最详细全面六年级奥数_数论教师版word

第 5讲

数论(一)

教学目标 数论问题本身范围很广，我们考察小学奥数的内容，完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密，但又是小奥的重难点，我们有必要加以重视．本讲需要学生掌握的知识点有：平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等.

本讲内容中，平方数部分是数论中最基本的部分，学生应当学会熟练运用平方差公式，对于约数和倍数部分，老师应当更注重其中的逻辑过程，可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻.

专题回顾

【例 1】 一个5位数，它的各位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数． 【分析】 现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性

质的运用要有具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手． 5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8．这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989．

【例 2】 已知ABCA是一个四位数，若两位数AB是一个质数，BC是一个完全平方数，CA是一个质数与

一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是_____________. 【分析】 本题综合利用数论知识，因为AB是一个质数，所以B不能为偶数，且同时BC是一个完全平方

数，则符合条件的数仅为16、36，当B1时，满足AB是一个质数的数有11，31，41，61，71，

时，此时同时保证CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，只有3163符合；

当B3，满足AB是一个质数的数有13，23，43，53，73，83，此时同时保证CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，只有8368符合．

专题精讲

分解质因数 【例 1】 2001个连续的自然数之和为abcd，若a、b、c、d都是质数，则abcd的最小值是

多少？

【分析】 遇到等量关系的表述时，先将其转化为数学语言．设这2001个连续自然数中最小的一个是A，则

最大的一个是A2000(遇到多个连续自然数问题，转化时一般均采用假设法，自己需要的量，题目中没有时，可以设未知数)，则它们的和是： AA20002001A10002001A100032329，则A1000是质数，所以A的

2最小值是9．abcd的最小值是：1009323291064.

［拓展］ 101个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是_______． ［分析］ 设这101个自然数中最小的数为a，则101个连续自然数的和为： a+(a+1)+(a+2)+……+(a+100)

=(a+a+100)×1012=(a+50)×101

因为101是质数，所以a+50必须是3个质数的乘积，要使和最小． 经检验a+50=66=2×3×11最小，所以和最小为66×101=6666．

［铺垫］ 已知□△×△□×□〇×☆△=□△□△□△，其中□、△、〇、☆分别表示不同的数字，那么

四位数〇△□☆是多少？

［分析］ 因为□△□△□△□△10101，所以在题述等式的两边同时约去□△即得△□×□〇

×☆△10101．作质因数分解得10101371337，由此可知该数分解为3个两位数乘积的方法仅有211337．注意到两位数△□的十位数字和个位数字分别在另外的两位数□〇和☆△中出现，所以△□=13，□〇=37，☆△=21．即〇=7，△=1，□=3，☆=2，所求的四位数是7132．

【例 2】 N为自然数，且N1，N2、……、N9与690都有大于l的公约数．N的最小值为_______． 【分析】 69023523，连续9个数中，最多有5个是2的倍数，也有可能有4个是2的倍数，

如果有5个连续奇数，这5个连续奇数中最多有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，所以必然有一个数不是2、3、5、23的倍数，即与690没有大于l的公约数． 所以9个数中只有4个奇数，这个数中，有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，则N1、N3、N5、N7、N9是偶数，剩下的4个数中N2、N8是3的倍数（5个偶数当中只有N5是3的倍数），还有N4、N6一个是5的倍数，一个是23的倍数.

剩下的可以用中国剩余定理求解，N5是2和3的倍数，且相邻两个数中一个是23的倍数，另一个是5的倍数，显然N524是最小解，所以N的最小值为19．

约数、倍数 【例 3】 已知，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，甲乙两数不是288和4中的数，那么甲

乙两数的乘积为多少?和为多少?

【分析】 设甲乙两个数为4x，4y，(x和y都不等于1或72),则x，y两数互质，于是4x，4y的最小公

288倍数为4xy，所以xy72，722332，由于x，y互质，所以2或3不可能在x，y的因

4

子中都出现，所以x，y一个是8一个是9，所以两数的乘积等于4y4x44xy1152，和为4x4y48968.

