龙江县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

龙江县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

xy20y1． 已知变量x,y满足约束条件x1，则的取值范围是（ ）

xxy70A．[,6] B．(,][6,) C．(,3][6,) D．[3,6]

2． 如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC．若AB=AC=AA1=1，BC=与B1C1所成的角为（ ）

，则异面直线A1C

9595

A．30° B．45° C．60° D．90°

3． 数列{an}的首项a1=1，an+1=an+2n，则a5=（ ） A．

B．20

C．21

D．31

4． 已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（ ） A．2

B．6

C．4

D．2

5． lgx，lgy，lgz成等差数列是由y2=zx成立的（ ） A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6． 如果

（m∈R，i表示虚数单位），那么m=（ ）

A．1 B．﹣1 C．2

7． 已知集合M={x|x2＜1}，N={x|x＞0}，则M∩N=（ ） A．∅ 可．

B．{x|x＞0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}

D．0

8． 已知向量=（1，n），=（﹣1，n﹣2），若与共线．则n等于（ ） A．1

B．

C．2

D．4

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精选高中模拟试卷

9． 在三角形A．

中，若B．

C．

，则的大小为（ ）

D．

10．设函数f（x）在x0处可导，则A．f′（x0） B．f′（﹣x0）

C．﹣f′（x0）

等于（ ）

D．﹣f（﹣x0）

11．函数yx2-2x1，x[0,3]的值域为（ ） A. B. C. D.

12．设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是（ ） A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3

二、填空题

13．如图所示，圆C中，弦AB的长度为4，则AB×AC的值为_______．

CAB

【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想． 14．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ．

15．已知α为钝角，sin（+α）=，则sin（﹣α）= ．

16．已知曲线y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为 ．

17．某公司对140名新员工进行培训，新员工中男员工有80人，女员工有60人，培训结束后用分层抽样的方法调查培训结果. 已知男员工抽取了16人，则女员工应抽取人数为 .

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精选高中模拟试卷

18．把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵

坐标不变），所得函数图象的解析式为 ．

三、解答题

19．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，直线PA与圆O相切于点A，PBC是过点O的割线，APECPE，点H是线段ED的中 点.

（1）证明：A、E、F、D四点共圆； （2）证明：PFPBPC.

2

20．已知函数f（x）=+lnx﹣1（a是常数，e≈=2.71828）．

（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

2

（2）当a=1时，方程f（x）=m在x∈[，e]上有两解，求实数m的取值范围；

（3）求证：n∈N*，ln（en）＞1+

．

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21．某城市决定对城区住房进行改造，在建新住房的同时拆除部分旧住房．第一年建新住房am2，第二年到第四年，每年建设的新住房比前一年增长100%，从第五年起，每年建设的新住房都比前一年减少 am；已知旧

2

2

住房总面积为32am，每年拆除的数量相同．

2

（Ⅰ）若10年后该城市住房总面积正好比改造前的住房总面积翻一番，则每年拆除的旧住房面积是多少m？

（Ⅱ），求前n（1≤n≤10且n∈N）年新建住房总面积Sn

22．已知函数

（1）求f（x）的周期． （2）当

23．已知函数f（x）=2|x﹣2|+ax（x∈R）． （1）当a=1时，求f（x）的最小值；

．

时，求f（x）的最大值、最小值及对应的x值．

（2）当f（x）有最小值时，求a的取值范围；

（3）若函数h（x）=f（sinx）﹣2存在零点，求a的取值范围．

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24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=

，AC=3，BC=2，P是△ABC内一点．

（1）若P是等腰三角形PBC的直角顶角，求PA的长； （2）若∠BPC=

，设∠PCB=θ，求△PBC的面积S（θ）的解析式，并求S（θ）的最大值．

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龙江县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A 【解析】

试题分析：作出可行域，如图ABC内部（含边界），表示点(x,y)与原点连线的斜率，易得A(,)，B(1,6)，

yx5922kOA969y92，kOB6，所以6．故选A． 5515x2

考点：简单的线性规划的非线性应用． 2． 【答案】C

【解析】解：因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，则直线A1C与BC所成的角为就是异面直线A1C与B1C1所成的角．

直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC．若AB=AC=AA1=1，BC=CA1=故选：C．

