八年级同步第7讲：因式分解法及配方法求解一元二次方程-教师版

内容分析

因式分解法及配方法解一元二次方程

利用因式分解法及配方法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第

二节内容，主要对一元二次方程因式分解和配方法两种解法进行讲解，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是因式分解法和配方法在解一元二次方程中的灵活应用．通过这节课的学习一方面为我们后期学习求根公式法解一元二次方程提供依据，另一方面也为后面学习一元高次方程奠定基础．

知识结构

模块一：因式分解法解一元二次方程

知识精讲

1、因式分解法定义

运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法． 2、因式分解法理论依据

①如果两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零；反之，如果两个因式中至少有一个等于零，那么这两个因式的积也等于零（即：当AB0时，必有A0或． B0；当A0或B0时，必有AB0）

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②通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题． 3、因式分解法解一元二次方程一般步骤

①将方程右边化为零；

②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； ③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．

【例1】 已知x、y是实数，若xy0，则下列说法正确的是（

A、x一定是0

B、y一定是0

）．

D、x0且y0

C、x0或y0

例题解析

【难度】★ 【答案】C

【解析】xy=0 只需要xy其中一个为零整个乘式就为零，故选C． 【总结】本题考查当两个因式的乘积为零时，则每一个因式均为零．

【例2】 口答下列方程的根： （1）x(x8)0； （2）(x4)(x3)0； （3）(x7)(x6)0； （4）(5x1)(x2)0； （5）(xa)(xb)0． 【难度】★

【答案】（1） x0或x8；（2）x3或x4；（3） x6或x7；

1 （4）x或x2；（5） xa或xb．

5【解析】两数相乘为零其中一个为零即可，所以只要满足每一项分别为零，即可求解． 【总结】本题考查当两个因式的乘积为零时，则每一个因式均为零．

【例3】 解下列方程：

（1）5x2+6x0；

（2）3x24x0．

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【难度】★

54【答案】（1）x15，x2； （2）x10，x2．

635【解析】（1）由5x26x0，得x(5x6)0，解得：x15，x2，

6

5所以原方程的解为：x15，x2；

6（2）由3x24x0，得x（3x4）0，解得：x10，x2所以原方程的解为：x10，x24， 34． 3【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．

【例4】 解下列方程：

（1）5x(3x2)(x1)(3x2)0； 【难度】★ 【答案】（1）x1

（2）3x2x5452x0．

2154，x2； （2）x1，x2． 3234（3x2）【解析】（1）由5x(3x2)(x1)(3x2)0，得5xx10，

3x2）即 （4x 10，所以原方程的解为：x121，x2； 34（2）由3x2x5452x0，得2x53x40， 所以原方程的解为：x154，x2． 23【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．

【例5】 解下列方程：

（1）x23x1； （3）4x24x10； 【难度】★ 【答案】（1） x131111，x2； （2）x1，x2； 242222

（2）9(2x1)216(x2)20； （4）12xx236．

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（3）x1x221； （4）x1x26． 22【解析】（1）由x23x1，得x23x1或者x2(3x1)， 所以原方程的解为： x1

31，x2； 24（2）由9(2x1)216(x2)20，得9(2x1)216(x2)2，3(2x1)4(x2)，

解得：x111111或x，所以原方程的解为：x1，x2； 2222（3）由4x24x10，得(2x1)20，解得：x

所以原方程的解为：x1x21． 21； 2（4）由12xx236，得x212x360，即(x6)20，

所以原方程的解为：x1x26．

【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．

【例6】 解下列方程：

（1）x27x120； 【难度】★

【答案】（1）x13，x24； （2）x17，x23．

【解析】（1）由x27x120，得(x3)(x4)0，解得：x3或者x4，

所以原方程的解为：x13，x24；

（2）由x24x21，得x24x210，即(x7)(x3)0，解得：x7或者x3， 所以原方程的解为：x17，x23．

（2）x24x21．

【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．

【例7】 解下列方程：

（1）x23x180； 【难度】★★

【答案】（1）x16，x23； （2）x16，x22．

（2）0.1x21.20.4x．

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【解析】（1）由x23x180，得x23x180，即(x6)(x3)0，解得：x6或者

x3，所以原方程的解为：x16，x23；

x6或者x2，（2）由0.1x21.20.4x，得x24x120，即(x6)(x2)0，解得：所以原方程的解为：x16，x22．

【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程，注意符号的变化．

【例8】 解下列方程：

（1）2xx2x25； 【难度】★★

【答案】（1）x15，x21； （2）x14，x22．

【解析】（1）由2xx2x25，得2x24xx25，即x24x50，解得：x5或

者x1，所以原方程的解为：x15，x21；

（2）由x3x15，得x22x80，即(x4)(x2)0，解得： x4或者x2，所以原方程的解为：x14，x22．

（2）x3x15．

【总结】本题要先化成一般形式后再用十字相乘法进行求解，注意计算过程中的符号．

【例9】 解方程：x52x58． 【难度】★★

【答案】x11，x27．

【解析】由x52x58，得x52x580，即(x54)(x52)0， 解得：x1或者x7，所以原方程的解为：x11，x27． 【总结】本题必须把x+5看成一个整体，利用整体思想进行因式分解．

