教学资料范本 2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题三第一讲三角函数的图象与性质 编 辑：__________________ 时 间：__________________ 1 / 28 第一讲 三角函数的图象与性质 高考考点 三角函数的定义域、值域、最值 考点解读 1.求三角函数的值域或最值 2．根据值域或最值求参数 1.根据图象或周期公式求三角函数的周三角函数的单调性、奇偶性、对称性和期、单调区间或判断奇偶性 周期性 2．根据单调性、奇偶性、周期性求参数 三角函数的图象及应用 备考策略 2 / 28 1.考查三角函数的图象变换 2．根据图象求解析式或参数 本部分内容在备考时应注意以下几个方面： (1)加强对三角概念的理解.会求三角函数的值域或最值． (2)掌握三角函数的图象与性质.能够判断三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等． (3)掌握三角函数图象变换.已知图象求参数.“五点法”作图． 预测20xx年命题热点为： (1)三角函数在指定区间上的值域、最值问题． (2)已知三角函数奇偶性及对称性、周期性等性质求参数或求函数的单调区间． (3)三角函数的图象变换及求三角函数的解析式． 知识整合Zhi shi zheng he 1．三角函数的图象与性质 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 定义域 值域 奇偶性 最小 正周期 R [－1,1] 奇函数 2π π在 [－2单调性 π＋2kπ.＋2kπ](k∈2Z)上递增． R [－1,1] 偶函数 2π 在 [－π＋2kπ.2kπ](k∈Z)上递增．在！！！！ [2kπ.π＋2kπ](k∈Z)上递减 在 (－＋kπ. {x|x≠ π＋kπ.k∈Z} 2R 奇函数 π π2π＋kπ)(k∈2Z)上递增 3 / 28 π在 [2＋2kπ.3π＋2kπ](k∈2Z)上递减 当x＝π＋2kπ.k∈2当x＝2kπ.k∈Z时.y取得最大值1. 当x＝π＋2kπ.k∈Z时.y取得最小值－1 对称中心：π对称中心：！ (＋kπ.0)(k∈Z). 2kπ！ (.0)(k∈Z) 2对称轴： x＝kπ(k∈Z) 无最值 Z时.y取得最大值1. 最值 π当x＝－＋2kπ.k∈2Z时.y取得最小值－1 对称中心：！ (kπ.0)(k∈Z). 对称性 对称轴： πx＝＋kπ(k∈Z) 22.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图 设z＝ωx＋φ.令z＝0、可得． π3π、π、、2π.求出x的值与相应的y的值.描点连线22 4 / 28 3．三角函数的奇偶性 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z).是偶函数⇔φ＝kπ＋Z)； (2)函数y＝Acos(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ＋Z)； (3)函数y＝Atan(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 4．三角函数的对称性 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝ kπ＋π(k∈Z)解得.对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得； 2π(k∈Z).是偶函数⇔φ＝kπ(k∈2π(k∈2(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝ kπ(k∈Z)解得.对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋π(k∈Z)解得； 2kπ(k∈Z)解得． 2(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)的图象的对称中心由ωx＋φ＝易错警示Yi cuo jing shi 1．忽视定义域 求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问题时.要注意函数的定义域． 2．重要图象变换顺序 在图象变换过程中.注意分清是先相位变换.还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的.如果x的系数不是1.就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 3．忽视A.ω的符号 在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时.