，

，BA1=

，

三角形BCA1是正三角形，异面直线所成角为60°．

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3． 【答案】C

【解析】解：由an+1=an+2n，得an+1﹣an=2n，又a1=1， ∴a5=（a5﹣a4）+（a4﹣a3）+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1 =2（4+3+2+1）+1=21． 故选：C．

【点评】本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，是基础题．

4． 【答案】B

2222

【解析】解：∵圆C：x+y﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）+（y﹣1）=4，

表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．

由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1）， 故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）． ∵AC=

∴切线的长|AB|=故选：B．

【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．

5． 【答案】A

2

【解析】解：lgx，lgy，lgz成等差数列，∴2lgy=lgx•lgz，即y=zx，∴充分性成立，

2

因为y=zx，但是x，z可能同时为负数，所以必要性不成立，

=2

=

=6．

，CB=R=2，

故选：A．

【点评】本题主要考查了等差数列和函数的基本性质，以及充分必要行得证明，是高考的常考类型，同学们要加强练习，属于基础题．

6． 【答案】A

【解析】解：因为

，

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而

所以，m=1． 故选A．

（m∈R，i表示虚数单位），

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的概念，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，此题是基础题．

7． 【答案】D

【解析】解：由已知M={x|﹣1＜x＜1}， N={x|x＞0}，则M∩N={x|0＜x＜1}， 故选D．

【点评】此题是基础题．本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，

8． 【答案】A

【解析】解：∵向量=（1，n），=（﹣1，n﹣2），且与共线． ∴1×（n﹣2）=﹣1×n，解之得n=1 故选：A

9． 【答案】A

【解析】 由正弦定理知则有

答案：A

10．【答案】C

【解析】解：故选C．

11．【答案】A 【解析】

=﹣

=﹣f′（x0），

，所以

，不妨设，故选A

，

，

，

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2试题分析：函数yx2x1x12在区间0,1上递减，在区间1,3上递增，所以当x=1时，

2fxminf12，当x=3时，fxmaxf32，所以值域为2,2。故选A。

考点：二次函数的图象及性质。 12．【答案】A

【解析】解：当x＞2时，x＞1成立，即x＞1是x＞2的必要不充分条件是， x＜1是x＞2的既不充分也不必要条件， x＞3是x＞2的充分条件，

x＜3是x＞2的既不充分也不必要条件， 故选：A

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．

二、填空题

13．【答案】8

14．【答案】 甲 ．

【解析】解：【解法一】甲的平均数是方差是

=（87+89+90+91+93）=90，

= [（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4；

=（78+88+89+96+99）=90，

乙的平均数是

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方差是∵

＜

= [（78﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（96﹣90）2+（99﹣90）2]=53.2； ，∴成绩较为稳定的是甲．

【解法二】根据茎叶图中的数据知，

甲的5个数据分布在87～93之间，分布相对集中些，方差小些； 乙的5个数据分布在78～99之间，分布相对分散些，方差大些； 所以甲的成绩相对稳定些． 故答案为：甲．

【点评】本题考查了平均数与方差的计算与应用问题，是基础题目．

15．【答案】 ﹣

【解析】解：∵sin（∴cos（=sin（

﹣α）=cos[+α）=，

＜α＜π，

， +α）=， ﹣（

+α）]

．

∵α为钝角，即∴∴sin（∴sin（=﹣=﹣

， ＜

﹣

﹣α）＜0， ﹣α）=﹣

故答案为：﹣．

【点评】本题考查运用诱导公式求三角函数值，注意不同角之间的关系，正确选择公式，运用平方关系时，必须注意角的范围，以确定函数值的符号．

16．【答案】

．

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3

【解析】解：因为y=（a﹣3）x+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，即

y'=在x＞0时有解，

3

所以3（a﹣3）x+1=0，即a﹣3＜0，所以此时a＜3．

32

函数f（x）=x﹣ax﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立， 2

即f'（x）=3x﹣2ax﹣3≤0恒成立，即

， 的最大值为

，

因为函数所以综上故答案为：

，所以．

在[1，2]上单调递增，所以函数

．

．

【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．

17．【答案】12 【解析】

考点：分层抽样

18．【答案】 y=cosx ．

【解析】解：把函数y=sin2x的图象向左平移故答案为：y=cosx．

个单位长度，得

，即y=cos2x的图象，把y=cos2x

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cosx的图象；

三、解答题

19．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【

解

析

】

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11

11]

