朋友，而使用非该厂牙膏的人群却是成年人，那么所得的结论就不可信了．

第三，我们也不知道样本容量有多大，如果只调查了10个人，那么所得的结论可能就不太可靠了．从这个很小的例子可以看出，数据虽然给我们带来了有利于决策的各种信息，但有些时候也可能误导我们．所以，比较规范的统计报告应该说明调查的细节，如调查了多少人，是怎样选取调查对象的，等等．

问题3见教材练习

以下是一些来自媒体的信息，谈谈你读了之后有什么想法．

（1）??报纸刊载：高校毕业生平均年收入为5万元．（数据来源于对某高校校友的一次问卷调查）（2）?某房产广告称：本地区居民年收入6万元．（事实上该地区居住了许多普通工人家庭，只有几户富翁家庭）

（3）某杂志刊载消息解释其价格上涨原因：10年来，原材料上涨10%，印刷费增加10%，推销广告费上升10%．这样一来，成本增加30%，零售价格怎能不上涨？四、小结

在本节学期中，我们主要学习了在对某件事情作决策前，如何借助媒体，查询数据，媒体是获取信息的一个重要渠道，既要从中获得尽可能多的有用信息，还要保持理智的心态要对数据的来源、收集数据的方法、数据的呈现方式和由此得出的结论进行合理的辨析。

五、作业：

课本P102习题的第1、2、3、4、5题。六、课后反思：

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