【例10】

解方程：x2(102)x250．

222【难度】★★

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【答案】x12，x210．

【解析】由x2(102)x250，得(x2)(x10)0，解得：x2或者x10，

所以原方程的解为：x12，x210．

【总结】本题主要考查将一个无理数化成两个无理数的乘积的形式．

【例11】

解方程：(12)x2(32)x20．

【难度】★★

【答案】x12，x221．

【解析】由(12)x2(32)x20，得[(12)x1](x2)0，解得： x2或者x112，所以原方程的解为：x12，x221．

【总结】本题需要仔细观察之后利用十字相乘法进行因式分解．

【例12】

已知一个一元二次方程的两个根分别为2和-3，用刚学的因式分解法思想，直

．

接写出满足条件的一个一元二次方程 【难度】★★

【答案】x2x60．

【解析】由(x2)(x3)0，得x2x60． 【总结】本题考查一元二次方程根的运用．

【例13】 若(a2b22)(3a2b2)30，求a2b2的值． 【难度】★★★

【答案】a2b2的值为8．

【解析】设a2b2x，则(a2b22)(3a2b2)(x2)(3x)30，

整理得：x25x240，即(x8)(x3)0，解得：x8或者x3， 因为a2b20，所以a2b2的值为8．

【总结】本题主要考查整体思想的运用，把x25x看成一个整体，然后再用十字相乘法分

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解求解，注意任何一个数的平方是一个非负数．

1、配方法定义

先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法． 2、配方法理论依据

配方法的理论依据是完全平方公式：a22abb2(ab)2． 3、配方法解一元二次方程一般步骤

①先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数； ②移项：把常数项移到方程右边；

③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(xm)2n的形式； ④当n0时，用直接开平方的方法解变形后的方程．