要特别注意A和ω的符号.若ω<0.需先通过诱导公式将x的系数化为正的． 4．易忽略对隐含条件的挖掘.扩大角的范围导致错误． 1．(20xx·全国卷Ⅰ.8)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2.则( B ) 5 / 28 A．f(x)的最小正周期为π.最大值为3 B．f(x)的最小正周期为π.最大值为4 C．f(x)的最小正周期为2π.最大值为3 D．f(x)的最小正周期为2π.最大值为4 [解析] f(x)＝2cos2x－(1－cos2x)＋2＝3cos2x＋1 35＝cos2x＋.所以最小正周期为π.最大值为4. 222．(文)(20xx·全国卷Ⅱ.10)若f(x)＝cosx－sinx在[0.a]上是减函数.则a的最大值是( C ) A．C．π 4B．π 23π 4D．π ππ3π[解析] f(x)＝cosx－sinx＝2cosx＋在－，上单调递减. 4443ππ3π所以[0.a]⊆－，.故0
0,2|x|sin2x>0.所2π以图象在x轴的上方.当x∈，π时.sin2x<0,2|x|sin2x<0.所以图象在x轴的下2方.排除C.故选D． ππ4．(20xx·江苏卷.7)已知函数y＝sin(2x＋φ)－<φ<22ππ的图象关于直线x＝对称.则φ的值是－. 36ππ2π[解析] 正弦函数的对称轴为x＝＋kπ(k∈Z).故把x＝代入得＋φ＝233πππππ＋kπ(k∈Z).φ＝－＋kπ(k∈Z).因为－<φ<.所以k＝0.φ＝－. 262265．(20xx·全国卷Ⅲ.15)函数f(x)＝cos3x＋在[0，π]的零点个数为3. 6ππππ1[解析] 令f(x)＝cos3x＋＝0.得3x＋＝＋kπ(k∈Z).即x＝＋kπ(k66293∈Z). 当k＝0时.x＝π4π7π∈[0.π].当k＝1时.x＝∈[0.π].当k＝2时.x＝∈[0.π]. 999ππ3x＋在[0.π]上零点的个数为3. 所以f(x)＝cos66．(20xx·北京卷.16)已知函数f(x)＝sin2 x＋3sinxcosx. (1)求f(x)的最小正周期； 3π(2)若f(x)在区间－，m上的最大值为.求m的最小值． 2313[解析] (1)由已知.f(x)＝(1－cos2x)＋sin2x＝ 22311π12πsin2x－cos2x＋＝sin(2x－)＋.所以f(x)的最小正周期为T＝＝π. 222622(2)方法一：显然m>－π. 3 7 / 28 π2π，2m. 若x∈－，m.则2x∈－332x－ππ5π，2m－. ∈－666πππ<即m<. 623π3.m]上的最大值小于.不合题意． 32①若2m－则f(x)在[－②若2m－当2x－πππ≥即m≥. 623ππππ3＝即x＝时.f(x)在[－.m]上取得最大值.符合题意.综上.m的62332π最小值为. 3方法二： 显然m>－ππ3.因为f(x)在[－.m]上的最大值为. 332ππ)在[－.m]上的最大值为1. 63πππ＝＋2kπ.即x＝＋kπ(k∈Z)时. 623所以y＝sin(2x－又因为当且仅当2x－y＝sin(2x－π)＝1. 6ππ所以[－.m]∩{x|x＝＋kπ(k∈Z)}≠∅. 33令ππ2＋kπ≥－(k∈Z)得k≥－.即k＝0,1,2.… 333ππππ＋0×π＝∈[－.m].即m≥. 3333π. 3 命题方向1 三角函数的值域、最值问题 所以x＝所以m的最小值为 8 / 28 例1 (1)(20xx·石家庄一模)若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于(上的最小值是( B ) A．－1 1C．－ 2B．－3 3D．－ 2πππ.0)中心对称.则函数f(x)在[－.]246πππ[解析] f(x)＝2sin(2x＋θ＋).又图象关于(.0)中心对称.所以2×＋θ＋622π＝kπ.k∈Z. 67π5π所以θ＝kπ－.又0<θ<π.所以θ＝. 66所以f(x)＝－2sin2x. 因为x∈[－ππ.]. 46ππ.].f(x)∈[－3.2]. 23所以2x∈[－所以f(x)的最小值是－3. ππ(2)已知函数f(x)＝2sin(2x＋).记函数f(x)在区间[t.t＋]上的最大值为M.最64π5π小值为m.设函数h(t)＝Mt－mt.若t∈[.].则函数h(t)的值域为[1,22]. 1212πT[解析] 由已知函数f(x)的周期T＝π.区间[t.t＋]的长度为.作出函数f(x)44π2π在[.]的图象． 123 9 / 28 π5πππππ又t∈[.].则由图象可得.当x∈[.]时.h(t)取最小值为f()－f()＝2121212363－1＝1.当x∈[π2ππ.]时.函数f(x)为减函数.则h(t)＝f(t)－f(t＋)＝22sin(2t－634π7π).