(完整版)无穷级数整理

一、数项级数

（一）数项级数的基本性质

1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0. 2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数，总存在N使得对于任何两个N大于的正整数m和n，总有SmSn.（即部分和数列收敛）

3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.

4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变. 5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法

（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数

un1n和

vn1n之间自某项以后成立着关系：

存在常数c0，使uncvn(n1,2,)，那么 （i）当级数

vn1n收敛时，级数

un1n亦收敛；

（ii）当级数

un1n发散时，级数

vn1n亦发散.

推论：设两个正项级数

un和vn，且自某项以后有

n1n1un1vn1，那么 unvn（i）当级数

vn1n收敛时，级数

un1n亦收敛；

（ii）当级数

un1n发散时，级数

vn1n亦发散.

（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数

若limun和vn，

n1n1unl0，

nvn那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若l0，则当级数

vn1n收敛时，级数

un1n亦收敛；若l，则当级数

un1n发

散时，级数

vn1n亦发散.

常用度量： ①等比级数：

qn0n，当q1时收敛，当q1时发散；

②p-级数：

1，当p1时收敛，当p1时发散(p1时称调和级数)； pnn1③广义p-级数：

nlnnn21p，当p1时收敛，当p1时发散.

④交错p-级数：

(1)n1n11，当p1时绝对收敛，当0p1时条件收敛. np（4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数

un，当limn1un1r1时

nunun1r1时级数un发散；当r1或r1时需进一步判断. 级数un收敛；当limnun1n1n（5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数

un1n，设rlimnun，那么r1n时此级数必为收敛，r1时发散，而当r1时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设

un1n为正项级数，非负的连续函数f(x)在区间[a,)上单调

下降，且自某项以后成立着关系：f(un)un，则级数2.任意项级数的理论与性质

（1）绝对收敛与条件收敛：

①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数

un与积分n10f(x)dx同敛散.

un1n，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数

vn1n，其中

vnunun2unun2；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数

wn1n，其中

wn，那么若级数

un1nn绝对收敛，则级数

vn1n和

wn1n都收敛；若级数

un1n条件收敛，则级数

vn1n和

wn1都发散.

③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数

un1n和

vn1n都绝对收敛，它们的和分别为U和V，则它们各项之积按照任何方

式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV.特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积

unvn也绝对收敛，且和也为UV. n1n1注：cnunvn，这里cnu1vnu2vn1un1v2unv1.

n1n1n1（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数

(1)n1n1un满足limun0，

n且un单调减少（即unun1），则

(1)n1n1un收敛，其和不超过第一项，且余和的符号

与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.

二、函数项级数

（一）幂级数

1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 （1）柯西-阿达马定理：幂级数

an0n(xx0)n在xx0R内绝对收敛，在xx0R内发散，其中R为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数

an0n(xx0)n在x处收敛，则它必在xx0x0内绝对收敛；又若

an0n(xx0)n在x处发散，则它必在xx0x0也发散.

推论1：若幂级数

an0nxn在x(0)处收敛，则它必在x内绝对收敛；又若幂

级数

an0nxn在x(0)处发散，则它必在x时发散.

推论2：若幂级数

an0n(xx0)n在x处条件收敛，则其收敛半径Rx0，若又有

an0，则可以确定此幂级数的收敛域.

（3）收敛域的求法：令liman1(x)1解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.

na(x)n2.幂级数的运算性质

（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：

nnnanxbnxaibnixn，收敛域仍取交集. n0n0n0i0（2）幂级数的和函数S(x)在收敛域内处处连续，且若幂级数

an0nn(xx)在xx0Rn0处收敛，则S(x)在x0R,x0R内连续；又若幂级数敛，则S(x)在x0R,x0R内连续.

an0(xx0)n在xx0R处收

（3）幂级数的和函数S(x)在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 （1）常用的幂级数展开：

xn121n①e1xxx，x(, +).

n!2!n!n0x12n②··+x+··· =xn，x(1, 1). =1+x+x+·1xn011n(x)，(1)nx2n. 从而，21xn01xn01315x2n1x2n1nn(1)③sinxxxx(1)，x(, +).

3!5!(2n1)!(2n1)!n02n2n1214nxnx(1)④cosx1xx(1)，x(, +). 2!4!(2n)!(2n)!n0n12131n1nn1xx(1)⑤ln(1x)xxx(1)，x(1, 1]. 23n1nn1⑥(1x)1x(1)2!x2(1)(n1)n!xn，x(1, 1).

1x3(2n1)!!x2n1(2n)!⑦arcsinxxnx2n1，x[1, 1]. 223(2n)!!2n1n04(n!)(2n1)1311n2n1x(1)nx2n1，x[1, 1]. ⑧arctanxxx(1)32n12n1n0（2）常用的求和经验规律：

①级数符号里的部分x可以提到级数外；

②系数中常数的幂中若含有n，可以与x的幂合并，如将cn和xn合并为(cx)； ③对

nan0n x求导可消去an分母因式里的n,对anxn积分可消去an分子因式里的n1；

nn0④系数分母含n!可考虑ex的展开，含(2n)!或(2n1)!等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数

1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立） 若f(x)以2l为周期，且在[l, l]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；

则f(x)诱导出的傅里叶级数在[l, l]上处处收敛. 2. 傅里叶级数S(x)与f(x)的关系：

f(x)，x为连续点；f(x0)f(x0)S(x)，x为间断点；

2f(l0)f(l0)，x为边界点.23.以2l为周期的函数的傅里叶展开展开：

a0nxnxf(x)~S(x)ancosbnsin

2n1ll1la0llf(x)dx1lnx（1）在[l, l]上展开：anf(x)cosdx；

lll1lnxbf(x)sindxnlll（2）正弦级数与余弦级数：

a00①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：an0；

2lnxbnf(x)sindx0ll2la0l0f(x)dx2lnx②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：anf(x)cosdx；

0llbn04.一些在展开时常用的积分： （1）

0(1)n11sinnxdx;cosnxdx0;

0n11n（2）2sinnxdx;2cosnxdxsin；

00nn2（3）

0(1)n1(1)n122(1)nxsinnxdx;xcosnxdx；0xcosnxdxn2； 0nn21axe(asinnxncosnx)C； 22an1 eaxcosnxdx2eax(nsinnxacosnx)C； 2an（4）eaxsinnxdx（5）sinaxsinnxdx11sin(an)xsin(an)xC；

2(an)2(an)11sin(an)xsin(an)xC.

2(an)2(an)

cosaxcosnxdx注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于l的情形，事先令tlx对求积分通常是有帮助的.