抛物线及其标准方程
一、教材分析
新课程标准要求1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。2.经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程,掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。3.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题。4.通过圆锥曲线的学习,进一步体会数形结合的思想。 二、教学目标
1.知识与技能:理解抛物线定义;掌握抛物线图形及其方程;会运用抛物线性质解决问题;
2.过程与方法:通过思维导图让学生对抛物线的基本知识形成知识框架;通过典型例题剖析总结出通性通法。
3.情态与价值:通过本节课的学习,体会数学数形结合的思想、方程思想及分类讨论思想。
【教学重点】抛物线定义及其方程;抛物线性质的综合应用。 【教学难点】抛物线性质的综合应用; 三、教学方法
这一节与椭圆、双曲线几何性质的知识结构相似,研究方法为学生所熟悉,这使学生的自主探究活动具备良好的基础。但是学生思维的全面性、深刻性,以及数形结合思想有待进一步培养加强。基于以上分析,本节课我采用启发探究式的教学方法,以问题的提出、问题
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的解决为主线,充分体现以学生为主体的教学理念。为了展现丰富生动的教学内容,我利用多媒体技术进行辅助教学。 四、教学过程
通过历年抛物线在高考全国卷的比对,让学生把握抛物线的考察重点及其方向。
【师生活动】引导学生回顾抛物线的定义。
一、抛物线的定义
课堂探究一:抛物线的定义
【例1】 若抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),则|PA|+|PF|取最小值时点P的坐标为________.
解析:将x=3代入抛物线方程 y2=2x,得y=±6.
M
∵6>2,∴A在抛物线内部,如图.
1
设抛物线上点P到准线l:x=-2的距离为d,由定义知|PA|+
7
|PF|=|PA|+d,当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值为2,此时P点纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,∴点P的坐标为(2,2).
【共同归纳】应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线
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pp
上一点P(x0,y0)到焦点F的距离|PF|=|x0|+2或|PF|=|y0|+2. 通过题组分析总结出最值的规律方法。
【学生板演讲解】把握规律,举一反三融会贯通。
变式练习1.若抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,4),则|PA|与P到准线的距离和的最小值为________ 二、抛物线方程与性质
【教师演示】运用多媒体展示: 抛物线标准方程图像及其性质框架。
对标准方图形 程 y22pxp0O离焦点 准线 心率 xppe1PFx022顶称点 轴 y焦半径 焦点弦公式 0,0Fx y22pxl y p,0 轴 2x ABp(x1x2) p0 FOx0,0 lpp,0e1PFx022xp 轴 2xABp(x1x2) yy x2py2p0 0,0 p0, 轴 2ppe1PFy022 ABp(y1y2) py02x22pyp0 0,0 yp0,2轴 yp 2e1PF ABp(y1y2) 第3页共4页
【学生活动】学生填写表格形成知识框架,类比记忆方程图像及其性质。
课堂探究二:抛物线的标准方程及其性质
例题2 如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为________.
解析 设A,B在准线上的射影分别为A1,B1, 由于|BC|=2|BF|=2|BB1|,则直线的斜率为3, 故|AC|=2|AA1|=6,从而|BF|=1,|AB|=4,
p|CF|13
故|AA|=|AC|=2,即p=2,从而抛物线的方程为y2=3x.
1
【共同归纳】1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
2.在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
【学生尝试】 变式练习2
1. 已知过抛物线y2px(p0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点, 2uuuruuur且AF3FB,抛物线的准线l与x轴交于点C,AA1⊥l于点A1,若四边形 AA1CF的面积为123,则准线l的方程为( ) A. x2 B. x22 C.x1 D. x2 A. x2 B. x22 C. x=-1 D. x2
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【教师活动】巡视学生做题情况,适时提示辅助线思路,指导小组讨论。
【学生合作交流】学生合作交流,小组展示成果。
为了检验学生是否学会、会学,对课堂教学进行及时反馈,我设计了当堂练习题:(课件展示)
【当堂检测】
1.(2018·太原月考)若抛物线y=ax2的焦点坐标是(0,1),则a等于( ) A.1
1
B. 2
C.2
1 D. 4
k
2.(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=x(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( ) 1A.2 3C.2
B.1 D.2
3.(2018·张掖诊断)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|=( ) A.9 C.7
B.8 D.6
4.(2018·莆田质检)设抛物线C:y2=3x的焦点为F,点A为C上一点,若|FA|=3,则直线FA的倾斜角为( ) πA.3 π2πC.3或3
πB.4 π3πD.4或4
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5.(2018·衡水调研)已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,
2y1),B(x2,y2)两点,则y21+y2的最小值为( )
A.12 C.16
【课堂小结】
B.24 D.32
我采用提问、小结的活动形式,让学生用自己的语言从知识与方法两个方面对课堂内容进行小结,加深对所学知识的内化和掌握。 【作业布置】
为巩固所学,根据不同学生在数学中获得不同发展的原则,我设计了必做与选做两个层次的作业:(课件展示) 必做:抛物线基础巩固学案。 选做:2015年高考题20题。
本节课我的板书与椭圆、双曲线几何性质的板书结构一致,增加学生对类比的感性认识。
抛物线的几何性质
1、定义 例1:(学生板书) 例2: 2、性质 3、应用
学情分析
高三学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象概括能力,养成了一些良好的学习习惯,掌握了一些科学的学习方法,学会了独立思考和与人沟通、协商、合作、交流的能力,学会了探究问题,并能根
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据具体情况提出合理的问题,还能正确解决问题的能力。无论是理解问题的能力,还是分析、解决问题的能力均有所提高,基础知识和基本技能打得也比较扎实,对数学学习有着浓厚的兴趣,乐于参与到学习活动中去。
大部分学生学习态度端正,掌握基础知识比较牢固,学习目的明确,上课专心听讲,遇到不懂的问题能主动问老师,部分学生在课堂只停留在认真、专心听,缺少主动参与的意识和习惯,但也有小部分学生基础比较差。上课听到的知识,课后又不会运用,作业的正确率低,个别学生不肯及时完成,喜欢拖拉作业。所以在以后的教学中,要继续培养学生对数学的学习兴趣,以及数学解题的规范性,让学生善于思考,乐于思考,不怕错误,具有问题意识,培养学生快乐学数学的心态,养成良好的学习习惯。相信学生会更上一层楼!