所以当t＝时.h(t)的最大值为22.故所求值域为[1,22]． 1224 『规律总结』 三角函数值域(最值)的三种求法 (1)直接法：利用sinx.cosx的有界性直接求． (2)单调性法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式.采用整体思想.求出ωx＋φ的范围.根据y＝sinx的单调性求出函数的值域(最值)． (3)换元法：对于y＝asin2x＋bsinx＋c和y＝a(sinx＋cosx)＋bsinxcosx＋c型常用到换元法.转化为二次函数在限定区间内的最值问题． 跟踪训练Gen zong xun lian π5π.)上仅有1个最值.且为最大值.6121．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)在(则实数ω的值不可能为( C ) 4A． 53C． 27B． 65D． 4π). 4[解析] 依题意.函数f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋又函数f(x)在x∈(与性质知.2kπ－π5π.)上仅有1个最值.且为最大值.根据三角函数的图象612πππππ5ππ3π<ω＋<2kπ＋.k∈Z.且2kπ＋<ω＋<2kπ＋.k∈2642212429324324Z.即为12k－<ω<12k＋且k＋<ωf(x)max－2.42所以f(x)max＝3.不等式f(x)－m<2在x∈[即m的取值范围是(1.＋∞)． 命题方向2 三角函数的性质及应用 例2 已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx(x∈R)． (1)求f(2π)的值； 3(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间． 2π32π1[解析] (1)由sin＝.cos＝－. 32322π3131得f()＝()2－(－)2－23××(－). 322222π所以f()＝2. 3(2)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx得f(x)＝－cos2x－3sin2x＝π－2sin(2x＋). 6所以f(x)的最小正周期是π. 由正弦函数的性质得kπ≤x≤2π＋kπ.k∈Z. 3ππ3ππ＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ.k∈Z.解得＋2626π2π所以f(x)的单调递增区间是[＋kπ.＋kπ](k∈Z)． 63『规律总结』 11 / 28 1．求解函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题的三种意识 (1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式． (2)整体意识：类比y＝sinx的性质.只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”.采用整体代入求解． ①令ωx＋φ＝kπ＋π(k∈Z).可求得对称轴方程． 2②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z).可求得对称中心的横坐标． ③将ωx＋φ看作整体.可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间.注意ω的符号． (3)讨论意识：当A为参数时.求最值应分情况讨论A>0.A<0. 2．求解三角函数的性质的三种方法 (1)求单调区间的两种方法 ①代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A.ω.φ为常数.A≠0.ω>0)的单调区间时.令ωx＋φ＝z.则y＝Asinz(或y＝Acosz).然后由复合函数的单调性求得． ②图象法：画出三角函数的图象.结合图象求其单调区间． (2)判断对称中心与对称轴：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点.对称中心一定是函数的零点这一性质.通过检验f(x0)的值进行判断． (3)三角函数周期的求法 ①利用周期定义． ②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为π)的最小正周期为. |ω|③利用图象． 跟踪训练Gen zong xun lian 2π.y＝tan(ωx＋φ|ω|1．已知ω>0.在函数y＝2sinωx与y＝2cosωx的图象的交点中.距离最短的两个交点的距离为23.则ω＝π. 2 12 / 28 [解析] 由题意.两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离.