一次函数与一元一次方程

八年级数学上册

一次函数与一元一次方程导学案

【教学目标】：

1、经历实际问题中的数量关系的分析、抽象初步体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系。

2、了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系。

3、通过解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.

【教学重难点】：

一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系。 【自学指导】：

 学生看P124---P126注意以下问题：

 细读P123的两个问题，这两个问题之间有什么联系吗？

我们这节课就来研究这个问题，并学习利用这种关系解决相关问题的方法．

大家来讨论思考，归纳概括出解一元一次方程2x+20=0与求自变量x为何值时，一次函数y=2x+20的值为0有什么关系？

活动目的：从特殊事例中寻求一般规律．进而总结出一次函数与一元一次方程的内在联系，从思想上真正理解函数与方程的关系．即回答P123的“思考”：

。

细读P124的例1，思考如何用函数的观点解决它？解决本题共有几种方法？这些方法的结果相同吗？  例题的格式和步骤，两种解法是从哪种角度解题呢？

【自学检测】：

0.利用图象求方程6x-3=x+2的解．（对照例1，你能用两种方法解决本题吗？）

方法1、

方法2、

00.利用函数图象求出x，并笔算检验。

（1）．2x-3=x-2． （2）．x+3=2x+1．

1、在一次函数y=2x-1中，已知x=0,则y= ；若已知y=2则x= ；

2、当自变量x 时，函数y=3x+2的值大于0；当x 时，函数y=3x+2的值y12

84O1 48x☆发散思维 ☆点拨方法 ☆开发智能 ☆因材施教 ☆直线提分 小于0。

3、已知函数y=-3x+2，当x 时，y＞4； 当x 时，y≤-2。

4、如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，观察图象，可知： （1）b= ；k= 。 （2）当y＞2时，x 。

5、已知函数y1 = 2 x – 4与y2 = - 2 x + 8的图象，观察图象并回答问题： (1)x取何值时，2x-4>0? (1)x取何值时，-2x+8>0?

(2)x取何值时，2x-4>0与-2x+8>0同时成立？ (3)你能求出函数y1 = 2 x – 4与y2 = - 2 x + 8 的图象与X轴所围成的三角形的面积吗？

【教学指导】：

分别回顾一元一次方程与一次函数的定义。 一次函数与一元一次方程的区别与联系（画图）。 【师生共同探究，总结】：

 规律：任何一个一元一次方程都可转化为：kχ＋b＝0（k、b为常数，

k≠0）的形式。而一次函数解析式正是у＝kχ＋b（k、b为常数，k≠0），当函数值为0时，即kχ＋b＝0就与一元一次方程完全相同。  结论：由于任何一元一次方程都可转化为kχ＋b＝0（k、b为常数，k

≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。从图象上看，这相当于已知直线у＝kχ＋b确定它与χ轴交点的横坐标值。

 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形

式．

而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值

为0时，•即kx+b=0就与一元一次方程完全相同． 总结： 从数的角度看: 求ax+b=0（a≠0）的解 与 x为何值时， 的值为0？是同一问题。

从形的角度看： 求ax+b=0（a≠0）的解 与确定直线 与x轴的横坐标是同一问题。

 解方程ax+b=0(a、b为常数， a≠0)

函数y=ax+b的值为0时， 已知直线y=ax+b确

求相应的自变量x的值 它与x轴交点的横坐标值

 由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）•的形式，所

以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，•求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x•轴交点的横坐标的值．



2

☆发散思维 ☆点拨方法 ☆开发智能 ☆因材施教 ☆直线提分

【提高练习】：

1．（与现实生活联系的应用题）某单位要制作一批宣传材料．甲公司提出：每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费．问：让哪家公司制作这批宣传比较合算？ 2．（学科内综合题）下图表示学校浴室淋浴器水箱中的水量y（L）•与进水时间x（min）的函数关系．

（1）求y与x之间的函数关系式． （2）进水多少分钟后，水箱中的水量超过100L？ 【作业与教学反思】： 一、选择题 1．如图1，直线y=kx+b与x轴交于点A（-4，0），则当y>0时，x的取值范围是（ • ） A．x>-4 B．x>0 C．x<-4 D．x<0 （1） （2） 2．已知一次函数y=kx+b的图像，如图2所示，当x<0时，y的取值范围是（ •） A．y>0 B．y<0 C．-2y2时，x的取值范围是（ ）． A．x>5 B．x<4．函数y=

1212 C．x<-6 D．x>-6 x-3与x轴交点的横坐标为（ ）．

A．-3 B．6 C．3 D．-6

5．对于函数y=-x+4，当x>-2时，y的取值范围是（ ）． A．y<4 B．y>4 C．y>6 D．y<6 二、填空题 1．对于一次函数y=2x+4，当______时，2x+4>•0；•当________•时，•2x+•4<•0；•当_______时，2x+4=0．

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☆发散思维 ☆点拨方法 ☆开发智能 ☆因材施教 ☆直线提分 2．已知y1=2x-5，y2=-2x+3，当_______时，y1≤y2． 3．已知关系x的方程ax-5=7的解为x=1，则一次函数y=ax-12与x•轴交点的坐标为________． 4．已知2x-y=0，且x-5>y，则x的取值范围是________． 5．关于x的方程3x+3a=2的解是正数，则a________． 三、解答题

1．已知y1=-x+2，y2=3x+4．

（1）当x分别取何值时，y1=y2，y1y2？

（2）在同一坐标系中，分别作出这两个函数的图像，请你说说（1）中的解集与函数图像之间的关系．

2．某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个个体车主或一国营出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x（cm），应付给个体车主的月费用为y1元，•应付给汽车出租公司的月费用为y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系的图像（两条射线）如图所示，观察图像回答下列问题：

（1）每月行驶的路程在什么范围内，租出租公司的车合算？ （2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？

（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家车合算？

3．某学校计划购买若干台电脑，•现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠． 甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠25%，那么甲商场的收费y1（元）与所买电脑台数x之间的关系式是________．

乙商场的优惠条件是：每台优惠20%，那么乙商场的收费y2（元）与所买电脑台数x之间的关系式是_________． （1）什么情况下到甲商场购买更优惠？ （2）什么情况下到乙商场购买更优惠？ （3）什么情况下两家商场的收费相同？

本节内容并不多，通过讨论一次函数与方程的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的内容的认识，熟悉数形结合思想。教材还说“这种再认识不是简单的回顾复习，而是居高临下地进行动态分析。

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