【例 4】 有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这

个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：⑴说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？⑵如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数．

【分析】 ⑴首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对．不然，其中说的不对的编号乘

以2后所得编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合．因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除． 其次利用整除性质可知，这个数也能被2×5，3×4，2×7都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对．从而可以断定说的不对的编号只能是8和9．

⑵这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数， 由于上述十二个数的最小公倍数是60060，

因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060．

［拓展］ 一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数和为10，那么此数为几？ ［分析］ 最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数和是9，由于9是1个奇数，所以

这两个约数的奇偶性质一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数．于是显然的，2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7，所以这个两位数是14的倍数，由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6，所以这个数只能是14或98，其中有6个约数的是98．

约数个数定理：

设自然数n的质因子分解式如p1a1p2a2p3a3Lpnan.

那么n的约数个数为dna11a21a31Lan1

a1a11a221自然数n的约数和为SnPLPP2a21LP22P211L 1P11P11P2

LPnanPnan1LPn2Pn11



【例 5】 两数乘积为2800，而且己知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数分别是

___________、___________．

【分析】 280024527，由于其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，所以这两个数中有一个数

的约数为奇数个，这个数为完全平方数．故这个数只能为22、24、52、2252或2452．经检验，只有两数分别为24和527时符合条件，所以这两个数分别是16和175．

［铺垫］ 在三位数中，恰好有9个约数的数有多少个？ ［分析］ 91933，

所以9个约数的数可以表示为一个质数的8次方， 或者两个不同质数的平方的乘积，

前者在三位数中只有256符合条件，后者中符合条件有100、196、484、676、225、441, 所以符合条件的有7个.

【例 6】 两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，

CD187，那么AB等于多少？

【分析】 最大公约数C，当然是最小公倍数D的约数，因此C是187的约数，1871117，C不等于1，

只能是C11或者C17．如果C11，那么D18711176．A和B都是176的约数，A和B不能是11，只能是22，44，88，176这四个数中的两个，但是这四个数中任何两个数的最大公约

数都不是11，由此得出C不能是11．现在考虑C17，那么D18717170，A和B是170的约数，又要是17的倍数，有34，85，170三个数，其中只有34和85的最大公约数是17，因此，A和B分别是34和85，AB3485119．

【例 7】 已知A是一个有12个约数的合数，8A、10A有24个约数，12A有40个约数，求15A有多少个

约数？

【分析】 设A2a3b5cd，d中不含有2、3、5因子，

那么A的约数个数有a1b1c1N12LLLL①(其中N为d的约数个数)

a42,于是a2， a1c23 10A的约数个数为a2b1c2N4b1c2N24，与①比较，于是c1，

c12b2 2，于是b0，12A的约数个数为a3b2c1N10b2N40，与①比较得到

b1将a、b、c代入①得到N2，15A的约数个数为a1b2c2N36.

8A的约数个数为a4b1c1N24，与①比较得到

［铺垫］已知偶数A不是4的整数倍，它的约数的个数为12，求4A的约数的个数. ［分析］ 将A分解，A2B，其中B是奇数，它的约数的个数为11N12，(其中N为B的约数个数)，

则4A的约数个数为13N24.

【例 8】 要使12m9n这个积是65的倍数，并要使mn最小，则m___,n___． 【分析】 分析题意，为同一个数可以由两种乘积的形式表示．关于因数乘积表示形式，类比联系我们所学

的知识点：质因数的唯一分解式：

ap1b1p2b2p3b3...pnbnp1,p2...pn为质因数，b1,b2...,bn为自然数

则12m9n22m3m2n是652535的倍数，

2m5m3mnm,n为整数则得到，使最小，则． m2n5n1

完全平方数 【例 9】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？ 【分析】 完全平方数，所有质因数必成对出现．

722332266，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍， 2313119222008232322048，共31个．

［铺垫］有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最 小值为_____． ［分析］ 考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技

巧．设中间数是x,则它们的和为5x, 中间三数的和为3x．5x是平方数，设5x52a2,则x5a2．3x15a235a2是立方数，所以a2至少含有3和5的质因数各2个, a2至少是225,中间的数至少是1125．最小数的最小值为1123．

【例10】 志诚小学三四年级的学生人数比一二年级的学生人数多100人，但比五六年级的学生人数少53人，已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，那么志诚中学总的学生人数有多少人？(请写出最现实的答案)

【分析】 五六年级的人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，所以可以设五六年级的学生人数为A2，

一二年级的学生人数为B2，则153ABAB，而1533317，所以，AB与AB可能为153和1；17和9；51和3，由这三个答案得到的A和B的值分别为：77和76，13和4，

27和24，显然由前两组答案得到的学校人数不符合现实，所以A27，B24为最佳结果.此时五六年级的学生人数为729人，一二年级的学生人数为576人，三四年级的学生人数为676，学校的总人数为7295766761981人.