设相邻的两交点坐标分别为P(x1.y1).Q(x2.y2).易知|PQ|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.其中|y2－y1|＝2－(－2)＝22.|x2－x1|为函数y＝2sinωx－2cosωx＝22sin(ωx－π)的42π两个相邻零点之间的距离.恰好为函数最小正周期的一半.所以(23)2＝()2＋2ωπ(22).ω＝. 22ππ2．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A.ω.φ是常数.A>0.ω>0)．若f(x)在区间[.]上62π2ππ具有单调性.且f()＝f()＝－f().则f(x)的最小正周期为π. 236ππππ[解析] 由f(x)在区间[.]上具有单调性.且f()＝－f()知.f(x)有对称中6226ππ21π27心(.0).由f()＝f(π)知f(x)有对称轴x＝(＋π)＝π.记f(x)的最小正周期323223121ππ27ππT为T.则T≥－.即T≥π.故π－＝＝.解得T＝π. 226312344命题方向3 三角函数的图象及应用 例3 (1)将函数y＝3cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后.所得到的图象关于y轴对称.则m的最小值是( A ) A．C．π 6B．π 125π 6π 3D．[解析] 设f(x)＝3cosx＋sinx ＝2(31cosx＋sinx) 22π＋x). 3＝2sin(向左平移m个单位长度得 13 / 28 π)． 3g(x)＝2sin(x＋m＋∵g(x)的图象关于y轴对称. ∴g(x)为偶函数. ∴ππ＋m＝＋kπ(k∈Z). 32π∴m＝＋kπ(k∈Z).又m>0. 6π∴m的最小值为. 6π(2)已知A.B.C.D是函数y＝sin(ωx＋π)(ω>0,0<φ<)一个周期内的图象上的四2π个点.如图所示.A(－.0).B为y轴上的点.C为图象上的最低点.E为该图象的一个6π→对称中心.B与D关于点E对称.CD在x轴上的投影为.则( A ) 12 A．ω＝2.φ＝π 3B．ω＝2.φ＝π 61πC．ω＝.φ＝ 231πD．ω＝.φ＝ 26Tπππ[解析] 由题意可知＝＋＝. 46124∴T＝π.ω＝2π＝2. πππ又sin[2×(－)＋φ]＝0,0<φ<. 62π∴φ＝.故选A． 3『规律总结』 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的确定 14 / 28 最大值－最小值； 2(1)A由最值确定.A＝(2)ω由周期确定； (3)φ由图象上的特殊点确定． 提醒：根据“五点法”中的零点求φ时.一般先根据图象的升降分清零点的类型． 2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换.还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的.如果x的系数不是1.就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 跟踪训练Gen zong xun lian π)个单位后.得到g(x)的图象.若对于满足2π.则φ的值为( B ) 3π 6π 31．将f(x)＝sin2x的图象右移φ(0<φ<|f(x1)－g(x2)|＝2的x1.x2.有|x1－x2|的最小值为A．C．π 12B．π 4D．[解析] g(x)＝sin[2(x－φ)]＝sin(2x－2φ).则f(x).g(x)的最小正周期都是T＝π.Tπππ若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1.x2.则|x1－x2|＝－φ＝－φ＝.从而φ＝. 2236π12．函数f(x)＝sin(πx＋θ)(|θ|<)的部分图象如图.且f(0)＝－.则图中m的值为22( B ) A．1 C．2 4B． 34D．或2 3 15 / 28 1ππ[解析] f(0)＝sinθ＝－.又|θ|<.所以θ＝－. 226所以sin(mπ－π1π7π4)＝－.由图象可知.mπ－＝⇒m＝. 62663 A组 31．已知sinφ＝.且φ∈5ππ(.π).函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于.则f22π()的值为( B ) 43A．－ 53C． 54B．－ 54D． 5[解析] 由函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于πππ.得到其最小正周期为π.所以ω＝2.f()＝sin(2×＋φ)＝cosφ＝－24441－sin2φ＝－. 