师生总结 1、含有字母系数的一元二次方程如何求解？ 2、若二次项系数含有字母，求解时应注意哪些问题？ 模块二：配方法解一元二次方程

知识精讲

例题解析

构造完全平方式，完成下列填空：

)2(x)2；

7/17 【例14】

（1）x26x(

班假暑级年八

（2）x28x(（3）x210x(1（4）x2x(2)2(x)2(x)2； )2；

)2(x)2．

【难度】★

【答案】（1）9 、3； （2）16、4； （3）25、5； （4）

11、． 164【解析】当二次项系数为1时，配方时，方程两边同加一次项系数一半的平方． 【总结】本题考查对配方法的理解及运用．

【例15】 【难度】★

【答案】x112，x212．

【解析】由x22x10，得x22x12，即(x1)22，

所以原方程的解为：x112，x212．

用配方法解方程：x22x10．

【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．

【例16】 【难度】★

【答案】x1m2m，x2m2m．

【解析】由x22mxm20，得x22mxm22m2，即(xm)22m2，

所以原方程的解为：x1m2m，x2m2m．

用配方法解方程：x22mxm20．

【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．

【例17】 【难度】★

用配方法解方程：x210x99750．

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【答案】x195，x2105．

【解析】由x210x99750，得x210x2510000，即(x5)210000，

所以x5100，所以x95或者x105， 所以原方程的解为：x195，x2105．

【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．

【例18】

用配方法解方程：y243y20130．

【难度】★★

【答案】y12345，y22345．

【解析】由y243y20130，得y243y122025，即(y23)22025，

所以y2345， 所以原方程的解为：y12345，y22345．

【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．

【例19】

用配方法解方程：2x25x200．

【难度】★★

51855185【答案】x1，x2．

44445【解析】由2x25x200，得2x25x200，即x2x100，

2

配方，得：x25185525255185，即(x)2，解得：x， x104162161641651855185所以原方程的解为：x1，x2．

4444【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方．

【例20】

用配方法解方程：0.3x20.2x10． 30【难度】★★ 【答案】x1x2

1． 39/17 班假暑级年八

【解析】由0.3x20.2x

11210，得3x22x0，即x2x0， 3033911所以(x)20，所以原方程的解为：x1x2．

33

【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方．

【例21】

用配方法解方程：(x1)22(x1)10（要求用整体法的思想求解）．

【难度】★★

x22． 【答案】x12，【解析】由(x1)22(x1)10，得(x1)22(x1)12，即(x11)22，

x22． 所以原方程的解为：x12，【总结】本题考查整体思想的运用，把x1看成一个整体进行配方．

【例22】

用配方法解关于x的方程：x22ax4b2a20．

【难度】★★

【答案】x1a2b，x2a2b．

【解析】由x22ax4b2a20，得x22axa24b2，即(xa)24b2，

解得：xa2b，所以原方程的解为：x1a2b，x2a2b．

【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．

【例23】

若把代数式x22x3化为(xm)2k的形式，其中m、k为常数，

．

则mk 【难度】★★ 【答案】5．

【解析】因为x22x3(x1)24，所以m1，k4，所以mk5． 【总结】用配方法把代数式变成需要的形式，然后求出m和k的值．

10/17 八年级暑假班

【例24】

已知方程x26xq0可以配方成(xp)27的形式，则x26xq2可以

）．

C、(xp2)29

D、(xp2)25

配方成下列的（

A、(xp)25

B、(xp)29

【难度】★★ 【答案】B

【解析】因为x26xq0可以配方成(xp)27的形式，所以x26xq2可写成

(xp)272的形式，即(xp)29．故选B．

【总结】本题主要考查对配方法的理解及运用．

【例25】 已知△ABC的一边长为4，另外两边长是关于x的方程x23kx2k20的两根，

当k为何值时，△ABC是等腰三角形？

【难度】★★★ 【答案】k2．

【解析】由x23kx2k20，得(x2k)(xk)0，所以xk或者x2k．

当k2时，x2和x4，满足三角形三边关系， 当k4时，x4和x8，不满足三角形三边关系． 所以k2时，△ABC是等腰三角形

【总结】先配方然后用分类讨论的方法解决问题．

师生总结 1、一元二次方程各项系数满足什么关系时，配方法能求出实数根？ 2、用配方法解一元二次方程时先要考虑什么因素？ 随堂检测

11/17 班假暑级年八

【习题1】 完成下列填空： （1）方程x22x的根为 ；

； ．

（2）方程(y1)(y2)0的根为

（3）方程x(x2)4(x2)的根为 【难度】★

【答案】（1）x12，x20； （2）y11，y22； （3）x12，x24． 【解析】（1）由x22x，得x(x2)0，解得：x2或者x0，

所以原方程的解为：x12，x20； （2）由(y1)(y2)0，得y1或者y2， 所以原方程的解为：y11，y22；

（3）由x(x2)4(x2)，得(x2)(x4)0，解得x2或者x4， 所以原方程的解为：x12，x24．

【总结】本题考查特殊的一元二次方程的解法．

【习题2】 完成下列填空： （1）x24x(（2）y2(【难度】★

)y)(x)2；

25(y4)2．

5【答案】（1）4、2； （2） 5、 ．

2【解析】利用完全平方公式的概念完成填空． 【总结】本题考查配方法的基本概念．

【习题3】 用因式分解法解下列方程，并写出是因式分解法中哪类方法：

12/17 八年级暑假班

（1）5x24x0； （3）x26x90；

（2）4x2(3x2)20； （4）x2x60．

【难度】★

x10，x2【答案】（1）

42x1x23；x12，x23．x12，x2； ；（2）（3）（4）

55【解析】（1）由5x24x0，得x(5x4)0，解得：x0，x4125； （2）由4x2(3x2)20，得(5x2)(x2)0，解得：x212，x25；

（3）由x26x90，得(x3)20，解得：x1x23；

（4）由x2x60，得(x3)(x2)0，解得x12，x23．

【总结】本题考查利用因式分解求解特殊的一元二次方程的根．

【习题4】 已知一个一元二次方程的两个根分别为3和6，那么这个方程可以是（ A、x23x180 B、x23x180

C、x23x180

D、x23x180

【难度】★ 【答案】B

【解析】直接将两个根分别为3和6代入原方程，即可验证，结果为B． 【总结】考查一元二次方程的根的概念，直接代入即可．

【习题5】 用适当的方法解下列方程： （1）4xx221； （2）(x2)(x2)2(x2)； （3）x22x30； （4）x23x180；

（5）2x25x70；

（6）4(x3)225(x2)20．

【难度】★★

【答案】（1）x17，x23； （2）x10，x22； （3）x11，x23； （4）x16，x23； （5）x11，x272； （6）x6413，x27．

【解析】（1）由4xx221，得(x7)(x3)0，解得：x17，x23；

13/17 ）．

班假暑级年八

（2）由(x2)(x2)2(x2)，得x(x2)0，解得：x10，x22； （3）由x22x30，得(x3)(x1)0，解得：x11，x23； （4）由x23x180，得(x6)(x3)0，解得：x16，x23； （5）由2x25x70，得(2x7)(x1)0，解得：x11，x27； 2（6）由4(x3)225(x2)20，得2(x3)5(x2)或2(x3)5(x2)，

