第３ｌ卷第５期（２０１５） 河西学院学报 Ｖｏ１．３１ Ｎｏ．５（２０１５） 重力加速度的测量方法与实验分析 董光兴＋王新兴 张鹏 杨文君 禄志强 （河西学院物理与机电工程学院，甘肃张掖７３４０００） 摘要：应用力学实验室常见的测量重力加速度的三种方法：单摆法、小钢球自由落体运动 法（落球法）和倾斜气垫导轨法，分人次测量了张掖地区的重力加速度数值，并对实验结果进行了 对比分析．发现：单摆法测量重力加速度实验离散度小。误差小，可重复性较好．测量重力加速度 的实验设计需要最少的简化条件和最少的测量量的个数。且实验所用到的物理模型应该是最简单 的．因此。单摆法是实验室测量重力加速度最好的选择． 关键词：重力加速度；单摆法；落球法；倾斜气垫导轨；精密度 中图分类号：０３１４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２—０５２０（２０１５）０５—００３１—０６ ＤＯＩ：１０．１３８７４￣．ｃｎｋｉ．６２—１ １７１／ｇ４．２０１５．０５．００６ １ 引言 地球表面的物体受到地球重力的作用，在忽略空气影响的条件下，所有落地物体都将以同一 加速度下落，这个加速度称为重力加速度，它是由于物体受到重力而产生的．但是，由于同一物体 在地球不同位置处所受的重力不同，地球上各个地区重力加速度的数值随该地区的地理纬度和相 对海拔高度而稍有差异．一般地说，在赤道附近重力加速度值最小。越靠近南北两极。重力加速度 的值就越大［ ．这种现象使得重力加速度成为一个重要的地球物理常数。准确测定它的量值，不仅在 理论上，而且在生产上、科研上都有着极其重要的意义．在科研上，对重力加速度的测量目前已经 在向着高精度方向发展．随着冷原子物理在理论和实验技术上的发展，原子干涉仪被应用在重力加 速度测量领域，已经获得了很高的测量精度．１９９９年，朱棣文小组利用原子干涉仪获得绝对重力 加速度精度为３￣１０－９ｇ［ ．２００２年耶鲁大学的Ｋａｓｅｖｉｃｈ小组使用两个原子干涉仪测得重力加速度梯 度的精度为４０Ｅ（１Ｅ＝１０－９／ｓ ） ． 高精度的测量在顶尖军事和航天领域有极其重要的意义．研究重力加速度的分布情况，在地球 物理学中也具有重要意义．仔细测绘各地区重力加速度的分布情况，还可以对地下资源进行探测． 准确测定重力加速度ｇ值对于计量学、地球物理学、地震预报、重力探矿和空间科学都有着重要 的意义．而现代生产技术条件下生产和生活应用的重力加速度的测量用经典力学实验室方法就可以 收稿日期：２０１５—０７—１５ 基金项目：河西学院教改项目（ＨＸＸＹＪＹ－２０１４—０２４）． 作者简介：董光兴（１９７１一），男，甘肃平凉人，副教授，从事量子光学的研究和普通物理理论及实验的教 学及研究工作． ・３１・ 董光兴 王新兴 张鹏 杨文君禄志强：重力加速度的测量方法与实验分析 满足了．由于重力加速度是一个对地球上所有物体都产生影响的参数，所以经典力学实验室测量重 力加速度的方法有很多种．最常用最简易的方法是单摆法，另外常用的方法还有落球法和倾斜气垫 导轨法［引．经典物理实验条件下测量当地重力加速度的方法和误差分析方面已有许多的工作和报道． 吴兆旺等探究了自由落体法测重力加速的误差［引．富宏等人和刘建伟等人分别研究了单摆法测量重 力加速度实验问题［６， ．刘艳峰提出了一种利用杨氏模量实验仪测量重力加速度的新方法［ｓ－．雷达提 出了基于阿基米德定律测量重力加速度的方法［９］．李应发提出利用弦振动的研究实验来测量重力加 速度［ｍ］．这说明大多数经典力学实验设施都可以利用来进行重力加速度的测量．本文应用我院力学实 验室基本设施。比较了几种重力加速度测量方法的结果，给出张掖地区测量精度较高的重力加速 度数值．并分析讨论了我院力学实验室测量重力加速度最好的方法． ２实验结果与讨论 ２．１ 张掖地区重力加速度标准值的获取 重力加速度在地球表面引力场中分布的理论计算有两种模型．一种是应用在精密的地球科学和 军事领域内的模型计算。