抛物线焦点弦

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。由于抛物线定义的特殊性，使得它有许多其他圆锥曲线所没有的特征，特别是抛物线过焦点的弦的性质尤其突出，同时也高考中经常要考查的内容。

p2

设抛物线的方程为y=2px(P＞0),过焦点F(,0)作倾斜角为的直线，交抛

2物线于P、Q两点，则线段PQ称抛物线的焦点弦，(如图1).

抛物线的焦点弦具有以下性质:

性质1：设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1y2=-p. p

证明：①当=90时，PQ方程为x=代入y2=2px

2y2=p2,

即y1=p,y2=-p,∴y1y2=-p2.

②当≠90时，设直线PQ斜率为k,则

p

PQ方程为y=k(x﹣)与y2=2px联立，消x后得到：

2ky2-2py-kp2=0,∴y1y2=-p2.

因为y122px1，y222px2，所以y12•y224p2x1x2，

2y12•y2p2p4所以x1x2 2244p4p2

p2x1x2

4中有

例1过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证：直线MQ平行与抛物线的对称轴.

证明：为了方便比较，可将P点横坐标及Q点纵坐标均用P点的纵坐标y1表示.

y2p212

∴P(,y1),Q(x2,y2),但y1y2=-p，∴y2=﹣,

2py1

2ppp2

PM方程是：y=x,当x=﹣时,y=﹣即为M点的纵

y12y1

坐标，

这样M点与Q点的纵坐标相同，故MQ∥Ox.

[例2]设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则

OA•OB＝ .

33 A、 B、-44 C、3 D、-3

P2解析：设弦的两个端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），x1 x2=， y1y2P2，

4P23p232，故答案选B。 ∴OA•OB＝x1x2y1y2 ＝-p＝4442p

性质2：抛物线焦点弦的长度： ABp(x1x2)= 2.

sin证明：如图所示，分别做AA1、BB1垂直于准线l，由抛物线定义有 ABAFBFx1ppx2x1x2p. 22且有AFAA1AF•cosp,

BFBB1pBF•cos,

pp, BF.

1cos1cospppp∴ABAFBF+==.

1cos1cos1cos2sin2于是可得AF故命题成立.

例3已知圆M：x2+y2-4x=0及一条抛物线，抛物线顶点在O(0,0),焦点是圆M的圆心F，过F作倾斜角为的直线l,l与抛物线及圆由上而下顺次交于A、B、C、D四点，若=arcsin

5

,求|AB|+|CD|. 5

解：如图，方程x2+y2-4x=0,表示的图的

圆心为(2，0)即为抛物线的焦点， ∴抛物线的方程是y2=8x(其中p=4),

2p8

|AD|===40,但圆的直径|BC|=4，

sin21

5∴|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=40-4=36. 性质3：三角形OAB的面积公式：SOABp2 2sin证法一：当直线倾斜角为直角时，公式显然成立。 当直线倾斜角不是直角时， 设焦点弦所在直线方程：yk(x)

yk(x)y22pyp20 由2k2y2pxpp2性质4：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.

证法一：如图3，设PQ中点为R，则R即为PQ为直线圆的圆心，过R作RS⊥MN于S，

又设P(x1,y1),Q(x2,y2), |PQ|=|PF|+|QF|==

p2

(x1﹣)2+y1+

2

p(x2﹣)2+y22 2

p2

(x1﹣)+2px1+

2p2pp(x2﹣)+2px2=x1++x2+

222

=x1+x2+p,

x1+x2y1+y2x1+x2px1+x2+p

而R(,),∴RS=+=,

222221

∴|RS|=|PQ|,∴RS为圆的半径，命题得证.

2证法二：由图3知RS为梯形PQNM的中位线，

11

∴|RS|=(|PM|+|QN|)=|PQ|(利用性质3)，

22∴RS为圆的半径，故结论成立.

性质5：以抛物线y2=2px(p＞0),焦点弦PQ准线作垂线，垂足分别为M、N，则FM⊥FN.(其中

端点向F为焦

点).

证明：如图4，由抛物线定义知|PF|=|PM|，∴∠1=∠2， 而PM∥Ox, ∴∠2=∠3，∴∠1=∠3,

同理∠4=∠6，而∠1+∠3+∠4+∠6=180，∴∠3+∠6=90， ∴FM⊥FN.

112

性质6：设抛物线y=2px(p＞0),焦点为F，焦点弦PQ，则+=(定

|FP||FQ|p

2

值).

证法一：由P、Q向准线作垂线，垂足分别为M、N，作QA⊥Ox于A，FB⊥PM于B，准线与Ox交于E，

(如图5)由△AFQ∽△BPF，则|EF|-|NQ||PM|-|EF|

=,

|QF||PF|

但由定义知|NQ|=|FQ|,|PM|=|PF|,

|EF|-|FQ||PF|-|EF||EF||EF||EF||EF|∴=,有﹣1=1﹣即+=2,

|FQ||FP||FQ||FP||QF||PF|112而|EF|=p,代入后即得+=.

|FP||FQ|p

证法二：由性质的语法二，设|FP|=t1,|FQ|=-t2,

2pcosp22p

而t1+t2=,t1t2=﹣2,|t1-t2|=,

sin2sinsin2

2p

﹣2

1111t2-t1sin2则+=﹣==2=(∵t2﹣t1＜0),还有其它证法. |PF||QF|t1t2t1t2pp

﹣2

sin

例4 2001年理科第11题：过抛物线yax2(a0)的焦点F作一直线交抛物

|AF||BP|

＝,即|QF||FP|

线于P、Q两点，若线段PF与QF的长分别是p,q，则等于（ ）

（A）2a （B）

14 （C）4a （D） 2aa1

p1q

2004年理科第16题：设P是曲线y24(x1)上的一个动点，则点P到点(0,1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为 .

性质7：以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。 证明：如图，设A1(,y1),B1(,y2)， 则M1(,y1y2yy221pp2p22p2p2py1y2)，

22又KFM1，

KABy1y2yy22p， 212x1x2y1y2y1y22p2p ∴KAB•KFM11，即FMAB.

性质8：如图，A、O 、B1和B 、O、A1三点分别共线。

证明：因为KOAy1y12p，

2x1y12py1KOB1y22y22，而y1y2p， pp2py2p1所以KOA2p2y2KOB，

2所以A、O、B1三点共线。

同理可证，B、O、A1三点分别共线.

例5 2001年理科第19题：设抛物线y22px(p0)的焦点为F，经过点

F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，且BC//x轴，证明直线AC经过原点O

对于上述结论，重在考察抛物线的定义、直线方程、根与系数的关系等知识的综合应用，考察数形结合的数学思想，在处理客观题时，可以提高思维起

点，迅速求解.