高等数学第三章综合测试题

A卷

1、函数yln(x1)在[0,1]上满足拉格朗日定理的= . 13x3x29x在闭区间[0,4]上的最大值点为x= 。 343、函数yx的单调减少区间是 。 xf(ah)f(a)f(a)h4、若函数f(x)在xa二阶可导,则lim= 。 h0h2、函数f(x)x35、曲线y的铅直渐近线为 .

x2二、选择题（每小题4分，共20分)

1、下列函数在[1,1]上满足罗尔定理条件的是 [ ]

x(A） ye （B） ylnx （C） y1x （D) y21 21x2、曲线y(x1)的拐点是 ［ ] （A）(1,8) （B）(1,0) （C) (0,1) （D） (2,1)

3、已知函数f(x)(x1)(x2)(x3)(x4),则f(x)0的实根个数为 [ ] (A) 一个 (B ） 两个 （C） 三个 (D) 四个

4、设函数f(x)在(a,b)内可导，则在(a,b)内f(x)0是函数f(x)在(a,b)内单调增

3的 [ ]

(A) 必要非充分条件 （B) 充分非必要条件 （C) 充要条件 （D ) 无关条件 5

、

如

果

f(x0)0,f(x0)0，则

［ ]

1

(A）f(x0)是函数f(x)的极大值 (B) f(x0)是函数f(x)的极小值

(C） f(x0)不是函数f(x)的极值 （D) 不能判定f(x0)是否为函数f(x)的极值

三、解答题

1、（7分)计算lim(x01x1). xe12、(7分）计算limx0xlnx.

sinx1)x。 3、(7分)计算lim(x0xaxbxcx1)x. 4、（7分）计算lim(x035、（10分）设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导，且f(a)f(b)0,证明：存在(a,b),使得f()f()g()0.

x2ln(1x)x。 6、(10分）证明：当x0时，x27（12分）设函数f(x)在x0的邻域内具有三阶导数,且

f(x)1lim(1x)xe3. x0x（1） 求 f(0),f(0),f(0)。

f(x)1)x。 (2) 求 lim(1x0x

2

第三章 综合测试题一、填空题 1、

A卷答案

111 2、4 3、(2,0)(0,2) 4、f(a) 5、x2 ln22二、选择题

1、C 2、B 3、C 4、B 5、B 三、解答题 1、

1g(x) 2、0 3、1 4、3abc 5、设 F(x)f(x)e,由罗尔定理即得. 26、由单调性证明即可.

f(x))e3，所以 limx0x0xxf(x)f(x)由于分母极限为0，所以 limln(1x)0，即 lim(x)0

x0x0xxf(x)lim0,又因为 f(x)在x0连续，则 limf(x)f(0)0 x0x0xf(x)ln(1x)f(x)f(0)xf(0)lim0,由 lim3 得 x0x0x0xf(x)f(x)ln(1x)xxlimxlim(1f(x))3，所以 limx0x0x0xxx2f(x)f(x)f(x)f(0)lim22，即 lim2，由此得 f(0)lim4 x0xx02xx0x07、解 （1）因为 lim(1xlimf(x))ex0（2）lim(1x0x1xln(1f(x))xx1xln(1xf(x))x3

ef(x)limxx0xex0limf(x)x2e2

3

第三章 综合测试题一、填空题（25分）

1、f(x)x,F(x)x在[1,2]上满足柯西中值定理的 。 2、曲线y3x5x有 个拐点。 3、曲线y532B卷

x4sinx的水平渐近线方程为 .

5x2cosxnn2na11 . 4、(02,数三）设常数a,则limlnn2n(12a)5、曲线yx在点(1,1)处的曲率为 。 二、选择题（25分)

31、设f(x)在xx0的附近二阶可导，f(x0)0,f(x0)0,则f(x)在xx0处有

[ ］

（A) 极大值 (B）极小值 (C) 拐点 (D) 既非极值点有非拐点 2、(02,数三）设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义,在开区间(a,b)内可导,则 [ ］

（A) 当f(a)f(b)0时,存在(a,b),使f()0.