它需要考虑到地球内部各处密度的差异以及陆地与海洋的差异等诸多因 素，然后建模计算［１１，１２］．另一种方法是由潘留仙提出的，将地球近似看成一个圆形的球体，不考虑地 球各处的密度及其表面的陆地海洋的分布。认为其是一个质量分布均匀的球体，建立模型推导计 算得到不同海拔高度和纬度处的重力加速度数值公式为［ｎ］： ｇ＝ｇｏ ————— 一 ｍ／ Ｓ （１），’、 其中 代表地球标准重力加速度，其值为９．８０６６５ｒｒｄｓ ； 代表测量点的地球纬度；ｈ代表测 量点的海拔高度；Ｒ代表地球的平均半径，其值为６３７０ｋｍ［Ｂ］．这个模型能满足日常生产和生活测 量的需要．因此，利用公式（１），以张掖地区的平均海拔１４８２米和纬度为３８。５６ 进行计算可得张掖 当地的重力加速度的理论值为：ｇ理＝９．７８０７ｒｒｄｓ ．在气象和地质的生产实践中张掖地区重力加速度 公认值为ｇ公＝９．７９３６（ｍ／ｓ ）． ２．２三种常见方法实验室测量重力加速度 一般大学力学实验室常见的测量重力加速度的方法有单摆法、小钢球自由落体运动法（落球 法）和倾斜气垫导轨法，因此，这三个实验是我院物理学专业和其它理工类专业普通物理学实验的 必开项目． 第一种方法，单摆法的实验原理是利用作简谐振动的单摆周期公式，在测量单摆摆长和其周 期的基础上计算推导出重力加速度的数值［ ］： ｇ：４，ｒｔ－２ （２） 其中，，是连续摆动Ｆ／个周期的时间，，？是测量时间内单摆做简谐振动的周期的次数，，是单 摆的摆长．单摆法测量重力加速度的另一个方法是通过测量摆长，与周期Ｔ的函数关系，通过作图 求斜率而推导出重力加速度的数值 ： Ｔ ：—４ｎ－—２， （３） ・３２・ 河西学院学报 ２０１５年第５期 式中，，表示摆长，Ｔ表示单摆做简谐振动的周期． 利用（２）式测量并计算重力加速度ｇ的实验数据如表１所示，利用（３）式测量并计算重力加速度 ｇ的实验数据如表２所示．分析表１中的数据，可以认为ｎ个周期测量重力加速度的实验其标准偏 差较小，实验具有一定的可信度．表２的基本结论基于作图法，因此，实验结果的优劣主要取决于 相对误差． 表１／／，个周期测量重力加速度 Ｔａｂ．１ Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｏｆ ｇｒａｖｉｔｙ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｍａｒｌｙ ｐｅｒｉｏｄｓ 第一次测量 第二次测量 ｎ ３０ ２５ ｌ／ｍ １．０１６５６ １．１５１６５ ｔ／ｓ ６０．９１４ ６０．９０９ ６０．９１７ ６０．９ｌ８ ６ｏ．９２２ ５３．６２１ ５３．６６５ ５３．６０３ ５３．６ｏ９ ５３．６０７ ｇ，Ｃｍ＊ｓ ９．７２３７ ９．８７３０ ｎ ０．ｏｏ０７ Ｏ．Ｏ１９ｏ （１７＂。为实验的标准偏差） 表２ Ｔｚ与Ｚ关系测量重力加速度 Ｔａｂ．２ Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｏｆ ｇｒａｖｉｔｙ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｔ ａｎｄ ｌ 第二种方法，自由落体法的实验原理是利用自由落体运动的坐标时间关系式。测量下落高度 和时间，拟合线性关系，利用截距推算重力加速度．若ｔ是一个可以看做质点的小球下落ｓ高度所 用的时间， 是其初速度，在自由落体运动中它取值为零，则有下式成３ Ｌ ： １ Ｖｏ＋ｇｔ （４） 实验中，测量ｓ和ｔ并按上式拟合直线，用斜率ｂ＝ｇ／２推算重力加速度ｇ．测量和计算的数据 如表３所示．由于这种方法主要用作图法或者最ｄｘ－＂乘法处理数据，因此，实验可信度也在数据结 果中表示出来了，但最小的误差仍然比单摆法中的最小值要大． ・３３・ 董光兴 王新兴 张鹏 杨文君禄志强：重力加速度的测量方法与实验分析 第三种方法，倾斜气垫导轨法的实验原理是利用气垫导轨上滑块受到的重力的分力，测量滑 块运动的加速度来推算重力加速度ｇ的．