浙江省金丽衢十二校2015届高三第一次联考数学理试题

浙江省金丽衢十二校2015届高三第一次联考数学理试题

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是符合题目要求的. 1．已知集合Axxa，Bx1x2，且ACRBR，则实数a的取值范围是

A．a1 B．a1 C．a2 D．a2 2．已知a,bR，下列命题正确的是 A．若ab， 则

11 

ab B．若ab，则

11 ab

C．若ab，则a2b2 D．若ab，则a2b2

3. 已知an为等比数列，则“a1a2a3”是“an为递减数列”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．设m,n为空间两条不同的直线，,为空间两个不同的平面，给出下列命题：

①若m//,m//，则//； ②若m,m//，则； ③若m//,m//n则n//； ④若m,//，则m． 其中的正确命题序号是

A．③④ B．②④ C．①② D． ①③

5． 已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足a11，a23，an23an，则S2014

A．2310072 B．231007320141 C．

2320141D．

26．函数f(x)sin(2x)3cos(2x)（的增区间

2）的图像关于点(6则f(x),0)对称，

5k,k,kZ B．k,k,kZ

633657C．k,k,kZ D．k,k,kZ

12121212A．x4x3x4x37. 已知fxm有两个不同的零点,则m的取值范围是

221

A.,3 B. 3, C. 0,3 D.3, 8. 长方体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，若在侧棱AA1上至少存在一点E,使得C1EB90,则侧棱AA1的长的最小值为 A1 A. a B. 2a C. 3a D. 4a

E D A

(第8题图)

B

C

D1 B1

C1

x2y29.已知F1,F2分别为双曲线221a0,b0的左右焦点，如

ab果双曲线右支上存在一点P,使得F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为 A. 1e2323 B. e C. e3 D. 1e3 335b2(ac)5a8b4c10.设实数a,b,c满足b2ac的最大值和最小值分别为M,m，则,若

aba0Mm的值为

A. 9 B.

3249 C. D. 19 33第Ⅱ卷

二、填空题：本大题有7小题,每小题4分,共28分.把答案填在答题卷的相应位置.

xy111．设x,y满足约束条件xy1，则目标函数z4xy的最小值为 .

3xy312．已知sin(x1),则sin2(x) . 6432213. 设直线ax2y60与圆xy2x4y0相交于点P,Q两点，O为坐标原点，且OPOQ，则实数a的值为 .

14.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积为 cm3.

4 5

正视图

2

侧视图

3

第14题图

俯视图

15.已知f1xlog4x,f2xlog6x,f3xlog9x,若f1nf2mf3mn，则

m . n16.已知ABC是边长为23的正三角形，EF为ABC的外接圆O的一条直径， M为

ABC边上的动点，则MEFM的最大值为 .

x2y217. 点P为椭圆221a0,b0在第一象限的弧上任意一点，过P引x轴，y轴

ab的平行线，分别交直线ybx于Q,R，交y轴，x轴于M,N两点，记OMQ与a2ONR的面积分别为S1,S2，当ab2时，S12S2的最小值为 .

三.解答题：本大题共5小题,满分72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）

在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c, 已知△ABC的面积Sa2bc.

2（Ⅰ）求sinA与cosA的值； （Ⅱ）设ba,若cosC

19.（本题满分14分）

设数列an的前n项的和为Sn，且（Ⅰ）求an的通项公式an； （Ⅱ）当n2时，an14,求的值. 5S2S3S4Sn12. a1,是等差数列，已知1234nan140恒成立，求的取值范围.

3,设BD与AC相交于点G,H为FG的中点.

20. （本题满分14分） 如图，四边形ABCD为菱形，ACFE为平行四边形，且面ACFE面ABCD，ABBD2,AE（Ⅰ）证明CH 面BFD;

（Ⅱ）若AE与面ABCD所成的角为60,求二面角BEFD的平面角余弦值的大小.

F

E

H

D

C

G A B 第20题图

3

YCOBMANX 第21题图

21.（本题满分15分）已知抛物线:y2px(p0)的焦点到准线的距离为2. （Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）如图所示，直线l1与抛物线相交于A,B两点，C为抛物线上异于A,B的一点，且ACx轴，过B作AC的垂线，垂足为M,过C作直线l2交直线BM于点N,设l1,l2的斜率分别为k1,k2，且k1k21.

（ⅰ）线段MN的长是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由; （ⅱ）求证A,B,C,N四点共圆.

22. （本题满分数,gx(且仅有一根

15

分）已知二次函数fx2xaxb为偶函

2231)xm，hxcx12c2.关于x的方程fxhx有

1. 2(Ⅰ)求a,b,c的值;

(Ⅱ)若对任意的x1,1,(Ⅲ)令xfxgx恒成立, 求实数m的取值范围;

fxf1x,若存在x1,x20,1使得x1x2gm,求实数

m的取值范围.