52．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示.则f(x)的单调递减区间为( D ) 13A．kπ－，kπ＋.k∈Z 44132kπ－，2kπ＋.k∈Z B．4413k－，k＋.k∈Z C．44 16 / 28 13D．2k－，2k＋.k∈Z 441πω＋φ＝2kπ＋，42由五点作图知.53πω＋φ＝2kπ＋，24[解析] k∈Z.可得ω＝π.φ＝πππ1.所以f(x)＝cosπx＋.令2kπ＜πx＋＜2kπ＋π.k∈Z.解得2k－＜x＜2k＋4444133.k∈Z.故单调减区间为2k－，2k＋.k∈Z.故选D . 4443．(20xx·天津卷.7)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ).x∈R.其中ω>0.|φ|<π.若f(5π11π)＝2.f()＝0.且f(x)的最小正周期大于2π.则( A ) 88211πB．ω＝.φ＝－ 31217πD．ω＝.φ＝ 3242πA．ω＝.φ＝ 312111πC．ω＝.φ＝－ 3245π11π[解析] ∵f()＝2.f()＝0.且f(x)的最小正周期大于2π. 8811π5π∴f(x)的最小正周期为4(－)＝3π. 882π22∴ω＝＝.∴f(x)＝2sin(x＋φ)． 3π3325π∴2sin(×＋φ)＝2. 38π得φ＝2kπ＋.k∈Z. 12又|φ|<π.∴取k＝0.得φ＝故选A． 4．(20xx·济南期末)已知函数f(x)＝sinωx＋3ππππcosωx(ω>0).f()＋f()＝0.且f(x)在区间(.)上递减.则ω＝( B ) 6262A．3 B．2 17 / 28 π. 12 C．6 D．5 πππ[解析] ∵f(x)＝2sin(ωx＋).f()＋f()＝0. 362ππ＋62π∴当x＝＝时.f(x)＝0. 23∴ππω＋＝kπ.k∈Z. 33∴ω＝3k－1.k∈Z.排除A.C； 又f(x)在(ππ.)上递减. 62把ω＝2.ω＝5代入验证.可知ω＝2. πππ5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|≤.x＝－为f(x)的零点.x＝244π5π为y＝f(x)图象的对称轴.且f(x)在，上单调.则ω的最大值为( B ) 1836A．11 C．7 [解析] 由题意知： π－ω＋φ＝k1π，4ππ4ω＋φ＝k2π＋2，则ω＝2k＋1.其中k∈Z. π5π∵f(x)在，上单调. 1836∴5πππ12π－＝≤×.ω≤12. 3618122ωB．9 D．5 接下来用排除法． 若ω＝11.φ＝－ππ.此时f(x)＝sin11x－. 44 18 / 28 π3π3π5π，上单调递减.不满足f(x)在f(x)在，上单调递增.在18444436π5π，上单调. 1836若ω＝9.φ＝πππ5π.此时f(x)＝sin9x＋.满足f(x)在，上单调递减． 441836π36．(20xx·××市高三一模)已知函数f(x)＝2sin(π＋x)·sin(x＋＋φ)的图象关于原点对称.其中φ∈(0.π).则φ＝π. 6[解析] 本题主要考查三角函数的奇偶性.诱导公式． 因为f(x)＝2sin(π＋x)sin(x＋2sin(π＋x)sin(x＋πφ＝. 67．如果两个函数的图象平移后能够重合.那么称这两个函数为“互为生成”函数．给出下列四个函数： ①f(x)＝sinx＋cosx; ②f(x)＝2(sinx＋cosx)； ③f(x)＝sinx; ④f(x)＝2sinx＋2. 其中为“互为生成”函数的是①④(填序号)． [解析] 首先化简题中的四个解析式可得：①f(x)＝2sin(x＋2sin(x＋π).②f(x)＝4π＋φ)的图象关于原点对称.所以函数f(x)＝3ππ＋φ)为奇函数.则y＝sin(x＋＋φ)为偶函数.又φ∈(0.π).所以33π).③f(x)＝sinx.④f(x)＝2sinx＋2.可知③f(x)＝sinx的图象要与其他的4函数图象重合.单纯经过平移不能完成.必须经过伸缩变换才能实现.所以③f(x)＝sinx不能与其他函数成为“互为生成”函数.同理①f(x)＝2sin(x＋②f(x)＝2sin(x＋π)的图象与4π)的图象也必须经过伸缩变换才能重合.而④f(x)＝2sinx＋24 19 / 28 ππ的图象向左平移个单位.再向下平移2个单位即可得到①f(x)＝2sin(x＋)的44图象.所以①④为“互为生成”函数． 18．已知函数f(x)＝(2cos2 x－1)sin2x＋cos4x. 2(1)求f(x)的最小正周期及最大值； 2π(2)若α∈，π.且f(α)＝.求a的值． 221[解析] (1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x 21＝cos2xsin2x＋cos4x 21＝(sin4x＋cos4x) 2＝2πsin(4x＋) 24π2所以f(x)的最小正周期为.