若滑块质量为ｍ，导轨倾斜角为０，则有［４］： ｍａ＝ｍｇ ｓｉｎ （５） 当滑块在气垫导轨上运动时空气层的对滑块的内摩擦力表示为 ，它与平均速度 成正比， 表示为 ＝６ ，其中比例系数ｂ为粘性阻尼系数．则（５）式可推导表示为 ： ｂｖ ｇ 需口＋—— Ｓ１ｎ （６） 其中ｓｉｎ ： ，口＝１，＇－Ｖ１）／ｆ Ｂ．测量。、６、￡、△ｖ和 ， 按上式推算重力加速度ｇ．测量并 计算重力加速度ｇ的实验数据如表４所示（Ｌ＝１ １３．９５ｃｍ）．倾斜气垫导轨法其它两次测量的结论分别 为ｇ＝９．６５９８ｍ／ｓ 和ｇ＝９．５１５０ｍｒｓ ．但是，在这个实验中，首先要对导轨调水平，由于材料不可抹去 的弯曲，实验中存在着近似处理分析的过程，会因此引入一些系统误差． 表４ 倾斜气垫导轨法测量重力加速度 Ｔａｂ．４ Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｏｆ ｇｒａｖｉｔｙ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｓｌｏｐｉｎｇ ｍａｓｓ ・３４・ 河西学院学报 ２０１５年第５期 ２．３ 不同实验结果的误差计算和分析 根据以上的测量，在认为我们的各次实验都具有相当可信度的条件下，将每次实验的结果与 张掖地区重力加速度的模拟理论计算值和公认值进行对比分析，得到其绝对误差和相对误差，数 据在表５中列出．其中ｇ表示测量值，△ 表示测量值与理论值的绝对误差， 表示测量值与理论值 的相对误差，Ａ：表示测量值与公认值的绝对误差， 表示测量值与公认值的相对误差． 表５张掖地区实验室测量重力加速度的误差 Ｔａｂ．５ Ｔｈｅ ａｂｓｏｌｕｔｅ ａｎｄ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｅｒｒｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｏｆ ｇｒａｖｉｔｙ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ 分析表５中的数据，可以看出，倾斜气垫导轨法测量重力加速度实验数据离散度大，而且误 差很大．分析这个实验，在实验中气垫导轨上滑块与气垫空气层之间的摩擦力及滑块与实验室空气 之间的摩擦力只考虑了一项，在理论上有由于简化模型而引进的系统误差，同时导轨的弯曲度的 分析和测量也会引入较大误差．落球法测量重力加速度实验得到数据单个误差虽然不是很大，但数 据离散度较大．这说明，落球法实验的偶然误差和由实验者差别引入的误差较大，多次实验的精密 ・３５・ 董光兴 王新兴 张鹏 杨文君禄志强：重力加速度的测量方法与实验分析 度和重复度欠缺．分别将三种方法不同实验者和不同实验次数测量出来的重力加速度的平均值在表 ５的表头中列出，可以发现单摆法测量结果的误差离散度最小，绝对误差和相对误差都比较小．因 此这个实验的重复性和实验精密度是可以信任的． 除了这三种方法和引言中各位作者报道的创新性测量方法之外，测量重力加速度的方法还有 称重法、滴水法、复摆法、可倒摆法、谐振子法等．凡是在实验中用到重量或者重力，作为直接测 量或者间接测量量的重力加速度数值就可以经过对测量值的测量而被推算出来．但是．在经典的力 学实验中，单摆法是首选的测量重力加速度的方法．这说明重力加速度的测量方法应该有一定的原 则：即最简洁的理论模型和最少的简化条件及测量量的个数． ３结论 本文综合介绍了不同的测量重力加速度的方法。并用一般大学力学实验室常见的测量重力加 速度的方法即单摆法、小钢球自由落体运动法（落球法）和倾斜气垫导轨法分别和分人次测量了张 掖地区的重力加速度数值，经过对多次实验数据的分析和总结得到以下结论： （１）单摆法测量重力加速度实验离散度小，误差小，实验可重复性较好． （２）作为一个间接测量量，重力加速度的实验设计需要最少的简化条件和最少的测量量的个 数，以此减少在实验中系统误差的引入． （３）作为间接测量量，重力加速度的实验所用到的物理模型应该是最简单的．