64即3x16或7x4，解得：x1，x2．

37【总结】本题主要考查用适当的方法求解一元二次方程的解，注意方法的选择．

【习题6】 解方程：2x245x455x28． 【难度】★★

【答案】x12，x21885．

【解析】由2x245x455x28，得(52)x245x8450，

分解因式，得：[(52)x425](x2)0， 解得：x12，x21885．

【总结】本题主要考查利用因式分解求一元二次方程的根，注意准确计算．

【习题7】 用配方法说明：不论x为何值，代数式2x26x5的值总大于0． 【难度】★★★ 【答案】略．

9131【解析】因为2x26x5=2(x23x)=2(x)2，

4222

所以无论x取何值时，2x26x5的值总是大于0的．

【总结】本题主要考查利用配方法判定代数式的取值范围．

【习题8】 若实数x、y满足(x2y2)2(x2y2)60，求x2y2的值． 【难度】★★★

14/17 八年级暑假班

【答案】x2y22．

【解析】设x2y2m，则原式可变形为m2m60，即(m3)(m2)0，

解得：m2或m3．

因为x2y20，所以x2y22．

【总结】本题一方面考查换元法的运用，另一方面考查非负数的概念．

课后作业

）．

【作业1】 已知方程(a2b23)(2a2b2)0，则a2b2的值为（

A、2 【难度】★ 【答案】C

B、3

C、2或3

D、以上都不对

【解析】将a2b2看作一个整体，解得a2b2的值为2或3，因为a2b2是一个非负数，

所以a2b2的值为2，故选A．

【总结】本题一方面考查整体代入思想的运用，另一方面考查非负数的概念．

【作业2】 用因式分解法及配方法解下列方程：

（1）(x4)25(x4)； （3）x210x42000； （5）3x24x10； 【难度】★

【答案】（1）x11，x24； （2）x18，x23； （3）x170，x260；

（2）x25x240； （4）x22x40； （6）x26x50．

1（4）x14，x22； （5）x11，x2； （6）x11，x25．

3【解析】（1）由(x4)25(x4)，得(x4)(x45)0，解得：x11，x24；

（2）由x25x240，得(x8)(x3)0，解得：x18，x23； （3）由x210x42000，得(x70)(x60)0，解得：x170，x260；

15/17 班假暑级年八

（4）由x22x40，得：(x4)(x2)0，解得：x14，x22； 1（5）由3x24x10，得：(x1)(3x1)0，解得：x11，x2；

3（6）由x26x50，得：(x1)(x5)0，解得：x11，x25．

【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程的解．

【作业3】 用适当的方法解下列方程：

（1）3x(x1)3x3；

（2）7x223x200； （4）(x3)(x4)8；

（6）(x21)25(x21)40；

（3）2x(x2)x25；

（5）(3x2)(2x1)x(3x2)0；

（7）2y2(75)y350． 2【难度】★★

5【答案】（1）x11，x21； （2）x14，x2； （3）x15，x21；

72x22，x35，x45； （4）x15，x24； （5）x1，x21； （6）x12，357 （7）y1． ，y222【解析】（1）由3x(x1)3x3，得x21，解得：x11，x21；

5（2）由7x223x200，得(7x5)(x4)0，解得：x14，x2；

7（3）由2x(x2)x25，得(x5)(x1)0，解得：x15，x21；

（4）由(x3)(x4)8，得x2x200，即(x5)(x4)0，解得：x15，x24；

2（5）由(3x2)(2x1)x(3x2)0，得(3x2)(2x1x)0，解得：x1，x21；

3（6）由(x21)25(x21)40，得(x211)(x214)0，

x22，x35，x45； 解得：x12，（7）由2y2(75)y3557(2y5)(2y7)0，得：解得：． 0，y1，y2222【总结】本题主要考考查用适当的方法求解一元二次方程的根，注意在用十字相乘法分解时，

16/17 八年级暑假班

先将方程化为一般形式再分解．

【作业4】 若△ABC的三边a、b、c的长度是x27x60的解，求△ABC的周长． 【难度】★★

【答案】3或18或13．

【解析】由x27x60，得(x6)(x1)0，解得x1或x6．

当abc1时，成立；

当abc6时，成立；

当ab6，c1时，成立； 当ab1，c6时，不成立． 所以周长为3或18或13．

【总结】本题一方面考查因式分解解一元二次方程的根，另一方面考查三角形的三边关系．

【作业5】 求证：无论x为何值，代数式x24x5的值总是大于零． 【难度】★★ 【答案】略．

【解析】因为x24x5(x2)21，

所以无论x取何值，代数式x24x5的值总是大于零．

【总结】本题主要考查利用配方法判定代数式的取值范围． ．

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