高等工程数学-2013年练习题

注：解答全部写在答题纸上

一、填空题(本题24分，每小题3分)

1. x1与x2的绝对误差分别为1与2，则x1x2x1有绝对误差 ； 2. 用Cholesky (乔勒斯基) 分解法解线性方程组AXb的充分条件为 ; 用Doolittle (杜里脱尔) 分解法解线性方程组AXb的充分条件为 ； 3．方程x(x)有唯一根且迭代格式xn1(xn)收敛的条件为： ； ； ； 4．龙贝格算法中Tn与Sn的关系是 ，用Tm1(h)来逼近I2222baf(x)dx的误差为 ；

5．设总体X~N(,),0已知,X是样本均值，在检验假设H0:0时选用的检验统计量为 ，拒绝域为 ，的置信水平为1的置信区间为 ；

6. 设总体X服从[0,]上的均匀分布，则的矩法估计为 ，极大似然估计为 ； 7．线性回归方程是指 ；

8．用牛顿迭代法求f(x)xcosx0在x01附近满足精度xk1xk0.001的实根

x 。

二、（本题6分）设有钢材100根，长17米，需轧成配套钢料。每套由7根5米长与2根6米长的钢梁组成，问如何下料使钢材废料最少（不计下料损耗）？建立该问题的数学模型（不要求计算）。

三、（本题10分）已知f(x)的数据如表：

x -2 0 1 6 f(x) 0 2 -2 8 用三次Lagrange插值多项式L3(x)计算f(4)的近似值，并给出相应的误差估计式。

四、（本题12分）为研究温度对某个化学过程的生产量的影响，收集到如下数据（规范化形式）：

温度x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 生产量y 1 5 4 7 10 8 9 13 14 13 18 （1） 求Y对X的线性回归方程。（结果保留小数点后两位。）

xi110i0,yi102,xiyi158,

i1i11010xi1102i110,yi21194

i110（2）对回归方程的显著性进行检验。（检验水平=0.05, t0.025(9)2.2622,F0.05(1,9)5.12） 五、（本题12分）写出下面的线性规划的对偶规划并利用单纯形法求解线性规划（要求写出计算过程）：

1

max2x1x23x5s.t.x13x2x3x56x12x3x54

2x1x32x55xj0，j1,,5六、（本题10分）已知数值求积公式

121211f(x)dxA0f(1)A1f()A2f()，试确定A0,A1,A2，

33使该数值积分公式对次数2的一切多项式都精确成立，并确定其代数精度为多少。

七、（本题12分）影响水稻产量的因素有秧龄、每亩基本苗数和氮肥，其水平如下表

因素 1水平 2水平 7秧龄 苗数 氮肥 小苗 15万株/亩 8斤/亩 大亩 25万株/亩 12斤/亩 用L8(2)安排试验，并将秧龄、苗数、氮肥分别放在第一、二、四列，测得产量为60, 64，56，68，76，72，68，84 。将数据统计在下表中

1 2

（A） （B）

k1i 248 272

k2i 300 276

3 (A×B) 276 272 69 68 1 4 (C) 260 288 65 72 7 5 (A×C) 272 276 68 69 1 6 (B×C) 288 260 72 65 7 k1ik2i 62 68 75 69 13 1 y68.5，

R SST(yiy)2558，试在0.10下检验各因素及每两个因素的交互作用对产量有无显著影响。

八、（本题14分）设方程组为

18x1774x6 2（1）对方程组直接用雅可比迭代方法和高斯—塞德尔迭代法求解时，判断其收敛性。

（2）对方程组进行适当调整，使得用雅可比迭代方法和高斯—塞德尔迭代法求解时都收敛； （3）写出调整后所对应的Jacobi (雅可比) 迭代格式的分量形式和矩阵形式；

（4）在（3）的基础上，取初始向量x(0)(0,0)T，用Jacobi (雅可比) 迭代格式求准确解x 的近似解x*(k1)，

使 x(k1)x*105 ，至少需要迭代多少次？

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