效果分析
1、有明确的教学目标,能突出重点、化解难点。
2、善于运用现代化教学手段,根据具体内容,选择恰当的教学方法。 3、关注学生,及时鼓励,充分发挥学生主体作用,通过学生讲解题目,及时总结,合作交流化解难点,能充分的调动学生的学习积极性。
4、切实重视基础知识、通性通法的总结,渗透数形结合的数学思想方法,提高综合运用能力。
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在实际教学中应因材施教,用不一样的标准衡量学生,尽量做到让不同的学生得到不同的发展。
教材分析
本节课复习的内容为《抛物线及其方程》,抛物线是在椭圆和双曲线之后的又一重要圆锥曲线,通过对它的复习,一方面丰富完善了圆锥曲线知识体系,另一方面也是“用方程研究曲线”这一基本方法的再次强化,体现了数学的和谐统一,为今后用代数方法研究几何问题打下了基础,起到了承上启下的重要作用。
测评练习
【例1】 若抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),则|PA|+|PF|取最小值时点P的坐标为________.
【变式练习1】若抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,4),则|PA|与P到准线的距离和的最小值为________
【例2】 如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为________.
【变式练习2】
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1. 已知过抛物线y2px(p0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点, 2uuuruuur且AF3FB,抛物线的准线l与x轴交于点C,AA1⊥l于点A1,若四边形 AA1CF的面积为123,则准线l的方程为( ) A. x2 B. x22 C.x1 D. x2 A. x2 B. x22 C. x=-1 D. x2
【当堂检测】
1.(2018·太原月考)若抛物线y=ax2的焦点坐标是(0,1),则a等于( ) A.1
1
B.2
C.2
1 D.4 k
2.(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=x(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( ) 1A.2 3C.2
B.1 D.2
3.(2018·张掖诊断)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|=( ) A.9 C.7
B.8 D.6
4.(2018·莆田质检)设抛物线C:y2=3x的焦点为F,点A为C上一点,若|FA|=3,则直线FA的倾斜角为( ) πA.3 π2πC.3或3
πB.4 π3πD.4或4
5.(2018·衡水调研)已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,
2y1),B(x2,y2)两点,则y21+y2的最小值为( )
A.12 C.16
B.24 D.32
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教学反思
一、对教学内容的反思:
针对教学目标进行了精心设计,运用先学后教的模式进行教学,引导学生注意几个关键问题,通过例题与练习渗透数形结合思想,关注学生的自学能力、合作交流的习惯以及分析问题解决问题的能力的发展,通过这节课的学习,学生基本完成了教学目标,提高了能力,有了很大的收获。
二、教学过程中还存在以下不足的反思:
1、不能充分相信学生,放手让学生自己思考探究,自己归纳总结。 2、教学语言不够简练,怕学生接受不了而重复较多 3、总是担心完不成教学任务而不能给学生充足的思考时间 4、对中下层的学生还不能有效引导。 三、改善措施
1、有明确的教学目标,能突出重点、化解难点。
2、善于运用现代化教学手段,根据具体内容,选择恰当的教学方法。
3、关注学生,及时鼓励,充分发挥学生主体作用,调动学生的学习积极性。
4、切实重视基础知识、基本技能和基本方法,渗透数学思想方法,提高综合运用能力。
在实际教学中应因材施教,用不一样的标准衡量学生,尽量做到
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让不同的学生得到不同的发展。
课标分析
1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
2.经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程,掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。
3.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题。
4.通过圆锥曲线的学习,进一步体会数形结合的思想。
5.对抛物线的要求降低,与双曲线的一致。不再要求“直线与圆锥曲线的位置关系”。增加:“了解椭圆、抛物线的简单应用”
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