最大值为. 22(2)因为f(α)＝因为α∈(2π.所以sin(4α＋)＝1. 24π.π). 2π9π17π∈(.). 444π5π9π＝.故α＝. 4216π)在某一个周期2所以4α＋所以4α＋9．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0.|φ|<内的图象时.列表并填入了部分数据.如下表： ωx＋φ x Asin(ωx＋φ) 0 0 π 2π 35 π 3π 25π 6－5 2π 0 20 / 28 (1)请将上表数据补充完整.并直接写出函数f(x)的解析式； (2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度.得到y＝g(x)的图5π象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为(.0).求θ的最小值． 12[解析] (1)根据表中已知数据.解得A＝5.ω＝2.φ＝－ωx＋φ x Asin(ωx＋φ) 0 π 120 π 2π 35 π)． 6π 7π 120 3π 25π 6－5 π.数据补全如下表： 62π 13π 120 且函数解析式为f(x)＝5sin(2x－π(2)由(1)知f(x)＝5sin(2x－). 6则g(x)＝5sin(2x＋2θ－π)． 6因为函数y＝sinx图象的对称中心为(kπ.0).k∈Z. 令2x＋2θ－解得x＝π＝kπ. 6kππ＋－θ.k∈Z. 2125π由于函数y＝g(x)的图象关于点(.0)成中心对称. 12所以令kππ5π＋－θ＝. 21212kππ－.k∈Z. 23π. 6解得θ＝由θ>0可知.当k＝1时.θ取得最小值B组 1．若函数f(x)＝asinωx＋bcosωx(0<ω<5.ab≠0)图象的一条对称轴方程是x＝ππ.函数f′(x)图象的一个对称中心是(.0).则f(x)的最小正周期是( C ) 4ω8 21 / 28 π 4π 2A．B．C．π D．2π bπ[解析] 由f(x)＝a2＋b2sin(ωx＋φ)(tanφ＝)的对称轴方程是x＝可a4ω知.πππb＋φ＝＋kπ(k∈Z)⇒φ＝＋kπ(k∈Z).即＝tanφ＝1⇒a＝b. 424aπ又f′(x)＝aωcosωx－bωsinωx的对称中心是(.0). 8πωπωπ则f′()＝0⇒aω(cos－sin)＝0⇒ω＝2. 888即T＝2π＝π. ωsin2x的部分图象大致为( C ) 1－cosx2．函数y＝ [解析] 令f(x)＝∵f(1)＝sin2x. 1－cosxsin2sin2π>0.f(π)＝＝0. 1－cos11－cosπ∴排除选项A.D． 由1－cosx≠0.得x≠2kπ(k∈Z). 故函数f(x)的定义域关于原点对称． 又∵f(－x)＝sin－2xsin2x＝－＝－f(x). 1－cos－x1－cosx∴f(x)为奇函数.其图象关于原点对称. ∴排除选项B． 故选C． 22 / 28 3．(20xx·全国卷Ⅰ.9)已知曲线C1：y＝cosx.C2：y＝sin(2x＋2π).则下面结论正确的是( D ) 3A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍.纵坐标不变.再把得到的曲线向π右平移个单位长度.得到曲线C2 6B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍.纵坐标不变.再把得到的曲线向π左平移个单位长度.得到曲线C2 12C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍.纵坐标不变.再把得到的曲线向右平移12π个单位长度.得到曲线C2 612D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍.纵坐标不变.再把得到的曲线向左平移[解析] 因为y＝sin(2x＋π个单位长度.得到曲线C2 122π2πππ)＝cos(2x＋－)＝cos(2x＋).所以曲线33261C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的倍.纵坐标不变.得到曲线y＝cos2x.2再把得到的曲线y＝cos2x向左平移cos(2x＋π)．故选D． 6π).f(α)＝－1.f(β)2ππ个单位长度.得到曲线y＝cos2(x＋)＝12124．(20xx·长沙二模)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1(ω>0.|φ|<＝1.若|α－β|的最小值为区间是( B ) A．[－B．[－π＋2kπ.π＋2kπ].k∈Z 23ππ.