(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则( ) A.α内的所有直线与l异面 B.α内不存在与l平行的直线 C.α内存在唯一的直线与l平行 D.α内的直线与l都相交
解析：依题意,直线l∩α=A(如图),α内的直线若经过点A,则与直线l相交;若不经过点A,则与直线l是异面直线,故选B. 答案：B 2某几何体的三视图如图,则该几何体的体积为( )
A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π
解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体.
V半圆柱=π×2×4=8π,V长方体=4×2×2=16.
2
1
所以所求体积为16+8π.故选A. 答案：A 3某几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为( )
A.180
B.200
C.220
D.240
解析：由三视图知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱,
如图,S上=2×10=20,
S下=8×10=80, S前=S后=10×5=50,
S左=S右=(2+8)×4=20,
所以S表=S上+S下+S前+S后+S左+S右=240, 故选D. 答案：D 4设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面 A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m∥α,m∥β,则α∥β C.若m∥n,m⊥α,则n⊥α D.若m∥α,α⊥β,则m⊥β
解析：A选项中,直线m,n可能平行,也可能相交或异面;B选项中,α与β也可能相交,此时直线m平行于α,β的交线;D选项中,m也可能平行于β.故选C. 答案：C ( )
2
5如图,△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图,则△OAB的面积是( ) A.6 B.3C.6D.12
解析：△OAB是直角三角形,其两条直角边的长分别是4和6,则其面积是12. 答案：D 6一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均是半径为2的圆,则这个几何体的体积是( )
A. B.8π C. D.32π
解析：由三视图可知该几何体是将一个球切割而得到的几何体,切去的部分是球的,已知该球的半
径为2,所以该几何体的体积V=答案：B =8π,故选B.
7平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为A.
π
B.4
π
C.4
π D.6
π
,则此球的体积为( )
3
解析：设球O的半径为R,则R=答案：B ,故V球=πR=4
3
π.
8如图是一个多面体的三视图,则其表面积为( )
A. B.+6
C.+6 D.+4
解析：由几何体的三视图可得,此几何体是平放的三棱柱,底面是正三角形,侧面是正方形,其表面
积为S=3×(答案：C )+2××(
2
)=6+2
.故选C.
9已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( )
A. B.2 C. D.3
解析：过C点作AB的平行线,过B点作AC的平行线,交点为D,同理过C1作A1B1的平行线,过B1作
A1C1的平行线,交点为D1,连接DD1,则ABCD-A1B1C1D1恰好成为球的一个内接长方体,故球的半径
r=答案：C .故选C.
4
10如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:
①BD⊥AC;
②△BAC是等边三角形; ③三棱锥D-ABC是正三棱锥; ④平面ADC⊥平面ABC.
其中正确的是( ) A.①②④
B.①②③
C.②③④ D.①③④
解析：由题意知,BD⊥平面ADC,则BD⊥AC,①正确;
因为AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD⊥平面ACD,所以AB=AC=BC,所以△BAC是等边三角形,②正确;易知DA=DB=DC,又由②知③正确;由①知④错.故选B. 答案：B 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:
①若a∥b,b∥c,则a∥c; ②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交; ④若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线.
上述命题中正确的命题是 .(写出所有正确命题的序号) 解析：由平行公理知①正确;
当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行、异面,故②错;
当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③错;
a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故④错.
答案：①
12已知圆锥的底面周长为6π,体积为12π,则该圆锥的侧面积为 . 解析：设圆锥的底面半径为R,高为h,由已知得2πR=6π,所以R=3.
于是12π=π·3·h,解得h=4,
2
5
于是母线l==5,
所以侧面积S=π×3×5=15π. 答案：15π
13如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2= .
解析：由题意可知点F到面ABC的距离与点A1到面ABC的距离之比为1∶2,S△ADE∶S△ABC=1∶4.
因此V1∶V2=答案：1∶24
=1∶24.
14如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 .
