第１９卷 第２期 Ｖｏｌ＿ｌ９ ＮＯ．２ 北京印刷学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｇｒａｐｈｉｃ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ ２０１１年４月 Ａｐｒ．２０１１ 关于积分中值定理的证明方法 冯守平 （安徽财经大学，蚌埠２３３０３０） ～一崛ｈｆ＝ｒ三ｇｎａ； ． ｙ Ⅷ 一 ～～ ．～．－ｍ暑 一～＿．一呈ｐｓ ＝一＿～考三ｗ 、三．＿一～薹ｍ ｄ～一∈Ⅷ ＿一～Ⅲ善● “＿讨一～雪ｍ 山．一 ～一川 摘 要：证明了积分第一中值定理中的ｆ ｅ［。，ｂ］可以改 为 （ｏ，ｂ），在稍微加强部分条件的情形下，证明了积分 第二中值定理中的 ［ｏ，ｂ］也可以改为 （ｏ，ｂ），并简 化了传统的证明方法，使得证明方法适合于非数学专业的 学生 关键词：积分中值定理；定积分性质 中图分类号：０７２．２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００４－８６２６（２０１ １）０２—００６８．０２ 积分第一中值定理 。 设函数－厂（ ）、ｇ（ ）在 ［ｎ，６＿］ 卜连续，ｇ（ ）在［。，ｂ］上不变号，则 Ｅ （ｎ，ｂ），使 ｂ ｆ－厂（ ）ｇ（ ）ｄｘ＝－厂（ ）ｆ ｇ（ ）ｄｘ。 证 不妨设Ｖ ∈［０，ｂ］，ｇ（ ）≥０，同时设ｍ， 分别是＿厂（ ）在［ｎ，ｂ］上的最小值与最大值。 若ｍ＝Ｍ，贝０ ｆ（ ）ｇ（ ）＝ｍｇ（ ），止匕时，Ｖ ∈ （ｎ，ｂ），有 Ｊ ）ｇ（ ）ｄ ：ｍＪ ｇ（ ）ｄ ＝ｌ，（ ）Ｊ ｇ（ ）ｄ ； 若ｍ＜Ｍ，则Ｖ ∈［ｎ，ｂ］，ｍ≤＿厂（ ）≤Ｍ，从而有 ｍｇ（ ）≤ｆ（ ）ｇ（ ）≤Ｍｇ（ ）。 若ｇ（ ）一０，则 ∈（ｒｚ，ｂ），所证之式都成立。 收稿日期：２０１１－０１－１２ 若ｇ（ ）≠０，贝０ ∈（ｏ，ｂ），ｇ（ ）＞０，由此知 若Ｖ ∈［ｎ，ｂ］，有ｆ（ ） Ｍ，贝０ ｆ（ ）ｇ（ ）＝ Ｍｇ（ ），有 』 （ ）ｇ（ ）ｄ ＝ 』：ｇ（ ）ｄ ＝／ ）－ｆ：ｇ（ ）ｄ ； 若Ｖ ∈［ｎ，ｂ］，ｆ（ ）一ｍ，同理，所证之式也 成立； 若Ｖ ∈［。，ｂ］，ｆ（ ）≠Ｍ，贝０ ｊ 。∈（ｏ，ｂ），使 ．）ｇ（ ）＜Ｍｇ（ ．），于是有 Ｉ ）ｇ（ ）ｄｘ＜ＭＩ ｇ（ ）ｄｘ； 同样，若Ｖ ∈［。，ｂ］，－厂（ ）≠ｍ，则 ］ ２∈（Ⅱ，ｂ），使 ２）ｇ（ ２）＞ｍｇ（ ）， 所以有 ｌ ）ｇ（ ）ｄ ＞ｍｌ ｇ（ ）ｄ 。 从而有 ｍ ：ｇ（ ）ｄ ＜ ）ｇ（ ）ｄ ＜ Ｊ＾：ｇ（ ）ｄ ， 又因ｇ（ ）≠０，所以ｆ：ｇ（ ）ｄｘ＞０，故 Ｊ ｌ厂（ ）ｇ（ ）ｄｘ ｍ＜ ——＜ ， Ｊ ｇ（ ）ｄｘ 由介值定理知，ｊ ∈（ｎ，ｂ），有ｌ厂（ ）＝ ｂ ｌ ｌ厂（ ）ｇ（ ）ｄｘ 即 Ｉ ｇ（ ）ｄｘ ｆ－厂（ ）ｇ（ ）ｄｘ＝／（ ）Ｊ ｇ（ ）ｄｘ。 积分第二中值定理¨。‘ 设函数ｆ（ ）、ｇ（ ）、 ｇ （ ）在［。，ｂ］上连续，则 （１）Ｖ ∈（。，ｂ），ｇ （ ）≤０，ｇ （ ）仪 ：有限个 点处为零，且ｇ（ ）＞／０，则了 ∈（ｎ，ｂ），使 ／ 砒㈩ ｇ ａ） ； （２）Ｖ ∈（。，６），ｇ （ ）ｉ＞０，ｇ （ ）仅在有限个 第２期 冯守平：关于积分中值定理的证明方法 ６９ 点处为零，且ｇ（ ）Ｉ＞０，则了ｒ／Ｅ（。