且f(x)的图象关于点(.1)对称.则函数f(x)的单调递增44π＋3kπ.π＋3kπ].k∈Z 2 23 / 28 5π＋2kπ].k∈Z 25π＋3kπ].k∈Z 22π2＝.又T3C．[π＋2kπ.D．[π＋3kπ.[解析] 由题设条件可知f(x)的周期T＝4|α－β|min＝3π.所以ω＝f(x)的图象关于点(ππ2ππ.1)对称.从而f()＝1.即sin(×＋φ)＝0.因为|φ|<.所以φ44342π2ππ2πππ＝－.故f(x)＝2sin(x－)＋1.再由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ.k∈Z.得－63623622＋3kπ≤x≤π＋3kπ.k∈Z. 5．给出下列四个命题： πkπ3π①f(x)＝sin(2x－)的对称轴为x＝＋.k∈Z； 428②函数f(x)＝sinx＋3cosx最大值为2； ③函数f(x)＝sinxcosx－1的周期为2π； ④函数f(x)＝sin(x＋πππ)在[－.]上是增函数． 422其中正确命题的个数是( B ) A．1 C．3 B．2 D．4 ππ[解析] ①由2x－＝kπ＋.k∈Z. 42得x＝①正确； ②由f(x)＝sinx＋3cosx＝2sin(x＋函数的最大值为2.故②正确； 1③f(x)＝sinxcosx－1＝sin2x－1.函数的周期为π.故③错误； 2④函数f(x)＝sin(x＋的.故④错误． 24 / 28 ππ)的图象是由f(x)＝sinx的图象向左平移个单位得到44π)知. 3kπ3ππkπ3π＋(k∈Z).即f(x)＝sin(2x－)的对称轴为x＝＋.k∈Z.故28428 π.x∈2ππx＋). 446．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0.ω>0.|φ|0)在(15[.]. 24π[解析] f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋). 4ππ3π令2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋(k∈Z). 2422kππ2kπ5π解得＋≤x≤＋(k∈Z)． ω4ωω4ωππ由题意.函数f(x)在(.π)上单调递减.故(.π)为函数单调递减区间的一个子22区间. 25 / 28 2kπππω＋4ω≤2，故有2kπ5πω＋4ω≥π， 15解得4k＋≤ω≤2k＋(k∈Z)． 24153由4k＋<2k＋.解得k<. 248由ω>0.可知k≥0. 15因为k∈Z.所以k＝0.故ω的取值范围为[.]． 248．已知函数f(x)＝sin(2x＋ππ)＋sin(2x－)＋2cos2x.x∈R. 33(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)在区间[－ππ.]上的最大值和最小值． 44ππππ＋cos2x·sin＋sin2x·cos－cos2xsin＋3333π)＋1. 4[解析] (1)∵f(x)＝sin2x·coscos2x＋1＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin(2x＋∴f(x)的最小正周期T＝2π＝π. 2π(2)由(1)知.f(x)＝2sin(2x＋)＋1. 4∵x∈[－ππ.]. 44πππ＝得x＝. 428ππ.]上是增函数； 48∴令2x＋∴f(x)在区间[－ππ在区间[.]上是减函数. 84又∵f(－πππ)＝0.f()＝2＋1.f()＝2. 484 26 / 28 ππ.]上的最大值为2＋1.最小值为0. 44∴函数f(x)在区间[－19．已知函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x. 2(1)若tanθ＝2.求f(θ)的值； (2)若函数y＝g(x)的图象是由函数y＝f(x)的图象上所有的点向右平移π4个单位长度而得到.且g(x)在区间(0.m)内是单调函数.求实数m的最大值． [解析] (1)因为tanθ＝2. 1所以f(θ)＝sinθcosθ＋cos2θ 21＝sinθcosθ＋(2cos2θ－1) 21＝sinθcosθ＋cos2θ－ 2＝＝sinθcosθ＋cos2θ1－ sin2θ＋cos2θ2tanθ＋111－＝. tan2θ＋121011(2)由已知得f(x)＝sin2x＋cos2x 22＝2πsin(2x＋)． 24依题意. 得g(x)＝即g(x)＝2ππsin[2(x－)＋]. 2442πsin(2x－)． 24因为x∈(0.m). 所以2x－πππ∈[－.2m－]. 444又因为g(x)在区间(0.m)内是单调函数. ππ3π3π所以2m－≤.即m≤.故实数m的最大值为. 4288 27 / 28 28 / 28