［铺垫］能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？ ［分析］ 假设能找到，设这两个完全平方数分别为A2、B2，那么这两个完全平方数的差为

54ABAB，由于AB和AB的奇偶性质相同，所以ABAB不是4的倍数，

就是奇数，所以54不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到.

【例11】 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=5232,16就是

一个“智慧数”，那么从1开始的自然数列中，第2003个“智慧数”是_______．

【分析】 a2b2=abab．因为ab与ab同奇同偶， 所以“智慧数”是奇数或是4的倍数．

对于任何大于1的奇数2n1(n1)，当an1，bn时，都有a2b2=(n1)2n2=2n1．

即任何大于1的奇数都是“智慧数”．

对于任何大于4的4的倍数4n(n2)，当an1，都有a2b2=(n1)2(n1)2=4n． bn1时，

即任何大于4的4的倍数都是“智慧数”．除了1和4以外，非“智慧数”都是不能被4整除的

33偶数，“智慧数”约占全部正整数的．20032671，为26724668，加上1和4这两个非

44“智慧数”，在1～2672中共有非“智慧数”668+2=670(个)，有“智慧数”2672－670=2002(个)．所以第2003个“智慧数”是2673．

【例12】 （2008年清华附中入学考试题）有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个

平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是 （请写出所有可能的答案）．

【分析】 （法一）设这两个数分别是a和a14，则a2与a14两个数的末两位相同，即a2与

2a228a196的末两位相同，所以28a196是100的倍数，a个位只能是3或8．先设

则28a196280k280，当k4，9时满足条件，但k9时较大的两位数大于100a10k3，

不合题意．再设a10k8，可求得k1，6时满足条件．

所以一共有(43,57)、(18,32)、(68,82)三组答案．

（法二）所以a7是 a14a2a14aa14a28a7,28a7是100的倍数， 25的倍数，符合条件的a只有18、43、68．

2巩固精练 1． 两个连续自然数的平方和等于365，又有三个连续自然数的平方和等于365，则这两个连续自然

数为_______，这三个连续自然数为_______．

【分析】 132142365， 所以这两个连续自然数为13、14，102112122365，所以这三个连续自然

数为10、11、12．

2． 有n个自然数相加：123Lnaaa (和恰好是三个相同数字组成的三位数)，那么

n__________．

n(n1)【分析】 123Lnaaa，n(n1)2aaa2111a2337a，由于a是个一位数，

2n与n1是两个相邻的整数，只有当a6，n36时满足题意，所以所求的n为36．

3． 已知A有12个约数，9A有24个约数，15A有36个约数，5A有多少个约数？ 【分析】 设A3a5bB，有a1b1N12个约数，(N为B的约数个数)，于是9A有a3b1N24个约数，所以a1，15A有3b2N36个约数，由此求得b0，N6，所以5A有

a1b2N4N24个约数.

A、B两数都只含有质因数3和2，它们的最大公约数是18．已知A有12个约数，B有8个约

数，那么AB______．

【分析】 182132，A、B至少含有两个3和一个2．因为A有12个约数，121122634，所

以A可能是2135、2332或2233，B有8个约数，81824，所以B2133，于是A只能是2332，故AB23322133126．

5． 把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数为1．那

么最少要分几组?

【分析】 本题是一道关于最大公约数的问题．我们知道两个数的最大公约数为1，即互质，相当于它们的

质因数分解式中没有相同的质因数．这就提示我们将题目所给的数字质因数分解．将题目中的数字质因数分解如下：26213，33311，34217，3557，63327，85517，91713，1431113．由于题目要求将这些数字分组，满足每组中任意两个数的最大公约数为1，而26、91、143均含质因数13，因此它们两两不在同一组，于是这些数至少应分为3组．我们这里推出一种分法：将26、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组．

4．