试题解析：解：（1）∵PA是切线，AB是弦，∴BAPC，APDCPE， ∴BAPAPDCCPE，

∵ADEBAPAPD,AEDCCPE ∴ADEAED，即ADE是等腰三角形

又点H是线段ED的中点，∴ AH是线段ED垂直平分线，即AHED

又由APECPE可知PH是线段AF的垂直平分线，∴AF与ED互相垂直且平分， ∴四边形AEFD是正方形，则A、E、F、D四点共圆. （5分） （2由割线定理得PAPBPC，由（1）知PH是线段AF的垂直平分线，

22∴PAPF，从而PFPBPC （10分）

考点：与圆有关的比例线段． 20．【答案】

【解析】解：（1）

．

因为x=2是函数f（x）的极值点， 所以a=2，则f（x）=

，

则f（1）=1，f'（1）=﹣1，所以切线方程为x+y﹣2=0； （2）当a=1时，

2

，其中x∈[，e]，

2

当x∈[，1）时，f'（x）＜0；x∈（1，e]时，f'（x）＞0，

2

∴x=1是f（x）在[，e]上唯一的极小值点，∴[f（x）]min=f（1）=0．

又，，

综上，所求实数m的取值范围为{m|0＜m≤e﹣2}； （3）

等价于

，

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若a=1时，由（2）知f（x）=当n＞1时，令x=

在[1，+∞）上为增函数，

，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0，

即，∴．

故即即

21．【答案】

．

，

【解析】解：（I）10年后新建住房总面积为a+2a+4a+8a+7a+6a+5a+4a+3a+2a=42a． 设每年拆除的旧住房为xm，则42a+（32a﹣10x）=2×32a，

2

2

解得x=a，即每年拆除的旧住房面积是am

（Ⅱ）设第n年新建住房面积为a，则an=

n

所以当1≤n≤4时，Sn=（2﹣1）a；

当5≤n≤10时，Sn=a+2a+4a+8a+7a+6a+（12﹣n）a=

故

【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．

22．【答案】 【解析】解：（1）∵函数∴函数f（x）=2sin（2x+∴f（x）的周期T=即T=π

=π

）．

．

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（2）∵∴

∴﹣1≤sin（2x+最大值2，2x最小值﹣1，2x

， ）≤2 ==，此时 此时

，

【点评】本题简单的考察了三角函数的性质，单调性，周期性，熟练化为一个角的三角函数形式即可．

23．【答案】

【解析】解：（1）当a=1时，f（x）=2|x﹣2|+x=所以，f（x）在（﹣∞，2）递减，在[2，+∞）递增， 故最小值为f（2）=2； …（4分） （2）f（x）=

要使函数f（x）有最小值，需∴﹣2≤a≤2，…（8分）

故a的取值范围为[﹣2，2]． …（9分）

，…（6分） ，

…（2分）

（3）∵sinx∈[﹣1，1]，∴f（sinx）=（a﹣2）sinx+4，

“h（x）=f（sinx）﹣2=（a﹣2）sinx+2存在零点”等价于“方程（a﹣2）sinx+2=0有解”， 亦即∴

有解， ，…（11分）

解得a≤0或a≥4，…（13分）

∴a的取值范围为（﹣∞，0]∪[4，+∞）…（14分）

【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质，是解决本题的关键．

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24．【答案】

【解析】解：（1）∵P为等腰直角三角形PBC的直角顶点，且BC=2， ∴∠PCB=∵∠ACB=

，PC=

，

，

=5，

，∴∠ACP=

222

在△PAC中，由余弦定理得：PA=AC+PC﹣2AC•PC•cos

整理得：PA=；

，∠PCB=θ，

（2）在△PBC中，∠BPC=∴∠PBC=

﹣θ，

=sin（

由正弦定理得：∴PB=

sinθ，PC=

=﹣θ），

=．

sin（

，

∴△PBC的面积S（θ）=PB•PCsin则当θ=

时，△PBC面积的最大值为

﹣θ）sinθ=sin（2θ+）﹣，θ∈（0，），

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

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