（B） 对任何(a,b),有lim[f(x)f()]0.

x(C) 当f(a)f(b)时，存在(a,b),使f()0.

4

（D) 存在(a,b),使f(a)f(b)f()(ba).

3、已知f(x)在x0的某邻域内有定义，且f(0)0,limf(x)2,则在x0处f(x)

x01cosx［ ]

（A） 不可导 （B） 可导,且f(0)0 （C） 取极大值 (D） 取极小值

4、设k0,函数f(x)lnxx［ ] k在(0,)内的零点个数为

e （A) 3 （B） 2 (C） 1 （D) 0

5、（2003,数二）设函数f(x)在(,)内连续,其导数的图形如图所示,则f(x)有

[ ］

(A） 一个极小值点和两个极大值点

(B） 两个极小值点和一个极大值点 （C) 两个极小值点和两个极大值点

f(x)ox (D） 三个极小值点和一个极大值点 三、（7分）求lim(x1x1). x1lnx四、(8分）已知limx01f(x)sin2x12,求limf(x).

x0e3x1sinxxf(x)0,求f(0),f(0),f(0). 3x0x五、（9分）设f(x)在x0处二阶可导,且lim六、（9分）证明:当x0时x(1x)ln321xx1. x七、（7分)已知点(1,3)是曲线yxaxbxc的拐点,并且曲线在x2处有极值，

5

求a,b,c.

八、（10分）设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导，f(0)f(1)f(2)3,

f(3)1.试证必存在(0,3),使得f()0.(03,数三）

第三章综合测试题B卷答案

一、填空题 1、

3311 2、3 3、y 4、 5、 2512a510二、选择题

1、B 2、B 3、B 4、B 5、C 三、解:lim(x1x1xlnxx11lnx1lnx)limlimlim

x1(x1)lnxx1x1x11x1lnxlnx1lnxxx11.

x1x112x2x1x lim1f(x)sin2x12,又lime3x10, 四、解: 因为lim3xx0x0e1故lim1f(x)sin2x10.limf(x)sin2x0.

x0x0从而limx01f(x)sin2x1f(x)sin2xxf(x)limlim2,故limf(x)6. x0x0x03xe3x1e3x1五、解： 由于f(x)二阶可导,故

6

x3f(0)xo1(x3)xf(0)f(0)xo2(x2)sinxxf(x)3!2! limlimx0x0x3x3

f(0)13231f(0)xf(0)xxo(x)3!2!lim0 3x0x要使上述极限存在，只有x,x,x的系数均为零. 所以 f(0)1,f(0)0,f(0)六、证明: 原不等式等价于ln231. 3111x0.所以设 x(1x)x1x f(x)ln111x x(1x)x1x f(x)113x13x12x

x(1x)(1x)22xx(1x)22xx(1x)2122f(x)分母大于零,设分子为(x)3x12x3(x)2。

333所以f(x)0,(x0)，f(x)单调增。又limf(x)0,故f(x)0结论成立。

x七、证明:y3x2axb,y6x2a;又(1,3)是曲线的拐点,故y(1)0从而

2a3. 又曲线在x2取得极值 ,所以y(2)b0,yx33x2c(1,3)在曲线

上，所以y(1)13c0,c5.

八、证明：因为f(x)在[0,3]上连续,所以f(x)在[0,2]上连续，且在[0,2]上必有最大值

M和最小值m，于是

mf(0)M,mf(1)M,mf(2)M

7

故 mf(0)f(1)f(2)M

3由介值定理知，至少存在一点c[0,2],使得 f(c)f(0)f(1)f(2)1f(3)

3在[c,3]上f(x)满足罗尔定理条件，故必存在(c,3)(0,3),使得f()0.

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