4

金丽衢十二校2014-2015学年第一次联合考试

数学试卷(理科)参考答案

一、选择题(5×10=50分) 题号 1 答案 C 2 D 3 C 4 B 5 A 6 D 7 C 8 B 9 B 10 D 二、填空题(4×7=28分) 11. 1 12.

15151 13. 2 14. 20 15. 16. 3 17.

2162三.解答题(72分)

1bcsinAa2b2c22bc2bccosA2bc 28sinA1722所以sinA4cosA4 又因为sinAcosA1 解方程组可得 

15cosA1718解 （Ⅰ）由题意可得

-----------------------------7分

377 sinBsinACsinAcosCcosAsinC 585bsinB77所以.-----------------------------7分 asinA40（Ⅱ）易得sinC

19. 解 （Ⅰ）由题意可得3anSnSn1（Ⅱ）an1解法一： 设bnS3SS313112,34,nn Snn2n 33n22223n2 n2 当n1时也成立, an3n2

an1403n1413n2n473n2

n1-----------------------------6分

-----------------------------10分

n1n2n16n483n1n473n23bn1bn nn1nn1当n5时，bn1bn0bn1bn

当n4时，bn1bn0bn1bn

n473n2

bn的最小值为b5169,169.

-----------------------------14分

解法二： 设n1t 则

5

n473n2=3t48145169 （当t4，即n5时取最小值）

n1tF

M E

H

20.（Ⅰ）

证明：四边形ABCD为菱形 BDAC

又面ACFE面ABCD BD面ACFE

BDCH 即CHBD

又H为FG的中点,CGCF3 CHFG

又FGBDG CH 面BFD

——————————5分 （Ⅱ）

过G作EF的垂线，垂足为M，连接MB,MG,MD 易证得EAC为AE与面ABCD所成的角，EAC=60 DMB为二面角BEFD的平面角

313 ,BD2,BG1,BMDM225所以由余弦定理可得：cosDMB.

13MG21.解 （Ⅰ）p2 ——————————4分

（Ⅱ）设Ax1,y1,Bx2,y2,则Cx1,y1,Mx1,y2,直线l1的方程为：yk1xb

yk1xb222由2消元整理可得：k1x2bk14xb0 y4x42bk14xxyy2121k12k1所以  可求得： 24bbxxyy12122k1k1——————6分

直线l2的方程为：yy1k2(xx1) 所以可求得YCOBMANXy1y2y1y24Nx,yMN 所以===4.——————9分 12kkkk22122bk12AB的中点Ek2,k

112bk121x则AB的中垂线方程为：y 2k1k1k16

2k12bk12,0与BC的中垂线x轴交点为：o 所以ABC的外接圆的方程为： 2k12k12bk122k12bk12222——————12分 xy(x)y2222k1k1由上可知Nx14,y2

22k12bk122k12bk122k12bk12x14x2x1x2420 222k1k1k12k12bk122k12bk12222 x4y(x)y122222k1k1所以A,B,C,N四点共圆.————————————15分 解法二：易知ABC的外接圆圆心o在x轴上 作B关于o的对称点B,则BB为直径， 易知B横坐标为2Y2CB'OB0'X2kbk12x2 k1221MAN2k12bk12x1x2420 2k12k12bk12所以2x2x14

k12所以BNB90所以A,B,C,N四点共圆. 22. 解 (Ⅰ) 由fxfxa0

由fxhx可得：c2x2cxcb0 代入x20c2c2cb ②

22联立方程①②解得：b1,c a0，b1,c.—————3分

33(Ⅱ)2x1(31)xm

当x0时，m1————————4分

22191得：bc ① 2422当m1时，(2x1)(31)x12231xx10

2x21(31)x1 m1——————————7分

(Ⅲ)由题意可知x1x2max

7

231x2231x

3m——————————9分

由a0，b1,c222易证明fxx1在x0,1上恒成立， 332x216x1在x0,1上恒成立； 3由(Ⅱ)知2x21(31)x1在x0,1上恒成立

6x13fx(31)x1在x0,1上恒成立.

61x13又因为当x0,1时, 1x0,1f1x(31)(1x)1

6x161x1x(31)x1(31)1x1 33即6x131 6, 0max1max31

2minx1x2max3163m

m1另解：

32.————————15分 3(x)2x212(1x)212[x211(x1)2]， 22设P(x,0),A(0,22),B(1,)，显然(x)2PAPB，由下图易知： 22yAPAPBPAPBminAB3,

OAOB26， 22maxOPBx∴(x)min6,(x)max13，

x1x2max3163m

m1

32. 38