，ｂ），使 Ｉ厂（ ）ｇ（ ）ｄｘ＝ｇ（ｂ）』 ）ｄｘ。 证 （１）记Ｆ（ ）＝Ｊ／ ｔ）ｄｔ， ∈［ｏ，ｂ］，贝０ Ｆ（ ）在［ｏ，６］上连续，在［ ，ｂ］上可以取得最小值 ｍ与最大值 ，即Ｖ ∈［口，ｂ］，ｍ≤Ｆ（ ）≤Ｍ。 若，ｎ＝Ｍ，Ｆ（ ）＝Ｊ／ ）ｄｔ ，ｎ：０，Ｆ （ ）＝ ［ｆ厂（ ）ｄ ］，＝ ）；０，此时，Ｖ ∈（ｏ，ｂ），都有 砒㈩ ） 圳 成立。 若ｍ＜Ｍ，取一定值ｃ：ｍ＜ｃ＜Ｍ，由介值定理知， ］ ，∈（ｎ，６），使 ｍ＜Ｆ（ ）＝ｃ＜Ｍ。 由于我们在选择ｃ时，有无限多种选法，从而 对应着无限多个 ，因为使ｇ （ ）＝０的点只有有 限个，故可以选择ｃ，使ｇ （ ）＜０，从而有 ，孔［一ｇ （ 。）］＜Ｆ（ ）［一ｇ （ ）］＜ ［一ｇ （ ）］， 由于Ｆ（ ）ｇ （ ）是［ ，ｂ］上的连续函数，所 以有 州ｇ ＝ ㈩ｄ［ ｆ］＝ Ｊ ｇ（ ）ｄＦ（ ）＝ｇ（ ）Ｆ（ ）Ｊ ｂ—Ｊ Ｆ（ｘ）ｇ （ ）ｄｘ＝ ｇ（ｂ）Ｆ（ｂ）＋ｆ Ｆ（ ）［一ｇ （ ）］ｄｘ＞ ｇ（６）Ｆ（６）一ｍ Ｊ ｇ （ ）ｄｘ＝Ｆ（６）ｇ（６）一 ｍｇ（６）＋ｍｇ（０）≥ｍｇ（６）一ｍｇ（６）＋ ｍｇ（Ⅱ）＝ｍｇ（。）≥０； 同理可证Ｊ ）ｇ（ ）ｄｘ＜ （ａ）。从而有 ｍｇ（。）＜ｌ／ ）ｇ（ ）ｄｘ＜Ｍｇ（ｎ）。 由于使ｇ （ ）＝０的点只有有限个，所以ｇ（ ） 在［ａ，ｂ］上严格单调减，由ｇ（ ）≥０知ｇ（。）＞０， 所以 ｍ＜ 砒（ ＜ 。 由介值定理知，至少存在一点 （ｏ，６），使 ）＝ （ ， 即 Ｉ八 ）ｇ（ ）ｄｘ＝ｇ（ｏ）Ｊ厂（ ）ｄｘ。 同理，设Ｆ（ ）＝Ｉ＿厂（ｔ）ｄｔ，可证（２）。 推论设函数＿厂（ ）、ｇ（ ）、ｇ （ ）在［ｎ，ｂ］上连 续，且Ｖ ∈（ｎ，６），ｇ （ ）≤０，（ｇ （ ）≥０），ｇ （ ） 仅在有限个点处为零，则］ （ｏ，ｂ），使 ．厂 ）ｇ（ ） ：ｇ（。） ）ｄ ＋ｇ（６） ）ｄ 。 证不妨设在（ｏ，６）上ｇ （ ）≤０，ｇ （ ）仅在 有限个点处为零，令ｈ（ ）＝ｇ（ ）一ｇ（ｂ），则ｈ（ ）≥ ０，ｈ （ ）＝ｇ （ ）≤０，ｈ （ ）仅在有限个点处为零， 由积分第二中值定理中（１）知， ∈（ｏ，ｂ），使 ㈩ ） ＝ ｎ）＿ｇ（… ， 即 ｆ Ｏ ）ｇ（ ）ｄｚ＝ｇ（６）ｆ ＾Ｏ ）ｄ ＋ ［ｇ（。）一ｇ（６）］ ） ＝ ） ＋ｇ（６） 州 。 注 （１）若定理中的ｇ （ ）有无限个零点，则 结论不一定成立。例如，当Ｓ（ ）＝１一 ，ｇ（ ）＝１ 时，ｇ （ ）＝－０，这时若有 ｃ－一 ··ｄ ＝－· ：ｃ－一 ｄ ， 即 １（１） ｌ ＝一 １（１一 ） ｌ 解之得 ＝１岳（０，１）。 （２）上述积分第二中值定理中的条件虽然比 理科教材中传统的条件加强了一些，但上述条件是 非常容易满足的，特别是在工科的《高等数学》 及文科的《微积分》…中。 例１ 设Ｊ（１一 ） ｄｘ，求积分第二中值定理 中的 。 解设／（ ）＝ｇ（ ）＝１一 ，贝０ ｇ （ ）＝一１∈Ｃ ［０，１］，且ｖ ∈（０，１），ｇ （ ）＝一１＜Ｏ，所以ｊ ∈ （０，１），使 （１一 ＝（１—０）· （１一圳 ＝ ÷（１一 ） Ｊ ＝ １［１一（１一 ） ］， （下转第７３页） 第２期 张永明：交错级数审敛法综述 学研究，２００７，１０（３）：５１—５３． ７３ 不断发展，人们必然会遇到新的需要解决的问题。 