解析：作FO⊥平面CED,则EO⊥CD,FO与正方体的侧棱平行,所以平面EOF一定与正方体的左、右侧面平行,而与其他四个面相交.
答案：4 15已知正四棱锥O-ABCD的体积为为 .
,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积
6
解析：如图所示,在正四棱锥O-ABCD中,VO-ABCD=×S正方形ABCD·OO1=×()×OO1=2
,
∴OO1=,AO1=,
在Rt△OO1A中,OA=,即R=,
∴S球=4πR2=24π.
答案：24π
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(本小题满分8分)某几何体的三视图如图,其中俯视图的内外均为正方形,边长分别为2和4,几何体的高为3,求此几何体的表面积和体积.
解由三视图可知该几何体是一个正四棱台.
其上、下底面边长分别为2和4,又高为3,所以其斜高h'=,
于是其表面积S=(8+16)×+22+42=20+12
;
其体积V=(2+2×4+4)×3=28.
22
7
17(本小题满分8分)如图,PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形,PA=AB=,AD=,点F是PB的中点,点
E是边BC上的动点.
(1)当点E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由; (2)求证:无论点E在边BC的何处,都有PE⊥AF. (1)解EF与平面PAC平行.理由如下:
当E为BC的中点时,
∵F为PB的中点,∴EF∥PC. ∵EF⊄平面PAC,PC⊂平面PAC, ∴EF∥平面PAC.
(2)证明∵PA=AB,F为PB的中点,∴AF⊥PB.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC.
又BC⊥AB,PA∩AB=A,
∴BC⊥平面PAB.
又AF⊂平面PAB,∴BC⊥AF. 又PB∩BC=B,∴AF⊥平面PBC.
∵无论点E在边BC的何处,都有PE⊂平面PBC, ∴PE⊥AF.
18(本小题满分9分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥平面
ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.求证:
(1)PA⊥底面ABCD; (2)BE∥平面PAD; (3)平面BEF⊥平面PCD.
8
证明(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点, 所以AB∥DE,且AB=DE.
所以ABED为平行四边形.所以BE∥AD. 又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD, 所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形, 所以BE⊥CD,AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD. 所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点, 所以PD∥EF.所以CD⊥EF.
所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.
19(本小题满分10分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点. (1)证明:BC1∥平面A1CD; (2)设AA1=AC=CB=2,AB=2
,求三棱锥C-A1DE的体积.
(1)证明连接AC1交A1C于点F,则F为AC1的中点.
由D是AB的中点,连接DF,则BC1∥DF. 因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD, 所以BC1∥平面A1CD.
(2)解因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.
9
由已知AC=CB,D为AB的中点,则CD⊥AB. 因为AA1∩AB=A,所以CD⊥平面ABB1A1. 由AA1=AC=CB=2,AB=2则A1D+DE=A1E,即DE⊥A1D.
2
2
2
,得∠ACB=90°,CD=,A1D=,DE=,A1E=3,
故=1.
20(本小题满分10分)如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD的中点,F为AE的中点.现在沿AE将三角形ADE向上折起,在折起的图形中解答下列两问:
(1)在线段AB上是否存在一点K,使BC∥平面DFK?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由; (2)若平面ADE⊥平面ABCE,求证:平面BDE⊥平面ADE.
(1)解线段AB上存在一点K,且当AK=AB时,BC∥平面DFK.
证明如下:
设H为AB的中点,连接EH,则BC∥EH,
又∵AK=AB,F为AE的中点,
∴KF∥EH,∴KF∥BC. ∵KF⊂平面DFK,BC⊄平面DFK, ∴BC∥平面DFK.
(2)证明∵在折起前的图形中E为CD的中点,
AB=2,BC=1,
∴在折起后的图形中,AE=BE=从而AE+BE=4=AB,
2
2
2
,
∴AE⊥BE.
10
∵平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE, ∴BE⊥平面ADE, ∵BE⊂平面BDE, ∴平面BDE⊥平面ADE.
11
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