质点，是力学和 整个物理学最简单的理想模型．刚体和弦线的模型中要简化的近似条件都不及将小钢球看成质点的 简单．因此，单摆法是实验室测量重力加速度最好的选择． 参考文献： ［１］漆安慎．力学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０００． ［２］Ｐｅｔｅｒｓ Ａ．，Ｃｈｕｎｇ Ｋ．Ｙ．，Ｃｈｕ Ｓ．，Ｈｉｇｈ－ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ｇｒａｖｉｔｙ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ ｕｓｉｎｇ ａｔｏｍ ｉｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｒｙ［Ｊ］．Ｍｅｔｒｏｌｏｇｉａ，２００１，３８ （１）：２５—６１． ［３］ＭｃＧｕｉｒｋ Ｊ．Ｍ．，Ｆｏｓｔｅｒ Ｇ．Ｔ．，Ｆｉｘｌｅｒ Ｊ．Ｂ．，ｅｔ ａ１．Ｓｅｎｓｉｔｉｖｅ ａｂｓｏｌｕｔｅ－ｇｒａｖｉｔｙ ｇｒａｄｉｏｍｅｔｒｙ ｕｓｉｎｇ ａｔｏｍ—ｉｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｒｙ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ．Ａ，２００２，６５（３）：０３３６０８－１５． ［４］杨述武．普通物理实验（力学及热学部分）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０００． ［５］吴兆旺，马业万，章礼华．自由落体实验法测重力加速度的误差探讨［Ｊ］．廊坊师范学院学报：自然科学版，２０１３，１３ （３）：３７—３９． ［６］富宏，王春英，张雷．单摆法测重力加速度的系统误差分析与修正［Ｊ］．大学物理实验，２０１３，３４（２）：１４７—１５１． ［７］刘建伟，王新春，王昆林，司民真．用改进的单摆实验系统与ＳＰＳＳ标定重力加速度［Ｊ］．大学物理实验，２０１３，４ （９）：５６－５９． ［８］刘艳峰．测量重力加速度的一种新方法［Ｊ］．大学物理实验，２０１４，２７（３）：９１—９３． ［９］雷达．基于阿基米德定律测量重力加速度［Ｊ］．大学物理实验，２０１３，２６（２４）：３７－４２． ［１Ｏ］李应发．测量重力加速度的一种新方法［Ｊ］．贵州师范大学学报：自然科学版，２０１２。３０（５）：７６－７９． ［１１］宁津生．地球重力场模型理论［Ｍ］．武汉：武汉科技出版社，１９９０． ［１２］关泽霖．地球形状及外部引力场［Ｍ］．北京：测绘出版社，１９８１． ［１３］潘留仙．重力加速度的空间分布及其应用［Ｊ］．常德高等专科学校学，１９９５，７（２）：３－６． ［责任编辑：葛素红］ （下转第５５页） ・３６・ 河西学院学报 ２０１５年第５期 点．设计各功能模块实现对步进电机的精确控制，使步进电机带动电池板转动始终保持与太阳光 垂直，保证了电池板接受太阳光照的最大化，增加系统的发电量．对于太阳能资源的利用具有理论 研究和实践意义，也具有广泛应用价值． 参考文献： ［１］陈伟，李建红．在太阳能利用控制的跟踪器的研究方法［Ｄ］．能源工程，２００３． ［２］孙茵茵，鲍剑斌，王凡．太阳能自动跟踪器的研究［Ｊ］．机械设计与制造，２００５（７）：０１５７—０１５９． ［３］Ｋｒｉｂｕｓ，Ａ，Ｓｙｔｎｉｋ，Ａ．连续跟踪定日２００４年８月［Ｊ］．太阳能工程． ［４］冯垛生．太阳能发电原理与应用［Ｍ］．北京：人民邮电出版社，２００７． ［５］郭天祥．５１单片机Ｃ语言教程［Ｍ］．北京：电子工业出版社，２００９． 【６］张俊谟．单片机中级教程（第二版）［Ｍ］．北京：北京航空航天大学出版社，２００６． ［责任编辑：许耀照］ ｌ＇＇，，＇＇＇＇２Ｄ＂’＇’，＇＇＇，，）ｌ，，１１．