可以预见，交错级数审敛问题的研究也将成为数学 工作者不断探索的一个课题。 参考文献： ［１］ 汪晓勤．１９世纪上半叶的无穷级数敛散性判别法［Ｊ］．大学 数学，２００４，２０（６）：１２７—１３４． ［８］ 骆汝九．交错级数敛散性的一个判别法［Ｊ］．盐城工学院学 报，２０００，１３（１）：７３－７５． ［９］ 葛建芳．交错级数收敛性的判别方法［Ｊ］．南通工学院学报， ２０００（ｓ１）：２３－２５． ［１Ｏ］ 曾玉祥．交错级数敛散性的判别模式［Ｊ］．成都大学学报：自 然科学版，２００８，２７（４）：３００－３０３． 李宏魁．判别变号数值级数敛散性的一种方法［Ｊ］．数学通 报，２００１（３）：３７－３８． ［２］ 张永明．常数项无穷级数判别法综述［Ｊ］．北京印刷学院学 报，２００９，１７（６）：６７－７０． ［１２］ 菲赫金哥尔茨．微积分学教程：第二卷第二分册［Ｍ］．北 京：人民教育出版社． ［１３］ 杨万必．关于交错级数的审敛准则的改进和推广［Ｊ］．大学 数学，２００６，２２（２）：１３８．１４１． ［１４］ 任文儒．交错级数收敛性的～个判别法及其应用［Ｊ］．锦州 师范学院学报：自然科学版，１９９８（４）：８－１０． ［３］ 张永明．判定正项级数发散的一种方法［Ｊ］．北京印刷学院学 报，２０１０，１８（２）：７０—７２． ［４］ 谷超豪．数学词典［Ｍ］．上海：上海辞书出版社，１９８７． ［５］ 彭晓珍，严钦容．关于交错级数的一个新的审敛准则［Ｊ］．大 学数学，２００４，２０（３）：１２０—１２３． ［６］ 苏翔，邱利琼，王大坤，等．一类交错级数的收敛定理［Ｊ］．大 学数学，２００６，２２（５）：１４３—１４５． ［１５］ 孙兰敏，张平．双项交错级数敛散性的判定［Ｊ］．衡水学院学 报，２００８，１０（１）：５－６． ［７］ 刘晓玲，张艳霞．交错级数收敛性的一个判别法［Ｊ］．高等数 （责任编辑：周宇） （上接弟６９＿贞） 于是，ｊ ∈（ｃ， ），使 盟：０，，（ ）＝０，从而， ＇ｒｒ即 ｃ÷＝ １［１一（１一 ） ］，（１一 ） ＝了１， 了７７∈（０，Ｃ），ｒｌ≠ ，使 Ｊ＿厂（ ）ｄｘ＝０ ｊ，（＇７）＝０。 注若用传统的积分第二中值定理的结论，则 ， ∈（０，订），使，（ ）＝ ｒ１）＝０。 １一，—／ Ｘ∈（０，１）。 例２设函数 ）在［０，霄］上连续，且 不能断定０＜ｃ＜，ｒｒ，从而不能排除 ， ：０，１Ｔ，如此就 』＂。ＩＴ ） ０，．『ｏ ｆ（ ）… ＿０’ 证明了 ，叼∈（０，１Ｔ）， ≠叼，使 ）＝ 卵）＝０。 不能证明 参考文献： ［１ｊ ｒ．Ｍ．菲赫金哥尔茨．微积分教程：第二卷第一分册［Ｍ］．北 京：人民教育出版社，１９５７． 证 ），ｃＯＳ ，（ＣＯＳ ） 在［０，１Ｔ］连续，Ｖ ∈ （ｏ，，丌），（ｃｏｓ ） ＝一ｓｉｎ ｘ＜０，所以］ｃ∈（０，１Ｔ），使 ）ＣＯＳ－￣ …０ …。ｓ耵 州 ＝ ［２ｊ 华东师范大学数学系．数学分析：上册［Ｍ］．３版．北京：高等 教育出版社，２００１． ［３］ 同济大学数学教研室．高等数学：下册［Ｍ］．４版．北京：高等 教育出版社，１９９６． ＼ ｘ、ａｘ一＼ｊ ｘ ａｘ＝＼ ｘ、ａｘ一 ２ －ｆ ）ｄ ＝［４］ 龚德恩．经济数学基础：第一分册［Ｍ］．四川：四川人民出版 社，１９９９． ２￣ｏｆ（ ） ＝０， （责任编辑：周宇）