１，，，＇，，＇，，，＇，，＇＇＇＇＇，＇＇’’ｌ，，＇，，＇＇＇＇，＇＇，，’＇ｌｌ＇，，，＇＇＇，，＇ （上接第３６页） Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ Ｇｒａｖｉｔａｔｉｏｎａｌ Ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ Ｄｉｆｅｒｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄｓ Ｄｏｎｇ Ｇｕａｎｇ——ｘｉｎｇ Ｗａｎｇ Ｘｉｎ－ｘｉｎｇ Ｚｈａｎｇ Ｐｅｎｇ Ｙａｎｇ Ｗｅｎ－ｊｕｎ Ｌｕ Ｚｈｉ－ｑｉａｎｇ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｏｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈｅｘｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈａｎｇｙｅ，Ｇａｎｓｕ，７３４０００） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｇｒａｖｉｔａｔｉｏｎａｌ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｉｎ Ｚｈａｎｇｙｅ ａｒｅａ ｉｓ ｍｅａｓｕｒｅｄ ｕｓｉｎｇ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄｓ ｂｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｅｒ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｓｃｈｏｏｌ ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｓｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｒｅ ｓｉｍｐｌｅ ｐｅｎｄｕｌｕｍ，ｆｒｅｅ—ｆａｌｌ，ａｎｄ ｏｂｌｉｑｕｅ ａｉｒ ｔｒａｃｋ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｓｕｍｍａｒｉｚｅｓ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ａｎｄ ａｎａｌｙｚｅｓ ｔｈｅｉｒ ｅｒｒｏｒｓ． Ｉｔ ｉｓ ｆ０ｕｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅ ｐｅｎｄｕｌｕｍ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｂｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ａｓ ａ ｈｉｇｈｅｒ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｖａｌｕｅｓ，ａｎｄ ｉｔ ｈａｓ ｔｈｅ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ ｆｏｒ ｐｒａｃｔｉｃｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｇｒａｖｉｔａｔｉｏｎａｌ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ；Ｓｉｍｐｌｅ ｐｅｎｄｕｌｕｍ；Ｆｒｅｅ ｆａｌｌ；Ａｉｒ ｔｒａｃｋ；Ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ・５５・